Tasogeometriaa: Ympyrä

MAB3: 2/4

3.1 Ympyröitä

Tavoitteet:

  • Kertaat ympyrään liittyviä käsitteitä: keskipiste, säde, halkaisija ja kehä.
  • Harjoittelet ympyrän kehän pituuden laskemista.
  • Harjoittelet ympyrän pinta-alan laskemista.
  • Vahvistat yhtälönratkaisutaitoja.

Ympyrä

Ympyrä koostuu kaikista niistä pisteistä, joiden etäisyys yhdestä pisteestä on yhtä suuri. Tämä piste on ympyrän keskipiste. Pisteiden etäisyyttä keskipisteestä kutsutaan ympyrän säteeksi.

\text{säde } r\\
\text{halkaisija } d\\
\text{kehän pituus eli piiri } p\\

Tutkimustehtävä 1: Ympyrän kehän pituuden suhde halkaisijaan

Tutki oppimateriaalin sovelman avulla ja vastaa kysymyksiin.

Sara ja Vincent pohtivat, kuinka pitkän matkan heidän polkupyöränsä etenevät yhdellä renkaan pyörähdyksellä. Saran polkupyörän renkaan halkaisija on 26" ja Vincentin polkupyörän renkaan halkaisija 28". Nuoret mittasivat, että Saran polkupyörä kulkee yhdellä renkaan pyörähdyksellä 207,5 cm matkan ja Vincentin pyörä 223,4 cm matkan.

a) Mikä on pyörän kulkeman matkan ja halkaisijan suhde, kun 1" = 2,54 cm?

b) Tutki oheisen sovelman avulla, miten renkaan halkaisija vaikuttaa pyörän kulkemaan matkaan. Punainen jana on renkaan ympärysmitan pituinen.

Ympyrän kehän pituus

p=2\pi r
=\pi d

Ympyrän kehän pituuden ja halkaisijan suhde on vakio.

\frac{p}{d}=\pi
\parallel\cdot d
p=\pi d
=\pi\cdot2r

Esimerkki 1

Esimerkki 2

Tutkimustehtävä 2: Ympyrän pinta-ala

Pohdi alla olevan sovelman avulla, miten ympyrän pinta-ala lasketaan.

Pystytkö perustelemaan ympyrän pinta-alan kaavan alla olevan sovelman avulla?

Ympyrän pinta-ala

A=\pi r^2

Esimerkki 3

Esimerkki 4

Esimerkki 5

Luku 3.1
Ympyrän osat, kehän pituus ja pinta-ala 1 2 3 6
Yhtälö apuna 4 5
Piirtäminen 7

Ympyröitä:

Perusasiat hallussa!

Esimerkki 5

Esimerkit 2 ja 4

3.2 Ympyräsektori ja -segmentti

Tavoitteet:

  • Opit lisää ympyrään liittyviä käsitteitä: keskuskulma, sektori, jänne, segmentti.
  • Opit laskemaan ympyräsektorin kaaren pituuden.
  • Opit laskemaan ympyräsektorin pinta-alan.
  • Tutustut segmentin pinta-alan laskemiseen.
\text{keskuskulma }\alpha
\text{(ympyrä)sektori}

Tutkimustehtävä 1: Sektorin osien suhteista

Viereisessä kuvassa on neljä kuvaa samasta ympyrästä. Olkoon ympyrän kehän pituus  ja pinta-ala .

a) Laske jokaisesta ympyrästä

1) keskuskulman osuus täydestä kulmasta

2) kaaren pituuden osuus ympyrän kehän pituudesta ja

3) sektorin pinta-alan osuus koko ympyrän pinta-alasta.

Tulokset kannattaa taulukoida.

b) Miten kaaren pituus muuttuu keskuskulman muuttuessa? Entä sektorin pinta-ala?

Sektorin kaaren pituus

b=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi r

Sektorin pinta-ala

A_\text{sektori}=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi r^2

Tutkimustehtävä 2: Segmentin pinta-ala

Tutki segmentin pinta-alaa alla olevan sovelman avulla. Segmentti on kuvassa vaaleanpunaisella. Tartu sovelmassa toiseen punaiseen pisteeseen ja siirrä sitä. Tarkastele eri kokoisia segmenttejä.

Mitkä ovat tarvittavat apukuviot, ja miten niiden avulla voidaan määrittää segmentin pinta-ala?

Luku 3.2
Ympyrän osat 1 2
Kaaren pituus ja sektorin pinta-ala 3 5
Segmentin pinta-ala 4
Piirtäminen 8

Ympyräsektori ja -segmentti

Perusasiat hallussa!

Esimerkki 4

3.3 Ympyrään liittyvät kulmat

Tavoitteet:

  • Opit lisää ympyrään liittyviä käsitteitä: ympyrän tangentti, tangenttikulma ja kehäkulma.
  • Opit kehäkulman ja keskuskulman yhteyden.
  • Opit tangenttikulman ja keskuskulman yhteyden.
  • Opit tarkastelemaan ympyrän tangenttiin, keskuskulmaan ja kehäkulmaan liittyviä tilanteita.

Tutki alla olevan sovelman avulla ympyrän tangentteihin liittyviä kulmia.

a) Liikuta sinistä pistettä ympyrän ulkopuolella. Mitä huomaat sinisten kulmien suuruksista?

b) Liikuta sinistä pistettä siten, että tangenttikulman suuruudeksi tulee 45 astetta, 60 astetta ja 80 astetta. Laske jokaisessa kohdassa tangenttikulman ja keskuskulman summa. Mitä huomaat summista?

Tutkimustehtävä 1: Ympyrän tangentteihin liittyvät kulmat

Ympyrän osia

Tangenttikulmalause

Tangenttikulman ja sitä vastaavan keskuskulman summa on 180°.

\alpha+\beta=180^\circ

Tutkimustehtävä 2: Kehäkulma ja keskuskulma

Tutki oheisen sovelman avulla, mikä on keskuskulman suuruus, kun kehäkulman suuruus on 50°, 90° ja 115°. Laske jokaisessa tilanteessa kehäkulman suhde keskuskulmaan. Mitä huomaat?

Kehäkulmalause

\beta=\frac{\alpha}{2}
\alpha=2\beta
Luku 3.3
Ympyrän osat 1 2
Tangenttikulmalause
Keskuskulmalause		 3 4 6 7
Piirtäminen 8

Ympyrään liittyviä kulmia

Perusasiat hallussa!

Nyt olet opiskellut jakson 3. Tasogeometria: Ympyrä kaikki sisällöt.

Voit

  • joko syventää ymmärrystäsi tekemällä lukujen 3.1-3.3 syventäviä tai soveltavia tehtäviä (tavoitearvosanat 7-8 tai 9-10)
  • tai testata osaamisesi luvun 3.4 tehtävillä.

Seuraava slide!

Viimeinen slide!

Syvennä ymmärrystä

Keskitason taitaja!

Luku 3.1 9 11 12
Luku 3.2 6 7 10 11
Luku 3.3 10 11 13

Huippuosaaja!

Luku 3.1 14 15
Luku 3.2 13 15
Luku 3.3 18

Testaa osaamisesi II

Testaa luvun 3.4 tehtävillä, kuinka hyvin hallitset ympyrään, ympyräsektoriin ja -segmenttiin sekä ympyrään liittyviin kulmiin liittyvät tiedot ja taidot. Ideana on yrittää tehdä tehtävät ilman apuja, jolloin näet, kuinka hyvin olet oppinut opiskeltavat sisällöt.

Valitse tehtäväsarja oman tavoitetasosi mukaan.

  • Jos tavoittelet opintojaksosta arvosanaa 5-6, tee tehtävän 1 alakohdat (Perusasiat hallussa!).
  • Jos tavoittelet opintojaksosta arvosanaa 7-8, tee tehtävän 2 alakohdat (Keskitason taitaja!).
  • Jos tavoittelet opintojaksosta arvosanaa 9-10, tee tehtävän 3 alakohdat (Huippuosaaja!).
  • Voit myös silmäillä tehtäväsarjan läpi ja ottaa sen sarjan, joka näyttää sopivan tasoiselta.

Saatuasi tehtävän malliratkaisun voit pisteyttää vastauksesi malliratkaisusta löytyvän pisteytysehdotuksen avulla. Jokaisen tehtävän enimmäispistemäärä on 12 pistettä.