Unidad 1: Automatización y Control Industrial
Ing. Oscar Alonso Rosete Beas
Semana 7 Septiembre Rev:2 ciclo 2020-2
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1.1. Definiciones y conceptos relacionados a los sistemas de control
1.2. Aplicaciones industriales de los sistemas de control
1.3. Sistemas de control de lazo abierto y Sistemas de Control de Lazo Cerrado
1.4. Modelado de sistemas dinámicos
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1.1. Definiciones y conceptos relacionados a los sistemas de control
1.2. Aplicaciones industriales de los sistemas de control
1.3. Sistemas de control de lazo abierto y Sistemas de Control de Lazo Cerrado
1.4. Modelado de sistemas dinámicos
1.5. Características de la respuesta en el tiempo
1.6. Estabilidad y error en estado estable
1.7. Controladores: Tipos, características y aplicaciones
1.8 Fundamentos de Labview y Matlab
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Representación general lazo cerrado
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Un primer principio es un principio básico, una proposición fundamental que como tal no admite demostración a partir de principios más básicos, o no necesita demostración por ser auto-evidente.
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Altenativa: Datos Empíricos
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Modelo para diseño/análisis: simple
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Sistemas estáticos
La salida es determinada únicamente por la entrada actual, reacciona al instante.
La relación I/O no cambia (estática)
Relación representada por ecuación algebraica.
Sistemas dinámicos
La salida tiene retardo en su reacción.
La relación I/O cambia con el tiempo y depende de entradas pasadas y condiciones iniciales(dinámico)
Su relación se representa con una ecuación diferencial.
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Motor perspectiva estática
Perspectiva dinámica
2 enfoques para obtener el modelo de un sistema o proceso
El nivel de precisión del modelo (model fidelity)
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La dinámica de un sistema se representa en primer lugar mediante un modelo matemático compuesto por ecuaciones diferenciales.
Un sistema LTI (Linear Time-Invariant) es sistema lineal e invariante en el tiempo.
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Se caracterizan por cumplir las propiedades siguientes:
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Se caracterizan por cumplir las propiedades siguientes:
si la respuesta del sistema solo depende de T y de la entrada, pero no del instante de tiempo en que se aplica la entrada, se dice que es invariante en el tiempo, o t-invariante.
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Los sistemas LTI son muy comunes, incluyen circuitos electricos compuestos por resistencias, inductores y capacitores. Asi como sistemas mecánicos compuestos de masas, resortes y amortiguadores (dashpots).
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2 enfoques para la resolución de ecuaciones diferenciales
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Consideremos el siguiente sistema mecánico del tipo dinámico compuesto por una masa, resorte y un amortiguador.
Obtengamos su modelo a partir de "primeros principios".
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La mayoria de los sistemas de control contiene componentes tanto mecanicos como electricos, auuque algunos tambien tienen elementos neumaticos e hidraulicos. Desde punto de vista matematico los elementos mecanicos y electricos son analogos.
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El siguiente sistema de masa resorte con un grado de libertad se puede visualizar como el circuito eléctrico mostrado en la figura derecha.
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El movimiento de traslación esta definido como un movimiento que toma lugar a lo largo de una línea recta. Las variables que se utilizan para describir el movimiento de traslación son la aceleración, velocidad y desplazamiento.
La ley del movimiento de Newotn establece que la suma algebraica de las fuerzas que actuan sobre un cuerpo rigido en una direccion es igual al producto de la masa del cuerpo por su aceleración en la misma dirección.
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En este tipo de sistemas, los siguientes elementos están involucrados:
La ecuación de la fuerza se escribe como:
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En este tipo de sistemas, los siguientes elementos están involucrados:
2. Resorte lineal: Un modelo de un resorte real o la compliancia de un cable o una banda. En general, un resorte esta considerado como un elemento que almacena energía potencial. Análogo a un capacitor.
En la vida real son no lineales, pero si la deformación es pequeña se puede aproximar su coportamiento a la siguiente relación. K es la constante del resorte, o simplemente rigidez. Ley de Hooke
Si esta precargado con una tensión T
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Resorte lineal
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En este tipo de sistemas, los siguientes elementos están involucrados:
3. Fricción para el movimiento de traslacion
Cuando exista movimiento o tendencia de movimiento entre dos sistemas físicos, se presentarán fuerzas de friccion. Las fuerzas de friccion son de naturaleza no lineal y dependen de la composición de superficies, presion entre las mismas, velocidad relativa entre otras:
Existen tres tipos de fricción:
Fricción viscosa, estática y de coulomb
Figura inferior (izq a derecha)
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Fricción viscosa/amortiguador
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Fricción viscosa
3. Fricción para el movimiento de traslacion
La fricción viscosa representa una fuerza que es una relación lineal entre la fuerza aplicada y la velocidad. A menudo, el esquema del elemento de fricción viscosa se representa como un amortiguador.
La expresión matemática de la fricción viscosa es:
donde b es el coeficiente de friccion viscosa
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Ecuaciones de sistemas mecánicos
Las ecuaciones de un sistema mecánico lineal se escriben, primero construyendo un modelo del sistema que contenga los elementos lineales conectados y luego se aplica la ley del movimiento de Newton al diagrama de cuerpo libre.
Para el movimiento de traslación se emplea:
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Considere el sistema de masa-resorte-fricción (amortiguador) que se muestra en la figura. El movimiento lineal de interés es el de dirección horizontal (traslación)
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Realizando un diagrama de cuerpo libre donde se aplica una fuerza f(t) las fuerzas involucradas se verían como se muestra en el siguiente diagrama de cuerpo libre:
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La ecuacion diferencial de un sistema de n-ésimo orden se escribe como:
Se le llama ecuacion diferencial ordinaria lineal.
Se puede descomponer en n ecuaciones diferenciales de primer orden.
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Si las raices son completamente reales, la solución es del tipo exponencial
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Si las raices son complejas, se puede reescribir en terminos de senos y cosenos utilizando la identidad de euler.
parte real=tasa de decaimiento
parte imaginaria= frecuencia de oscilación.
si exponencial =0?
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Considere el sistema de masa-resorte-fricción (amortiguador) que se muestra en la figura. El movimiento lineal de interés es el de dirección horizontal (traslación)
B=4Ns/m m=2kg k=2N/m xo=1m vo=0m/s
B=coeficiente de amortiguamiento viscoso
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Considere el sistema de masa-resorte-fricción (amortiguador) que se muestra en la figura. El movimiento lineal de interés es el de dirección horizontal (traslación)
B=5Ns/m m=2kg k=2N/m xo=1m vo=0m/s
B=coeficiente de amortiguamiento viscoso
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Considere el sistema de masa-resorte-fricción (amortiguador) que se muestra en la figura. El movimiento lineal de interés es el de dirección horizontal (traslación)
B=0.3Ns/m
m=1kg
k=9/4 N/m
xo=1m vo=0m/s
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Considere el sistema de masa-resorte-fricción (amortiguador) que se muestra en la figura. El movimiento lineal de interés es el de dirección horizontal (traslación)
B=0Ns/m
m=1kg
k=9/4 N/m
xo=1m vo=0m/s
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1.1. Definiciones y conceptos relacionados a los sistemas de control
1.2. Aplicaciones industriales de los sistemas de control
1.3. Sistemas de control de lazo abierto y Sistemas de Control de Lazo Cerrado
1.4. Modelado de sistemas dinámicos
1.5. Características de la respuesta en el tiempo
1.6. Estabilidad y error en estado estable
1.7. Controladores: Tipos, características y aplicaciones
1.8 Fundamentos de Labview y Matlab
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2 enfoques para la resolución de ecuaciones diferenciales
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Para resolver una ecuación diferencial lineal ordinaria el procedimiento es :
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En esta etapa el ingeniero analiza el sistema para identificar si las especificaciones de la respuesta y requerimientos de desempeño son cumplidos y se realizan ajustes de los parametros del sistema.
Si no pueden ser cumplidos se diseña hardware adicional para obtener la respuesta.
Es necesario comparar el comportamiento de diferentes sistemas de control. Para compararlos se utilizan señales de prueba (impulso, escalon, rampa) , analiticamente y durante las pruebas para verificar el diseño.
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Al realizar la modelación del sistema en forma analítica, el sistema que puede representarse de las siguientes maneras:
1) Modelo matemático en forma de ecuaciones diferenciales-integro-diferenciales-algebraicas.
2) Función de transferencia que transforme el modelo matemático vía Laplace.
3) Espacio de estado, a través de la ecuación de estado y la ecuación de salida.
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La función de transferencia caracteriza la relación entrada-salida de componentes o sistemas que pueden ser descritos por ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo.
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Encontrar la función de transferencia para el siguiente sistema masa resorte amortiguador:
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Encuentre la función de transferencia, G(s)=C(s)/R(s), correspondiente a la siguiente ecuación diferencial:
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Previamente, se discutio como encontrar un modelo matemático de un sistema, la función de transferencia para sistemas mecánicos LTI.
Se define como G(s) = C(s)/R(s) o la razon de la transformada de laplace de la salida sobre la transformada de laplace de la entrada.
El modelado a través de funciones de trasnferencia se puede aplicar a sistemas eléctricos, hidráulicos, pneumáticos, económicos o de transferencia de calor, para lo cual deben ser aproximados como lineales.
Teniendo una funcion de transferencia podemos evaluar su respuesta a determinada entrada.
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La respuesta de un sistema es la suma de dos tipos de respuestas: la respuesta forzada y la respuesta natural.
Se utilizan diversas tecnicas tales como encontrar la transformada de laplace o resolver las ecuaciones diferenciales, tecnicas que pueden ser laboriosas.
La utilización del análisis de los polos y ceros y su relación con la respuesta en el tiempo nos beneficia para poder encontrar el resultado por inspección.
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Los polos de una función de transferencia son los valores de la variable s de la transformada de laplace que hacen que nuestra función de transferencia se vuelva infinita.
Las raíces de un polinomio característico en el denominador hacen la función de transferencia infinta, por ende, son polos.
Teniendo como consideración especial el mantener como polo aunque pueda ser cancelado por un termino en el numerador.
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Los ceros de una función de transferencia son los valores de la variable s en la transformada de laplace que causan la función de transsferencia obtenga el valor de 0.
Las raíces del numerador en una función de transferencia son denominados ceros.
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Los polos determinan la naturaleza de la respuesta en el tiempo.
Los polos de la función de entrada determinan la respuesta forzada, los polos de la función de transferencia la respuesta natural.
Los polos y ceros contribuyen a las amplitudes de la respuesta total.
Polos en el eje real dan respuestas exponenciales.
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Analicemos el caso general de un sistema de segundo orden, que cuenta con dos polos y ningun cero.
El termino en el numerodar es un factor que multiplica nuestra respuesta pero no afecta la forma.
Asignando valores a los parametros a y b, podemos obtener todas las respuestas transitorias sde un sistema de segundo orden. Analicemos la respuesta al escalón unitario. Considerando C(s) = R(s)G(s), where R(s) = 1/s, utilizando expansión por fracciones parciales y transformada inversa de laplace.
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Polos Complejos
Resumen
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Sobreamortiguada
Dos polos reales en
Respuesta natural: Dos exponenciales con constantes del tiempo iguales al reciproco de la ubicación de los polos.
Subamortiguada
Polos complejos en:
Respuesta natural: senoide amortiguada con frecuencia angular equivalente a la parte imaginaria de los polos.
Resumen
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No amortiguada
Dos polos imaginarios
Respuesta natural: Senoides no amortiguadas con frecuencia angular equivalente al componente imaginario.
Criticamente amortiguada
Polos reales en :
Respuesta natural: Un termino es exponencial y el otro es el producto del tiempo y un exponencial.
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Para cada una de las siguientes funciones de transferencia, escribe a través de inspeccion, la forma general de su respuesta al escalón y clasifiquela.
Compruebe por lo menos 2 de ellas con la resolución a través de fracciones parciales.
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Other parameters associated with the underdamped response are rise time, peak time, percent overshoot, and settling time. These specifications are defined as follows:
1. Rise time, Tr. The time required for the waveform to go from 0.1 of the final value to 0.9 of the final value.
2. Peak time, TP. The time required to reach the first, or maximum, peak.
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3. Percent overshoot, %OS. The amount that the waveform overshoots the steadystate, or final, value at the peak time, expressed as a percentage of the steady-state value.
4. Settling time, Ts. The time required for the transient’s damped oscillations to reach and stay within 2% of the steady-state value
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