Analyyttinen geometria

MAB3: 3/4

Avaruusgeometria

4.1 Geometriaa koordinaatistossa

Tavoitteet:

  • Kertaat koordinaatistoon liittyviä käsitteitä.
  • Opit laskemaan janan pituuden.
  • Opit laskemaan janan keskipisteen koordinaatit.
  • Opit ratkaisemaan erilaisten monikulmioiden pinta-aloja koordinaatistossa.
  • Opit ratkaisemaan kulman suuruuden koordinaatistossa.

Tutkimustehtävä 1: Janan keskipiste ja pituus koordinaatistossa

a) Miten lasketaan koordinaattiakselien suuntaisten janojen pituus ja keskipiste?

b) Miten voidaan laskea pituus sellaiselle janalle, joka ei ole koordinaattiakselien suuntainen?

c) Voidaanko a)-kohdassa käytettyä tapaa keskipisteen laskemiseksi hyödyntää yleisesti?

Janan pituus

koordinaattiakselien suuntaiset janat

d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

kaikille janoille

Janan keskipiste

x_o=\frac{x_1+x_2}{2}
y_o=\frac{y_1+y_2}{2}

Monikulmion pinta-ala ja kulman suuruus koordinaatistossa

Luku 4.1
Koordinaatisto 1
Monikulmion pinta-ala koordinaatistossa 2 5
Kulman suuruus koordinaatistossa 3
Janan pituus ja keskipiste 4

Geometriaa koordinaatistossa:

Perusasiat hallussa!

Esimerkki 2

Esimerkki 1

Esimerkki 2

Keskitason taitaja!

Luku 4.1 7 8 9

Huippuosaaja!

Luku 4.1 14

Avaruusgeometria

5.1 Lieriö

5.2 Kartio

5.3 Pallo

Tavoitteet:

  • Kertaat lieriöön, särmiöön, kartioon ja palloon liittyviä käsitteitä.
  • Hahmotat, minkä muotoinen on lieriön ja suoran ympyräkartion vaippa.
  • Opit laskemaan lieriön, särmiön, kartion ja pallon pinta-alat.
  • Opit laskemaan lieriön, särmiön, kartion ja pallon tilavuudet.
  • Syvennät osaamistasi ympyrän tangentin sovelluksissa.
  • Opit hyödyntämään pituus- ja leveyspiirejä maapalloon liittyvissä tehtävissä.

Kappaleisiin liittyviä käsitteitä

Lieriö

  • kaksi yhdensuuntaista ja yhtenevää pohjaa ja niitä yhdistävä vaippa
  • pohja voi olla minkä muotoinen tahansa

Särmiö

  • lieriö, jonka pohja on monikulmio

Kartio

  • yksi pohja, vaippa ja huippu
  • pohja voi olla minkä tahansa muotoinen

Pyramidi

  • kartio, jonka pohja on monikulmio

Pallo

Tilavuuksia ja pinta-aloja

lieriö

kartio

pallo

V_\text{lieriö}=A_\text{pohja}\cdot h
V_\text{kartio}=\frac{1}{3}\cdot A_\text{pohja}\cdot h
V_\text{pallo}=\frac{4}{3}\pi r^3
A_\text{pallo}=4\pi r^2
A_\text{kok}=A_\text{vaippa}+A_\text{pohja}
A_\text{vaippa}=\pi r s

Suoran ympyräkartion vaipan pinta-ala:

A_\text{kok}=2\cdot A_\text{pohja}+A_\text{vaippa}
A_\text{vaippa}=p\cdot h
Luku 5.1
Lieriön osat ja MAOL 1 2 HH1
Lieriön pinta-ala 3
Lieriön tilavuus 4 6
Piirtäminen 5

Lieriö

Perusasiat hallussa!

Tutkimustehtävä 1:Lieriöihin liittyviä pinta-aloja

Kartio

Perusasiat hallussa!

Tutkimustehtävä 1: Kartioiden pinta-aloja

Luku 5.2
Kartion osat ja MAOL 1 2 HH1
Kartion pinta-ala 3
Kartion tilavuus 4 5 6
Piirtäminen HH2

Pallo

Perusasiat hallussa!

Luku 5.3
Pallon osat ja MAOL 1 HH1
Pallon pinta-ala ja tilavuus 2 3 4 5

Nyt olet opiskellut jakson 4. Analyyttinen geometria ja 5. Avaruusgeometria kaikki sisällöt.

Voit

  • joko syventää ymmärrystäsi tekemällä lukujen 5.1-5.3 syventäviä tai soveltavia tehtäviä (tavoitearvosanat 7-8 tai 9-10)
  • tai testata osaamisesi luvun 5.4 tehtävillä.

Seuraava slide!

Viimeinen slide!

Syvennä ymmärrystä

Keskitason taitaja!

Luku 5.1 8 10 11
Luku 5.2 7 8 10
Luku 5.3 8 11 12 13

Huippuosaaja!

Luku 5.1 12 15
Luku 5.2 13 15
Luku 5.3 14 16

Testaa osaamisesi III

Testaa luvun 5.4 tehtävillä, kuinka hyvin hallitset geometriaan koordinaatistossa sekä lieriöön, kartioon ja palloon liittyvät tiedot ja taidot. Ideana on yrittää tehdä tehtävät ilman apuja, jolloin näet, kuinka hyvin olet oppinut opiskeltavat sisällöt.

Valitse tehtäväsarja oman tavoitetasosi mukaan.

  • Jos tavoittelet opintojaksosta arvosanaa 5-6, tee tehtävän 1 alakohdat (Perusasiat hallussa!).
  • Jos tavoittelet opintojaksosta arvosanaa 7-8, tee tehtävän 2 alakohdat (Keskitason taitaja!).
  • Jos tavoittelet opintojaksosta arvosanaa 9-10, tee tehtävän 3 alakohdat (Huippuosaaja!).
  • Voit myös silmäillä tehtäväsarjan läpi ja ottaa sen sarjan, joka näyttää sopivan tasoiselta.

Saatuasi tehtävän malliratkaisun voit pisteyttää vastauksesi malliratkaisusta löytyvän pisteytysehdotuksen avulla. Jokaisen tehtävän enimmäispistemäärä on 12 pistettä.