Suorakulmainen kolmio

kateetti

kateetti

hypotenuusa

  • Suora kulma.

hypotenuusa

kateetteja

  • Pisin sivu nimeltään
  • Lyhimmät sivut

Kolmion kulmien summa

\color{Salmon}{\beta}=\color{Orange}{\beta_1}
β=β​1​​
\color{Salmon}\gamma = \color{Orange}{\gamma_1}
γ=γ​1​​
\color{Salmon}\alpha = \color{Orange}{\alpha_1}
α=α​1​​

Yhdensuuntaiset suorat ja samankohtaiset kulmat

Ristikulmat

Oikokulma

\color{Orange}{\alpha_1} + \color{Orange}{\beta_1}+\color{Orange}{\gamma_1}=180^{\circ}
α​1​​+β​1​​+γ​1​​=180​∘​​
\color{Salmon}{\alpha} + \color{Salmon}{\beta}+\color{Salmon}{\gamma}=180^{\circ}
α+β+γ=180​∘​​

PytHagoraan lause

\color{LimeGreen}A=\color{LimeGreen}{c}^2
A=c​2​​

Sisällä olevan neliön pinta-ala

Toisaalta sama pinta-ala voidaan kirjoittaa

\color{LimeGreen}A=\color{Salmon}b^2+\color{CornflowerBlue}a^2
A=b​2​​+a​2​​
\color{LimeGreen}c^2=\color{Salmon}b^2+\color{CornflowerBlue}a^2
c​2​​=b​2​​+a​2​​

Jos pythagoraan lause pätee, niin kolmio on suorakulmainen

Jos kolmio on suorakulmainen, niin pythagoraan lause pätee.

Esimerkki

Ratkaise sivun b pituus.

Ratkaisu

Koska kolmio on suorakulmainen, niin voidaan soveltaa Pythagoraan lausetta.

\color{LimeGreen}{30}^2+\color{LimeGreen}b^2=\color{CornflowerBlue}{34}^2
30​2​​+b​2​​=34​2​​
900+\color{LimeGreen}b^2=916
900+b​2​​=916
\color{LimeGreen}b^2=916-900
b​2​​=916−900
\color{LimeGreen}b^2=16 \quad ||\sqrt{}
b​2​​=16∣∣√
\sqrt{\color{LimeGreen}b^2}=\pm\sqrt{16}
√​b​2​​​​​=±√​16​​​
\color{LimeGreen}b=\pm 4
b=±4

Vastaus:

Sivun b pituus on 4.

Harjoittele!

Trigonometriset funktiot

Esimerkki

5

3

Ratkaise kolmio

Ratkaisu

\cos \color{Salmon}\alpha=\dfrac{\color{LimeGreen}3}{\color{CornflowerBlue}5}
cosα=​5​​3​​

a

||\cos^{-1}
∣∣cos​−1​​
\sin \color{Salmon}\beta=\dfrac{\color{LimeGreen}3}{\color{CornflowerBlue}5}
sinβ=​5​​3​​
||\sin^{-1}
∣∣sin​−1​​
\color{Salmon}\alpha \approx 53,1^{\circ}
α≈53,1​∘​​
\color{Salmon}\beta \approx 36,9^{\circ}
β≈36,9​∘​​
\color{LimeGreen}3^2+\color{LimeGreen}a^2=\color{CornflowerBlue}5^2
3​2​​+a​2​​=5​2​​
9+\color{LimeGreen}a^2=25
9+a​2​​=25
\color{LimeGreen}a^2=25-9
a​2​​=25−9
\color{LimeGreen}a^2=16 \quad ||\sqrt{}
a​2​​=16∣∣√
\color{LimeGreen}a=\pm 4 \quad
a=±4

Vastaus:

Kolmion kulmat ovat 90, 53 ja 37 astetta ja sivujen pituudet 5, 3 ja 4

Harjoittele!

Suorakulmaisen kolmion ominaisuuksia

\color{LimeGreen}{a}^2+\color{LimeGreen}{b}^2=\color{CornflowerBlue}{c}^2
a​2​​+b​2​​=c​2​​

Pythagoraan lause

Jos kolmio on suorakulmainen, niin sen kateettien neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö

Trigonometriset funktiot

\sin \color{Salmon}{\alpha}=\dfrac{\color{LimeGreen}a}{\color{CornflowerBlue} c}
sinα=​c​​a​​
\cos \color{Salmon}{\alpha}=\dfrac{\color{LimeGreen}b}{\color{CornflowerBlue} c}
cosα=​c​​b​​
\tan \color{Salmon}{\alpha}=\dfrac{\color{LimeGreen}a}{\color{LimeGreen} b}
tanα=​b​​a​​