9 Ideaalikaasun tilanyhtälö

FY03 Energia ja lämpö

Suljetun kaasusysteemin tilanmuutos

Kuva: Resonanssi 3 (e-Oppi)

Suljetun kaasusysteemin tilanyhtälö

  • Kaasujen tilanyhtälöt käsittelevät ainoastaan kaasun alkutilannetta ja lopputilannetta
    • Niiden välinen prosessi voi olla millainen tahansa
  • Suljetussa systeemissä kaasun paineella p, tilavuudella V ja absoluuttisella lämpötilalla T on voimassa seuraava riippuvuus
\frac{pV}{T} = \text {vakio}
\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}

Laskuissa lämpötila aina kelvineinä!

Kuva: Resonanssi 3 (e-Oppi)

p_1 V_1 = p_2 V

Isoterminen prosessi

Isobaarinen prosessi

\frac{V}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}

Sijoitetaan V Boylen lakiin

V = \frac{V_2 T_1}{T_2}
p_1 V_1 = p_2 \frac{V_2 T_1}{T_2}
\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}

Kuva: Resonanssi 3 (e-Oppi)

Esimerkki 1

Heliumilla täytetty säähavaintopallo voi laajeta 3,0 m³:n tilavuuteen ennen halkeamistaan. Säätilaa tutkitaan palloon asennetun lähettimen avulla korkeudella, jossa paine on 710 hPa (noin 3 km) ja lämpötila –12 °C. Pallo täytetään normaaliolosuhteissa (NTP).

Mikä on tilavuus, johon pallo voidaan täyttää, jotta tiedon hankinta tuolta korkeudelta onnistuisi?

Kuva: Wikipedia / Famartin CC BY-SA 3.0

Säähavaintopallo muodostaa suljetun kaasusysteemin, joten kaasun ainemäärä ei muutu. Suljetun kaasusysteemin tilanyhtälön mukaan

\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}
\text {tilavuus lopussa} \ V_2 = 3,0 \ \text m^3
\text {lämpötila alussa} \ T_1 = 20 \ \degree \text C = (20 + 273,15) \ \text K = 293,15 \ \text K
\text {lämpötila lopussa} \ T_2 = -12 \ \degree \text C = (-12 + 273,15) \ \text K = 261,15 \ \text K
V_1 = \frac{71 \ 000 \ \text {Pa} \ \cdot \ 3,0 \ \text m^3 \ \cdot \ 293,15 \ \text K}{101 \ 325 \ \text {Pa} \ \cdot \ 261,15 \ \text K}
\text {tilavuus alussa} \ V_1 = ?
V_1 = \frac{p_2V_2T_1}{p_1T_2}
\text {paine alussa} \ p_1 = 101 \ 325 \ \text {Pa}
\text {paine lopussa} \ p_2 = 710 \ \text {hPa} = 71 \ 000 \ \text {Pa}
V_1 = 2,35973 \ \text m^3 \approx 2,4 \ \text m^3

Avogadron laki

  • Aikaisemmin tarkastelluissa kaasulaeissa kaasun määrä on ollut vakio (suljettu kaasusysteemi)
  • Myös kaasun määrän muutos vaikuttaa tilanmuuttujiin p, T ja V (avoin kaasusysteemi)
  • Avogadron laki: samassa tilavuudessa V, lämpötilassa T ja paineessa p kaikki kaasut sisältävät saman ainemäärän n eli yhtä monta kaasumolekyylia

 

 

  • Yhdessä moolissa kaasua on Avogadron vakion                              verran rakenneosia
  • Ainemäärä n voidaan laskea aineen massan m ja moolimassan M avulla
\frac{V}{n} = \text {vakio}
n = \frac{m}{M}
(N_A = 6,022 \cdot 10^{23})
\Rightarrow V = \text {vakio} \cdot n
[n] = \frac{[m]}{[M]} = \frac{\text{g}}{\text {g/mol}} = \text{mol}
(V \sim n)

Kuva: MAOL-taulukot (Otava)

Yksittäisen atomin moolimassa on merkitty jaksolliseen järjestelmään yksikössä g/mol

Jos molekyylissä on useita atomeja (esim. O2 tai H2O), pitää moolimassa laskea itse

Yleinen ideaalikaasun tilanyhtälö

pV = nRT
  • Avogadron lain mukaan kaasun tilavuus on suoraan verrannollinen ainemäärään (V ~ n), joten

 

 

  • Tämä vakio on sama kaikille kaasusysteemeille, sitä kutsutaan mooliseksi kaasuvakioksi (yleinen kaasuvakio)
  • Paineen, tilavuuden, lämpötilan ja ainemäärän välinen riippuvuus on nimeltään kaasun yleinen tilanyhtälö (ideaalikaasun tilanyhtälö)
\frac{pV}{T} = n \cdot \text {vakio}
R = 8,31446 \ \frac{\text {Pa} \ \cdot \ \text {m}^3}{\text K \ \cdot \ \text {mol}}
p = \text {kaasun paine}
T = \text {kaasun absoluuttinen lämpötila}
R = \text {yleinen kaasuvakio}
V = \text {kaasun tilavuus}
n = \text {kaasun ainemäärä}

Esimerkki 2

Vappupallon tilavuus on 11 litraa 19 °C lämpötilassa. Pallossa olevan heliumin massa on 2,0 g. Laske vappupallon sisällä vallitsevan paineen suuruus. Pallon kimmo-ominaisuuksien muuttumista (venymistä tai puristumista) ei oteta huomioon.

Lasketaan nyt heliumkaasun paine ideaalikaasun tilanyhtälöllä

pV = nRT
\text {tilavuus} \ V = 11 \ \text l = 11 \ \text {dm}^3 = 0,011 \ \text {m}^3
\text {lämpötila} \ T = 19 \ \degree \text C = (19 + 273,15) \ \text K = 292,15 \ \text K
\text {heliumin massa} \ m = 2,0 \ \text g
p = \frac{2,0 \ \text g \ \cdot \ 8,31446 \ \frac{\text {Pa} \ \cdot \ \text {m}^3}{\text K \ \cdot \ \text {mol}} \ \cdot \ 292,15 \ \text K}{4,003 \ \text {g/mol} \ \cdot \ 0,011 \ \text {m}^3} = 110 \ 330 \ \text {Pa} \approx 110 \ \text {kPa}
p = \frac{mRT}{MV}
\text {paine} \ p = ?
\text {moolinen kaasuvakio} \ R = 8,31446 \ \frac{\text {Pa} \ \cdot \ \text {m}^3}{\text K \ \cdot \ \text {mol}}
\Rightarrow \ \ \ pV = \frac{m}{M} \cdot RT
\text {heliumin moolimassa} \ M = 4,003 \ \text {g/mol}

Heliumkaasun ainemäärä on

n = \frac{m}{M}