運算思維之雜七雜八

你沒看錯,第一堂課就直接想不到命名

Lecturer:Repkironca、Rainple

  • 學校不教的酷東西

可能的收穫

些許副作用

  • 教你數學的人數學很爛
  • 對高一數學有點印象
  • 讓 Aaw 的課變比較好懂
  • 不被 108 課綱搞到
  • 講師可能很小丑
  • 要用到時已經忘記了
常見數學符號 進位制 位元運算
邏輯敘述 集合 數據分析
三角函數 排列組合 向量與矩陣
基礎數論 基礎微積分 怪怪的技巧
  • 有點程式又不太程式

IG 推坑時間

- ㄟ你知道要怎麼假文青ㄇ

追蹤一些看起來很厲害的專頁!

(看不懂就算了,反正做做效果)

沒什麼特別的,就是沒營養的東西

枯嶺街學測戰士\\@ peng.hc

JEE 導向,針對理科的一些公式、定理等

偶而摻雜甚至是迷因之類的,比較符合高中程度

IIT-JEE\;GAMING\\@iitjeegaming

JEE 導向,每天掉落一個進階題目,隔天附上解答,然後字體很美

Mathematics\\@moiitjee

一大堆酷公式、定理,外加證明

Curious Mind\\@curious\_math

把數學原理、公式等東西,用圖像化表達

很多都是高中程度的東東,相對基礎不少

Chandan\;Kumar\\@winnermaths\_

一點點希臘字母

\Alpha/ \alpha

alpha

-與 A 相對的符號\\通常用在\triangle中

-會搞混,沒什麼鳥用

\Beta / \beta

beta

-與 B 相對的符號\\通常用在\triangle中

-你目前不會用到大寫

\Gamma / \gamma

gamma

-與 C 相對的符號\\通常用在\triangle中

-函數名,表階乘

\Mu / \mu

Mu

-物理上的質量因次

-平均值、莫比烏斯函數

\Theta / \theta

theta

-物理上的溫度因次

-角度,超級常被使用

\Delta / \delta

delta

-變數的變化量

COVID - 19 的變種

\Pi / \pi

pi

-連乘符號

-圓周率

\Sigma / \sigma

sigma

-連加符號

-母體標準差

\Omega / \omega

omega

-電阻單位、時間複雜度函數

-角速度

108 課綱就不能

把數系教完整嗎

"理論上"你們已經學會的

仙貝姿勢

"外加"被 108 課綱黑掉的東西

數系 Number System

虛數 Imaginary Numbers

-對,你們聽過的虛數符號

i
定義\;i\,^2\;=\;-1
How\;about\;i\;=\;\sqrt{-1}?

合理,但盡量不要使用

\sqrt{a}\;×\sqrt{b}\;=\;\sqrt{ab},\forall\;a、b > 0
(X) i\;×\;i\;=\;\sqrt{-1}×\sqrt{-1}\;=\;\sqrt{1}
\sqrt{a}\;×\sqrt{b}\;=\;-\sqrt{ab},\forall\;a、b\;<\;0

計算太複雜了,而且一堆例外,好煩

i\,^0\; = \;1,單純按照\;0\;次方的定義

虛數 Imaginary Numbers

i\,^1\; = \;i,嗯,廢話:)
i\,^2\; = \;-1,虛數\;i\;的基本定義
i\,^3\; = \;i^2\;×\;i \;= \;(-1)×\;i \;= \;-\,i
i\,^4\; = \;i^2\;×\;i^2 \;= \;(-1)×\;(-1) \;= \;1
刷成就感的水題:求\;i\,^0\;+\;i\,^1\;+\;i\,^2\;+\;...\;+i\,^{997} \;之值
Ans:1 + i

複數 Complex Numbers

-\;Ans:1 + i,實數加虛數?
定義\;:\;a\;+\;b\,i

實部

虛部

-\;共軛複數:實部相等,b 互為相反數
5\;+\;7\,i
5\;-\;7\,i
13\;+\;17\,i
13\;-\;17\,i
x\;=\;a\;+\;b\,i
\overline{x}\;=\;a\;-\;b\,i
if\;b\;=\;0\;\wedge\;a\;\in\;R,then\;(\,a\;+\;b\,i\,)\;\in\;R
if\;b\;\neq\;0\;\wedge\;a、b\;\in\;R,then\;(\,a\;+\;b\,i\,)\;\in\;I

複數 Complex Numbers

加法:\overline{x}\;+\;\overline{y}\;=\;\overline{x\;+\;y}
\overline{1\;+\;2\,i}\;+\;\overline{2\;-\;3\,i}
=\;1\;-\;2\,i\;+\;2\;+\;3\,i
=\;3\;+\;i\;=\;\overline{3\;-\;i}
乘法:\overline{x}\;×\;\overline{y}\;=\;\overline{x\,y}
\overline{1\;+\;2\,i}\;×\;\overline{2\;-\;3\,i}
=(\,1\;-\;2\,i\,)\;(\,2\;+\;3\,i\,)
=\;2\;+\;3\,i\;-\;4\,i\;-\;6\,i^2
=\;8\;-\;i\;=\;\overline{8\;+\;i}
試求\,x\,^2\;-4\,x\;+\;5\;之解?

"蛤可是它的判別式小於 0 耶"

x = \frac{4\;\pm\;\sqrt{-4}}{2}
\;= \frac{4\;\pm\;\sqrt{4}\,i}{2}
\;= 2\;\pm\;i
Ans\;\in\;I,且兩根互為共軛複數

SOURCE,有興趣可以慢慢點

因為我懶所以沒 APA,不良示範請勿模仿

常見的數學符號

用中文寫數學真的很慢.jpg

而且外國人看不懂

很多東西想用更正式的方法表達

卻不知道怎麼下手ㄇ

你需要的是 Google

我是說,你需要的是等等的課程!

!

階乘 Factorial

-白話定義:一直往下乘下去,直到 1 為止

-數學定義:n\,!\;=n\;×\;(\,n\;-\;1\,)\,!
4\,!\;=\;4\;×\;3\;×\;2\;×\;1\;=\;24
\because 1\,!\;=\;1\;×\;0\,!\;=\;1
\therefore define\;0\,!\;=\;1
\frac{1}{2}\,!\;=\;\frac{\sqrt{\pi}}{2}
\forall\;n\;\in\;N
n= 0
\forall\,n\in R\wedge n \geq0
\forall\,n\in R

屬於 Belongs To

\in

不屬於 Not Belongs To

\notin

-字面上的意思,後面常接一個數系

\pi\;\in\;R
\sqrt{-7122}\;\notin\;R

對於所有 For All

\forall

-後面也可以接一個集合,等等會講到

-拜託不要講中文,沒人聽得懂

-同樣字面上的意思,代表 每個 case 都符合此條件

n\;\leq\;100,\forall\;n\;\in\;Z

求和符號 Summation

\Sigma

-那個符號正是大寫 Sigma,我們也會這樣叫它

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
\Sigma_{i = 1}^{10}\;i
1 + 2 + 3 + ... + 10 = 55
\Sigma_{i = 1}^{10}\;i\;=\;55

-一個計數器,每次遞增 1,再把結果加起來

i\;=\;1:計數器命名為\;i,從"1"開始往上遞增\;1
10:當計數器數完"10"後就會結束
i(右邊的):把每個時刻的"i"都加起來

求和符號 Summation

\Sigma

一點點小變化?

\frac{\Sigma_{i = 1}^{n}\;(x_i+y_i)}{2n}

每次各加一個 x 與 y 進來

最終總共有 2n 項!!

\Sigma_{i = 5}^{15}\;i
5+6+7+...+15
\Sigma_{i = 1}^{10}\;2\,i
(2×1)+(2×2)+...+(2×10)
\Sigma_{i = 1}^{10}\;(2\,i + 3)
(2×1+3)+(2×2+3)+...+(2×10+3)
\Sigma_{i = 1}^{10}\;4
4+4+4+4+4+4+4+4+4+4
\Sigma_{i = 1}^{n}\;x_i
x_1+x_2+x_3+...+x_n
x_1+x_2+x_3+...+x_n
y_1+y_2+y_3+...+y_n

求兩數列之平均?

求積符號 Product

\Pi

-跟求和符號一模一樣,只是 "加" 改成 "乘"

-那個就是大寫 Pi,但我不會這樣叫他

\Pi_{i = 1}^{10}\;i
1×2×3×...×10
\Pi_{i = 1}^{n}\;(2\,x_i)
2\,x_1×2\,x_2×2\,x_3×...2\,x_n
\Pi_{i = 2}^{20}\;(i(i-1))
(2×1)×(3×2)×...×(20×19)
\Pi_{i = 1}^{5}\;((x_i+y_i)×(x_{2i}-y_{2i}))
[(x_1+y_1)(x_2-y_2)]×[(x_2+y_2)(x_4-y_4)]×...×[(x_5+y_5)(x_{10}-y_{10})]

換講師時間 :partying_face:

等等你會看到巨大的

簡報風格差距 XDD

 

然後請記住 無論他等等說了什麼

全都不代表本人立場

不要聽他唬爛==

邏輯

那是是非非都似是而非建立ㄉ基礎

會有一坨東西 但蠻少真的用到ㄉ

英文 中文 邏輯符號 C++ 邏輯運算子 意義
not ¬ A / ~A ! A A的反相(布林反轉)
and A ∧ B A && B AB皆T→T
or A ∨ B A || B AB任一為T→T
xor 異或 A ⊕ B A ^ B AB僅一為T→T

基本邏輯符號&意義

.布林值:0/1 ( Ture / False )

.布林式:一坨布林值的運算式,結果是布林值

A B A ∧ B
T T T
T F F
F T F
F F F
A B A ∨ B
T T T
T F T
F T T
F F F
A B A ⊕ B
T T F
T F T
F T T
F F F

and(且)

or(或)

xor(異或)

真亦假假亦真真值表

Pop Quiz!

( ~ ( 0 ( ( 1 1 ) ∧ 1 ) ) ⊕ 0 ) ∧ 1 =True/False?

 ( ~ ( ( 0 ( ( 1 ⊕ 1 ) ∧ 1 ) ) ⊕ 0 ) ) ∧ 1

( ~ ( ( 0 ( 0 ∧ 1 ) ) ⊕ 0 ) ) ∧ 1

( ~ ( ( 0 0 ) ⊕ 0 ) ) ∧ 1

( ~ ( 0 ⊕ 0 ) ) ∧ 1

( ~ 0 ) ∧ 1

1 ∧ 1

1

¬ / ~ / not / 否定

否定敘述即用最低代價使原敘述不成立之敘述

(p.s. 否定敘述是相對ㄉ)(p.p.s.只在原敘述的範圍內更動)

So how to把肯定改成否定?

.直接把是改不是?

跟白癡一樣,白癡得要命。

1. 改成概念相反的述語(使不成立)

 「是、會、有」改「非、不、無」

 「大/小於」改「小/大於等於」

 單純「v.、n.、adj.」加「非、不」

2. 偏稱全稱互換(用最小代價)

 「都、皆、全」與「有」互換

 「和、並、且」與「或」互換

全班都及格

全班不及格

是故,「至多10人數學及格」的否定敘述是

「超過10人數學及格」或「至少11人數學及格」

(2.只有特定情況要用)

(自然數範圍內的推理)

非黑

全班不及格

有人不是及格

What is 「只在原敘述的範圍內更動」?

Ans:不要講太多,根本沒人在乎

e.g. ~ ( 蘇昱亙是白癡 ) 蘇昱亙不是白痴

或蘇昱亙是熱鯊

或蘇昱亙是

菸鹼醯胺腺嘌呤二核苷酸磷酸

或蘇昱亙是位能

或蘇昱亙是八元數

不用特別講,沒人在乎

超出我們討論的範圍

其他例子:~ ( x > 2 ) ≡  ( x ≤ 2 ) ∨ ( x ℝ)

     超過10人及格 至少11人及格或人數不是自然數

\begin{cases}  \\  \\  \\  \\   \end{cases}

.充分必要條件 if

 若PQP Q成立時必成立)

PQ的充分(條件)

QP的必要(條件)

※否定後件

P → Q(P則Q)

~Q→~P(非Q則非P)

跟蘇昱亙溝通 會 腦霧PQ

跟蘇昱亙溝通

~PQ

不一定會 腦霧

腦霧

不一定 跟蘇昱亙溝通過

Q→♢P

腦霧

一定 跟蘇昱亙溝通

~Q~P

P發生

Q亦發生

Q發生

P不一定發生

.若且唯若 if and only if / iff

(Q if P):

唯若(Q only if P):¬→¬

若且唯若(Q iff P):

() ∧ () ⇔ ()

互為充分必要條件(充要條件)

等價

=

 

集合

Set

What is 集合?

Ans:由一坨元素構成的群體,通常用S(set)表示單個集合

e.g.一鍋火鍋是一個集合,蟹肉棒、烏龍麵、五花豬、昆布湯都是一種元素

怎麼表示有的元素?

\begin{aligned} S_1&=\{1,2,4,8,125\}\\ &\Rightarrow S_1裡面有(1),(2),(4),(8),(125)這五個元素\\ S_2&=\{3.14,\{1,2,3\},i,\pi\}\\ &\Rightarrow S_2裡面有(3.14),(有(1),(2),(3)的集合),(i),(\pi)這四個元素 \end{aligned}

列舉法

S={...}

描述法

S={...|...的描述}

\begin{aligned} S_3&=\{x|x\in\mathbb{R}\wedge x^2-7x+6\geq0\}\\ &\Rightarrow S_3內的每個元素x皆屬於實數並符合x^2-7x+6\geq0\\ S_4&=\{(x,y)|y=\sin x\wedge x\in\mathbb{R}\}\\ &\Rightarrow S_4內的每個元素數對(x,y)皆在方程式y=\sin x上 \end{aligned}

元素型式統一,具有某個特徵

元素量可能無限

不計次序,不計重複,不計屬性

元素性質不一,量通常少

.名詞符號解釋

舉個例子: S=\{1,2,3,4,5\}

1,2,3,4,5皆是元素,而屬於S

\begin{aligned} &\in 屬於\ Belongs\;to,[元素]\in[集合]\\ &e.g.\ 1\in S \end{aligned}

如果有一個集合T的元素皆屬於S,

此時稱T為S的子集,而T包含於S

\begin{aligned} &\subset/\subseteq 包含於\ Contained\;in,[子集]\subset[集合]\\ &e.g.\ T=\{1,2,3\},T\subset S \end{aligned}

有個集合啥都沒,則稱之為空集合

記作 {} ,且為任一集合之子集

\begin{aligned} &\varnothing\ 空集合\ Empty\;Set,\\ &e.g.\ \varnothing\subset S \end{aligned}

有個集合包含所有 S 的研究對象,

稱之為宇集基集,記為 U

\begin{aligned} &\mathrm{U}\ 宇集/基集\ Universal\;Set,\\ &e.g.\ S\subset \mathrm{U} \end{aligned}

如果S是有限集合(元素量可數),

此時用 n(S) 或 |S| 表示S的元素量

\begin{aligned} &n(S)\ /\ |S|\ S的元素個數\ The\;number\ of\ S,\\ &e.g.\ n(S)=|n|=5 \end{aligned}

Pop Quiz!

S=\{\varnothing,1,2,\{3,4\},\{5\}\}
\begin{aligned} ( )\ 1.&\ 1\in S\\ ( )\ 2.&\ \{1,2\}\in S\\ ( )\ 3.&\ \{3,4\}\in S\\ ( )\ 4.&\ \{3\}\subset S\\ ( )\ 5.&\ 4\in S\\ \end{aligned}

\begin{aligned} ( )&\ 6.\ \varnothing \in S\\ ( )&\ 7.\ \varnothing \subset S\\ ( )&\ 8.\ \{\{5\}\}\subset S\\ ( )&\ 9.\ 5\in S\\ ( )&\ 10.\ n(S)=6 \end{aligned}

Pop Quiz!

今有一個有限集合S,S共有多少不同子集?

令\forall A\subset S
\Rightarrow A的總數量=2^{n(S)}

每個子集,

對其中每個元素皆有拿(使屬於A)不拿(使不屬於A)兩種選擇

每遇到一個元素就\times 2
Ans: 2^{n(S)}

.集合ㄉ計算

U

A

B

2.交集\cap :A\cap B=\{x|x\in A\wedge x\in B\}
1.聯集\cup :A\cup B=\{x|x\in A\vee x\in B\}
3.差集- :A - B=\{x|x\in A\wedge x\notin B\}
\begin{aligned} &4.補集'/\overline{ }:\\ & B^{'}=\ \overline{B}=\{x|x\notin B \wedge x\in U\} \end{aligned}

.狄摩根定律

(A\cup B)^{'}=A^{'}\cap B^{'}
(A\cap B)^{'}=A^{'}\cup B^{'}

Pop Quiz!

若一班有40人,32人喜歡玩傳說對決,

24人喜歡玩神魔之塔,28人喜歡玩弓箭傳說。

請問同時喜歡三個遊戲的人(1)最多_____人(2)最少_____人

-建國中學 110學年度 下學期 第二次段考 數學科 第六題 我被隔離QAQ

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24

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4

.補充:積集

\begin{cases} {\color{red}A=\{x|x\equiv 1 (mod\ 2)\}}\\ {\color{blue}B=\{y|y\equiv 1 (mod\ 3)\}} \end{cases}

1  2  3  4   5  6   7  8  9

9

8

7

6

5

4

3

2

1

(1,1)

(1,4)

(1,7)

(3,7)

(5,7)

(7,7)

(7,4)

(7,1)

(5,1)

(5,4)

(3,4)

(3,1)

A\times B=\{(x,y)|x\in A\wedge y\in B\}, n(A\times B)=n(A)\times n(B)

好大概就先這樣就好

集合最廣泛運用到會在排列組合

我們到時候再回來面對它ㄅ