運算思維之雜七雜八

你沒看錯，第一堂課就直接想不到命名

Lecturer：Repkironca、Rainple

虛數 Imaginary Numbers

－對，你們聽過的虛數符號

i

定義\;i\,^2\;=\;-1

How\;about\;i\;=\;\sqrt{-1}？

How\;about\;i\;=\;\sqrt{-1}？

合理，但盡量不要使用

\sqrt{a}\;×\sqrt{b}\;=\;\sqrt{ab}，\forall\;a、b > 0

\sqrt{a}\;×\sqrt{b}\;=\;\sqrt{ab}，\forall\;a、b > 0

(X) i\;×\;i\;=\;\sqrt{-1}×\sqrt{-1}\;=\;\sqrt{1}

(X) i\;×\;i\;=\;\sqrt{-1}×\sqrt{-1}\;=\;\sqrt{1}

\sqrt{a}\;×\sqrt{b}\;=\;-\sqrt{ab}，\forall\;a、b\;<\;0

\sqrt{a}\;×\sqrt{b}\;=\;-\sqrt{ab}，\forall\;a、b\;<\;0

計算太複雜了，而且一堆例外，好煩

複數 Complex Numbers

-\;Ans：1 + i，實數加虛數？

-\;Ans：1 + i，實數加虛數？

定義\;：\;a\;+\;b\,i

定義\;：\;a\;+\;b\,i

實部

虛部

-\;共軛複數：實部相等，b 互為相反數

-\;共軛複數：實部相等，b 互為相反數

5\;+\;7\,i

5\;+\;7\,i

5\;-\;7\,i

5\;-\;7\,i

13\;+\;17\,i

13\;+\;17\,i

13\;-\;17\,i

13\;-\;17\,i

x\;=\;a\;+\;b\,i

x\;=\;a\;+\;b\,i

\overline{x}\;=\;a\;-\;b\,i

\overline{x}\;=\;a\;-\;b\,i

if\;b\;=\;0\;\wedge\;a\;\in\;R，then\;(\,a\;+\;b\,i\,)\;\in\;R

if\;b\;=\;0\;\wedge\;a\;\in\;R，then\;(\,a\;+\;b\,i\,)\;\in\;R

if\;b\;\neq\;0\;\wedge\;a、b\;\in\;R，then\;(\,a\;+\;b\,i\,)\;\in\;I

if\;b\;\neq\;0\;\wedge\;a、b\;\in\;R，then\;(\,a\;+\;b\,i\,)\;\in\;I

複數 Complex Numbers

加法：\overline{x}\;+\;\overline{y}\;=\;\overline{x\;+\;y}

加法：\overline{x}\;+\;\overline{y}\;=\;\overline{x\;+\;y}

\overline{1\;+\;2\,i}\;+\;\overline{2\;-\;3\,i}

\overline{1\;+\;2\,i}\;+\;\overline{2\;-\;3\,i}

=\;1\;-\;2\,i\;+\;2\;+\;3\,i

=\;1\;-\;2\,i\;+\;2\;+\;3\,i

=\;3\;+\;i\;=\;\overline{3\;-\;i}

=\;3\;+\;i\;=\;\overline{3\;-\;i}

乘法：\overline{x}\;×\;\overline{y}\;=\;\overline{x\,y}

乘法：\overline{x}\;×\;\overline{y}\;=\;\overline{x\,y}

\overline{1\;+\;2\,i}\;×\;\overline{2\;-\;3\,i}

\overline{1\;+\;2\,i}\;×\;\overline{2\;-\;3\,i}

=(\,1\;-\;2\,i\,)\;(\,2\;+\;3\,i\,)

=(\,1\;-\;2\,i\,)\;(\,2\;+\;3\,i\,)

=\;2\;+\;3\,i\;-\;4\,i\;-\;6\,i^2

=\;2\;+\;3\,i\;-\;4\,i\;-\;6\,i^2

=\;8\;-\;i\;=\;\overline{8\;+\;i}

=\;8\;-\;i\;=\;\overline{8\;+\;i}

試求\,x\,^2\;-4\,x\;+\;5\;之解？

＂蛤可是它的判別式小於 0 耶＂

x = \frac{4\;\pm\;\sqrt{-4}}{2}

x = \frac{4\;\pm\;\sqrt{-4}}{2}

\;= \frac{4\;\pm\;\sqrt{4}\,i}{2}

\;= \frac{4\;\pm\;\sqrt{4}\,i}{2}

\;= 2\;\pm\;i

\;= 2\;\pm\;i

Ans\;\in\;I，且兩根互為共軛複數

Ans\;\in\;I，且兩根互為共軛複數

!

階乘 Factorial

－白話定義：一直往下乘下去，直到 1 為止

－數學定義：n\,!\;=n\;×\;(\,n\;-\;1\,)\,!

－數學定義：n\,!\;=n\;×\;(\,n\;-\;1\,)\,!

4\,!\;=\;4\;×\;3\;×\;2\;×\;1\;=\;24

4\,!\;=\;4\;×\;3\;×\;2\;×\;1\;=\;24

\because 1\,!\;=\;1\;×\;0\,!\;=\;1

\because 1\,!\;=\;1\;×\;0\,!\;=\;1

\therefore define\;0\,!\;=\;1

\therefore define\;0\,!\;=\;1

如果你想知道，可以啃這篇論文

\frac{1}{2}\,!\;=\;\frac{\sqrt{\pi}}{2}

\frac{1}{2}\,!\;=\;\frac{\sqrt{\pi}}{2}

for more information

\forall\;n\;\in\;N

\forall\;n\;\in\;N

n= 0

n= 0

\forall\,n\in R\wedge n \geq0

\forall\,n\in R\wedge n \geq0

\forall\,n\in R

\forall\,n\in R

屬於 Belongs To

\in

\in

不屬於 Not Belongs To

\notin

\notin

－字面上的意思，後面常接一個數系

\pi\;\in\;R

\pi\;\in\;R

\sqrt{-7122}\;\notin\;R

\sqrt{-7122}\;\notin\;R

對於所有 For All

\forall

\forall

－後面也可以接一個集合，等等會講到

－拜託不要講中文，沒人聽得懂

－同樣字面上的意思，代表 每個 case 都符合此條件

n\;\leq\;100，\forall\;n\;\in\;Z

n\;\leq\;100，\forall\;n\;\in\;Z

求和符號 Summation

\Sigma

\Sigma

－那個符號正是大寫 Sigma，我們也會這樣叫它

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

\Sigma_{i = 1}^{10}\;i

\Sigma_{i = 1}^{10}\;i

1 + 2 + 3 + ... + 10 = 55

1 + 2 + 3 + ... + 10 = 55

\Sigma_{i = 1}^{10}\;i\;=\;55

\Sigma_{i = 1}^{10}\;i\;=\;55

－一個計數器，每次遞增 1，再把結果加起來

i\;=\;1：計數器命名為\;i，從＂1＂開始往上遞增\;1

i\;=\;1：計數器命名為\;i，從＂1＂開始往上遞增\;1

10：當計數器數完＂10＂後就會結束

10：當計數器數完＂10＂後就會結束

i（右邊的）：把每個時刻的＂i＂都加起來

i（右邊的）：把每個時刻的＂i＂都加起來

求和符號 Summation

\Sigma

\Sigma

一點點小變化？

\frac{\Sigma_{i = 1}^{n}\;(x_i＋y_i)}{2n}

\frac{\Sigma_{i = 1}^{n}\;(x_i＋y_i)}{2n}

每次各加一個 x 與 y 進來

最終總共有 2n 項！！

\Sigma_{i = 5}^{15}\;i

\Sigma_{i = 5}^{15}\;i

5＋6＋7＋...＋15

5＋6＋7＋...＋15

\Sigma_{i = 1}^{10}\;2\,i

\Sigma_{i = 1}^{10}\;2\,i

(2×1)＋(2×2)＋...＋(2×10)

(2×1)＋(2×2)＋...＋(2×10)

\Sigma_{i = 1}^{10}\;(2\,i + 3)

\Sigma_{i = 1}^{10}\;(2\,i + 3)

(2×1+3)＋(2×2+3)＋...＋(2×10+3)

(2×1+3)＋(2×2+3)＋...＋(2×10+3)

\Sigma_{i = 1}^{10}\;4

\Sigma_{i = 1}^{10}\;4

4+4+4+4+4+4+4+4+4+4

4+4+4+4+4+4+4+4+4+4

\Sigma_{i = 1}^{n}\;x_i

\Sigma_{i = 1}^{n}\;x_i

x_1＋x_2＋x_3＋...＋x_n

x_1＋x_2＋x_3＋...＋x_n

x_1＋x_2＋x_3＋...＋x_n

x_1＋x_2＋x_3＋...＋x_n

y_1＋y_2＋y_3＋...＋y_n

y_1＋y_2＋y_3＋...＋y_n

求兩數列之平均？

求積符號 Product

\Pi

\Pi

－跟求和符號一模一樣，只是 "加" 改成 "乘"

－那個就是大寫 Pi，~~但我不會這樣叫他~~

\Pi_{i = 1}^{10}\;i

\Pi_{i = 1}^{10}\;i

1×2×3×...×10

1×2×3×...×10

\Pi_{i = 1}^{n}\;(2\,x_i)

\Pi_{i = 1}^{n}\;(2\,x_i)

2\,x_1×2\,x_2×2\,x_3×...2\,x_n

2\,x_1×2\,x_2×2\,x_3×...2\,x_n

\Pi_{i = 2}^{20}\;(i(i－1))

\Pi_{i = 2}^{20}\;(i(i－1))

(2×1)×(3×2)×...×(20×19)

(2×1)×(3×2)×...×(20×19)

\Pi_{i = 1}^{5}\;((x_i＋y_i)×(x_{2i}－y_{2i}))

\Pi_{i = 1}^{5}\;((x_i＋y_i)×(x_{2i}－y_{2i}))

[(x_1＋y_1)(x_2－y_2)]×[(x_2＋y_2)(x_4－y_4)]×...×[(x_5＋y_5)(x_{10}－y_{10})]

[(x_1＋y_1)(x_2－y_2)]×[(x_2＋y_2)(x_4－y_4)]×...×[(x_5＋y_5)(x_{10}－y_{10})]

英文	中文	邏輯符號	C++ 邏輯運算子	意義
not	非	¬ A / ~A	! A	A的反相(布林反轉)
and	且	A ∧ B	A && B	AB皆T→T
or	或	A ∨ B	A \|\| B	AB任一為T→T
xor	異或	A ⊕ B	A ^ B	AB僅一為T→T

A	B	A ∧ B
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

A	B	A ∨ B
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

A	B	A ⊕ B
T	T	F
T	F	T
F	T	T
F	F	F

What is 「只在原敘述的範圍內更動」？

Ans：不要講太多，根本沒人在乎

e.g. ~ ( 蘇昱亙是白癡 ) ≡ 蘇昱亙不是白痴

或蘇昱亙是熱鯊

或蘇昱亙是

菸鹼醯胺腺嘌呤二核苷酸磷酸

或蘇昱亙是位能

或蘇昱亙是八元數

不用特別講，沒人在乎

超出我們討論的範圍

其他例子：~ ( x > 2 ) ≡ ( x ≤ 2 ) ~~∨ ( x ∉ ℝ)~~

　　　　　超過10人及格 ≡ 至少11人及格~~或人數不是自然數~~

\begin{cases} 　\\ 　\\ 　\\ 　\\ 　 \end{cases}

\begin{cases} 　\\ 　\\ 　\\ 　\\ 　 \end{cases}

What is 集合？

Ans：由一坨元素構成的群體，通常用Ｓ(set)表示單個集合

e.g.一鍋火鍋是一個集合，蟹肉棒、烏龍麵、五花豬、昆布湯都是一種元素

怎麼表示有的元素？

\begin{aligned} S_1&=\{1,2,4,8,125\}\\ &\Rightarrow S_1裡面有(1),(2),(4),(8),(125)這五個元素\\ S_2&=\{3.14,\{1,2,3\},i,\pi\}\\ &\Rightarrow S_2裡面有(3.14),(有(1),(2),(3)的集合),(i),(\pi)這四個元素 \end{aligned}

\begin{aligned} S_1&=\{1,2,4,8,125\}\\ &\Rightarrow S_1裡面有(1),(2),(4),(8),(125)這五個元素\\ S_2&=\{3.14,\{1,2,3\},i,\pi\}\\ &\Rightarrow S_2裡面有(3.14),(有(1),(2),(3)的集合),(i),(\pi)這四個元素 \end{aligned}

列舉法

S={...}

描述法

S={...|...的描述}

\begin{aligned} S_3&=\{x|x\in\mathbb{R}\wedge x^2-7x+6\geq0\}\\ &\Rightarrow S_3內的每個元素x皆屬於實數並符合x^2-7x+6\geq0\\ S_4&=\{(x,y)|y=\sin x\wedge x\in\mathbb{R}\}\\ &\Rightarrow S_4內的每個元素數對(x,y)皆在方程式y=\sin x上 \end{aligned}

\begin{aligned} S_3&=\{x|x\in\mathbb{R}\wedge x^2-7x+6\geq0\}\\ &\Rightarrow S_3內的每個元素x皆屬於實數並符合x^2-7x+6\geq0\\ S_4&=\{(x,y)|y=\sin x\wedge x\in\mathbb{R}\}\\ &\Rightarrow S_4內的每個元素數對(x,y)皆在方程式y=\sin x上 \end{aligned}

元素型式統一，具有某個特徵

元素量可能無限

不計次序，不計重複，不計屬性

元素性質不一，量通常少

．名詞符號解釋

舉個例子： S=\{1,2,3,4,5\}

舉個例子： S=\{1,2,3,4,5\}

1,2,3,4,5皆是元素，而屬於S

\begin{aligned} &\in 屬於\ Belongs\;to，[元素]\in[集合]\\ &e.g.\ 1\in S \end{aligned}

\begin{aligned} &\in 屬於\ Belongs\;to，[元素]\in[集合]\\ &e.g.\ 1\in S \end{aligned}

如果有一個集合T的元素皆屬於S，

此時稱T為S的子集，而T包含於S

\begin{aligned} &\subset/\subseteq 包含於\ Contained\;in，[子集]\subset[集合]\\ &e.g.\ T=\{1,2,3\},T\subset S \end{aligned}

\begin{aligned} &\subset/\subseteq 包含於\ Contained\;in，[子集]\subset[集合]\\ &e.g.\ T=\{1,2,3\},T\subset S \end{aligned}

有個集合啥都沒，則稱之為空集合，

記作 {} 或 ∅ ，且∅為任一集合之子集

\begin{aligned} &\varnothing\ 空集合\ Empty\;Set，\\ &e.g.\ \varnothing\subset S \end{aligned}

\begin{aligned} &\varnothing\ 空集合\ Empty\;Set，\\ &e.g.\ \varnothing\subset S \end{aligned}

有個集合包含所有 S 的研究對象，

稱之為宇集或基集，記為 U

\begin{aligned} &\mathrm{U}\ 宇集/基集\ Universal\;Set，\\ &e.g.\ S\subset \mathrm{U} \end{aligned}

\begin{aligned} &\mathrm{U}\ 宇集/基集\ Universal\;Set，\\ &e.g.\ S\subset \mathrm{U} \end{aligned}

如果Ｓ是有限集合（元素量可數），

此時用 n(S) 或 |S| 表示Ｓ的元素量

\begin{aligned} &n(S)\ /\ |S|\ S的元素個數\ The\;number\ of\ S，\\ &e.g.\ n(S)=|n|=5 \end{aligned}

\begin{aligned} &n(S)\ /\ |S|\ S的元素個數\ The\;number\ of\ S，\\ &e.g.\ n(S)=|n|=5 \end{aligned}

Pop Quiz！

S=\{\varnothing,1,2,\{3,4\},\{5\}\}

S=\{\varnothing,1,2,\{3,4\},\{5\}\}

\begin{aligned} (　)\ 1.&\ 1\in S\\ (　)\ 2.&\ \{1,2\}\in S\\ (　)\ 3.&\ \{3,4\}\in S\\ (　)\ 4.&\ \{3\}\subset S\\ (　)\ 5.&\ 4\in S\\ \end{aligned}

\begin{aligned} (　)\ 1.&\ 1\in S\\ (　)\ 2.&\ \{1,2\}\in S\\ (　)\ 3.&\ \{3,4\}\in S\\ (　)\ 4.&\ \{3\}\subset S\\ (　)\ 5.&\ 4\in S\\ \end{aligned}

Ｏ

╳

\begin{aligned} (　)&\ 6.\ \varnothing \in S\\ (　)&\ 7.\ \varnothing \subset S\\ (　)&\ 8.\ \{\{5\}\}\subset S\\ (　)&\ 9.\ 5\in S\\ (　)&\ 10.\ n(S)=6 \end{aligned}

\begin{aligned} (　)&\ 6.\ \varnothing \in S\\ (　)&\ 7.\ \varnothing \subset S\\ (　)&\ 8.\ \{\{5\}\}\subset S\\ (　)&\ 9.\ 5\in S\\ (　)&\ 10.\ n(S)=6 \end{aligned}

╳

Ｏ

Pop Quiz！

今有一個有限集合Ｓ，Ｓ共有多少不同子集？

令\forall A\subset S

令\forall A\subset S

\Rightarrow A的總數量=2^{n(S)}

\Rightarrow A的總數量=2^{n(S)}

每個子集，

對其中每個元素皆有拿(使屬於A)或不拿(使不屬於A)兩種選擇

每遇到一個元素就\times 2

每遇到一個元素就\times 2

Ans: 2^{n(S)}

Ans: 2^{n(S)}

．集合ㄉ計算

2.交集\cap :A\cap B=\{x|x\in A\wedge x\in B\}

2.交集\cap :A\cap B=\{x|x\in A\wedge x\in B\}

1.聯集\cup :A\cup B=\{x|x\in A\vee x\in B\}

1.聯集\cup :A\cup B=\{x|x\in A\vee x\in B\}

3.差集- :A - B=\{x|x\in A\wedge x\notin B\}

3.差集- :A - B=\{x|x\in A\wedge x\notin B\}

\begin{aligned} &4.補集'/\overline{　}:\\ &　B^{'}=\ \overline{B}=\{x|x\notin B \wedge x\in U\} \end{aligned}

\begin{aligned} &4.補集'/\overline{　}:\\ &　B^{'}=\ \overline{B}=\{x|x\notin B \wedge x\in U\} \end{aligned}

．補充：積集

\begin{cases} {\color{red}A=\{x|x\equiv 1 (mod\ 2)\}}\\ {\color{blue}B=\{y|y\equiv 1 (mod\ 3)\}} \end{cases}

\begin{cases} {\color{red}A=\{x|x\equiv 1 (mod\ 2)\}}\\ {\color{blue}B=\{y|y\equiv 1 (mod\ 3)\}} \end{cases}

０

1　　2　　3　　4　　5　　6　　7　　8　　9

(1,1)

(1,4)

(1,7)

(3,7)

(5,7)

(7,7)

(7,4)

(7,1)

(5,1)

(5,4)

(3,4)

(3,1)

A\times B=\{(x,y)|x\in A\wedge y\in B\}, n(A\times B)=n(A)\times n(B)

A\times B=\{(x,y)|x\in A\wedge y\in B\}, n(A\times B)=n(A)\times n(B)

運算思維之雜七雜八你沒看錯，第一堂課就直接想不到命名 Lecturer：Repkironca、Rainple

常見數學符號	進位制	位元運算
邏輯敘述	集合	數據分析
三角函數	排列組合	向量與矩陣
基礎數論	基礎微積分	怪怪的技巧

運算思維之雜七雜八

可能的收穫

些許副作用

IG 推坑時間

- ㄟ你知道要怎麼假文青ㄇ

追蹤一些看起來很厲害的專頁！

沒什麼特別的，就是沒營養的東西

JEE 導向，每天掉落一個進階題目，隔天附上解答，然後字體很美

一大堆酷公式、定理，外加證明

一點點希臘字母

108 課綱就不能

把數系教完整嗎

數系 Number System

虛數 Imaginary Numbers

虛數 Imaginary Numbers

複數 Complex Numbers

複數 Complex Numbers

SOURCE，有興趣可以慢慢點

常見的數學符號

!

階乘 Factorial

屬於 Belongs To

不屬於 Not Belongs To

對於所有 For All

求和符號 Summation

求和符號 Summation

一點點小變化？

求積符號 Product

邏輯

集合

Set