normaalijakauma

\overline{x}
x‾\overline{x}
\overline{x}-s
x‾−s\overline{x}-s
\overline{x}-2s
x‾−2s\overline{x}-2s
\overline{x}+s
x‾+s\overline{x}+s
\overline{x}+2s
x‾+2s\overline{x}+2s

34 %

34 %

14 %

14 %

2 %

2 %

\overline{x} \text{ keskiarvo}
x‾ keskiarvo\overline{x} \text{ keskiarvo}
s \text{ keskihajonta}
s keskihajontas \text{ keskihajonta}

Normaalijakauma noudattaa aina yllä olevia prosenttiosuuksia.

Monen populaatiota kuvaavat suureet, kuten paino ja pituus noudattavat normaalijakaumaa.

Koulun oppilaiden keskipituus on 170cm ja keskihajonta 5 cm. Oletetaan, että pituudet noudattavat normaalijakaumaa.

 

Millä todennäköisyydellä umpimähkään valittu opiskelija on

a) enintään 165cm pitkä?

b) pituudeltaan 165-180cm?

 

Esimerkki

170
170170
165
165165
160
160160
175
175175
180
180180

34 %

34 %

14 %

14 %

2 %

2 %

170 \text{ keskiarvo}
170 keskiarvo170 \text{ keskiarvo}
5 \text{ keskihajonta}
5 keskihajonta5 \text{ keskihajonta}

Enintään 165 cm pitkä?

170
170170
165
165165
160
160160
175
175175
180
180180

34 %

34 %

14 %

14 %

2 %

2 %

P(\text{pituus max 165})=0,02+0,14=0,16
P(pituus max 165)=0,02+0,14=0,16P(\text{pituus max 165})=0,02+0,14=0,16

Pituus 165 - 180?

170
170170
165
165165
160
160160
175
175175
180
180180

34 %

34 %

14 %

14 %

2 %

2 %

P(\text{pituus 165 - 180})=0,34+0,34+0,14=0,82
P(pituus 165 - 180)=0,34+0,34+0,14=0,82P(\text{pituus 165 - 180})=0,34+0,34+0,14=0,82

Pakkausautomaatti täyttää kahvipaketteja. Kahvin määrä on normaalijakautunut, keskiarvon ollessa 500 g ja keskihajonnan 10 g.

 

Millä todennäköisyydellä satunnaisen kahvipaketin paino on 490 - 510 g?

Esimerkki

500
500500
490
490490
480
480480
510
510510
520
520520

34 %

34 %

14 %

14 %

2 %

2 %

P(490 < x < 510)=0,34+0,34 = 0,64
P(490<x<510)=0,34+0,34=0,64P(490 < x < 510)=0,34+0,34 = 0,64
Kulkuväline Frekvenssi
Juna 6
Polkupyörä 8
Mopo 3
Henkilöauto 3
Linja-auto 13

Juna

Polkupyörä

Mopo

Henkilöauto

Linja-auto

Frekvenssi tarkoittaa havaintojen lukumäärää.

Pylväsdiagrammi

Esimerkki 2 Suhteellinen frekvenssi ja sektoridiagrammi

Kaikki kotitaloudet, 2012
Tuoteryhmä € / kotitalous
A01 Elintarvikkeet ja alkoholittomat juomat 4540
A02 Alkoholijuomat ja tupakka 794
A03 Vaatteet ja jalkineet 1177
A04 Asuminen ja energia 10047
A05 Kodin kalusteet, koneet ja tarvikkeet 1683
A06 Terveys 1130
A07 Liikenne 6111
A08 Tietoliikenne 903
A09 Kulttuuri ja vapaa-aika 3636
A10 Koulutus 59
A11 Hotellit, kahvilat ja ravintolat 1466
A12 Muut tavarat ja palvelut 4224
Yhteensä 35770

Lasketaan jokaiselle tuoteryhmälle suhteellinen frekvenssi.

Tuoteryhmän keskimääräiset kulut jaetaan keskimääräisillä kokonaiskuluilla ja saatu luku muutetaan prosenteiksi.

Kaikki kotitaloudet, 2012
Tuoteryhmä € / kotitalous
A01 Elintarvikkeet ja alkoholittomat juomat 4540
A02 Alkoholijuomat ja tupakka 794
... ...
Yhteensä 35770
\dfrac{4540}{35770} \approx 12,7 \ \%
454035770≈12,7 %\dfrac{4540}{35770} \approx 12,7 \ \%
\dfrac{794}{35770} \approx 2,2 \ \%
79435770≈2,2 %\dfrac{794}{35770} \approx 2,2 \ \%

A01 Elintarvikkeet ja alkoholittomat juomat

A02 Alkoholijuomat ja tupakka

Kaikki kotitaloudet, 2012
Tuoteryhmä € / kotitalous %
A01 Elintarvikkeet ja alkoholittomat juomat 4540 12,7
A02 Alkoholijuomat ja tupakka 794 2,2
A03 Vaatteet ja jalkineet 1177 3,3
A04 Asuminen ja energia 10047 28,1
A05 Kodin kalusteet, koneet ja tarvikkeet 1683 4,7
A06 Terveys 1130 3,2
A07 Liikenne 6111 17,1
A08 Tietoliikenne 903 2,5
A09 Kulttuuri ja vapaa-aika 3636 10,2
A10 Koulutus 59 0,2
A11 Hotellit, kahvilat ja ravintolat 1466 4,1
A12 Muut tavarat ja palvelut 4224 11,8
Yhteensä 35770 100

Suhteellinen frekvenssi

Sektoridiagrammi

Tyyppiarvo eli moodi

Keskiarvo

Kulkuväline Frekvenssi
Juna 6
Polkupyörä 8
Mopo 3
Henkilöauto 3
Linja-auto 13

Moodi on aineiston yleisin havaintoarvo.

Oheisessa aineistossa moodi on Linja-auto

Arvosanojen 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9 keskiarvo on

\overline{x}=\dfrac{5+5+6+7+7+8+9}{7}\approx 6,7
x‾=5+5+6+7+7+8+97≈6,7\overline{x}=\dfrac{5+5+6+7+7+8+9}{7}\approx 6,7

Libreoffice

Sektoridiagrammi