Exercice 1:

Matrices de Transformation Homogène

Introduction à la Robotique

TD 1 - Modélisation Mécanique

1. Écrire les transformations homogènes ( i = 1, ..., 5 ).

2. Exprimer d'après la figure, la transformation . Vérifier qu'elle est bien l'inverse de

3. Exprimer les coordonnées du point P dans R₀ et R₁.

Vérifier que

4. Exprimer la transformation
Vérier la propriété de composition des transformations:

^0H_1

^1H_0

^1H_5

^0H_5 = ^0H_1 \times ^1H_5

^0P =\; ^0H_1 \times\; ^1P

^0H_i

Ex1.1

1. Écrire les transformations homogènes ( i = 1, ..., 5 ).

^0H_i

Avec R matrice de rotation 3x3 0->1 et T vecteur entre R₀ et R₁ exprimé dans R₀

\vec{x_1} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0\\ \end{pmatrix} \begin{matrix} \vec{x_0} \\ \vec{y_0} \\ \vec{z_0}\\ \end{matrix}

\vec{y_1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1\\ \end{pmatrix}

\vec{z_1} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0\\ \end{pmatrix}

^0R_1 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0 \\ \end{pmatrix}

\vec{^0T_1} = \begin{pmatrix} 0 \\ c+e \\ a-d\\ \end{pmatrix} \begin{matrix} \vec{x_0} \\ \vec{y_0} \\ \vec{z_0}\\ \end{matrix}

^0H_1 = \left( \begin{array}{ccc} | & ^0R_1 & | & \vec{^0T_1} \\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right)

Ex1.1

^0H_1 = \left( \begin{array}{ccc} | & ^0R_1 & | & \vec{^0T_1} \\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right)

Avec R matrice de rotation 3x3 0->1 et T vecteur entre R₀ et R₁ exprimé dans R₀

^0H_1 = \left( \begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & c+e\\ 0 & -1 & 0 & a-d \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)

\vec{^0T_1} = \begin{pmatrix} 0 \\ c+e \\ a-d\\ \end{pmatrix}

Ex1.1

^0R_1 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0 \\ \end{pmatrix}

^0H_2 = \left( \begin{array}{ccc} | & ^0R_2 & | & \vec{^0T_2} \\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right)

Avec R matrice de rotation 3x3 0->1 et T vecteur entre R₀ et R₁ exprimé dans R₀

^0H_2 = \left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & -b\\ -1 & 0 & 0 & c+e \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)

^0R_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

\vec{^0T_2} = \begin{pmatrix} -b \\ c+e \\ 0\\ \end{pmatrix}

Ex1.1

^0H_3 = \left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & -b\\ 0 & 0 & -1 & c \\ -1 & 0 & 0 & a \\0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)

Ex1.1

^0H_4 = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -b\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a-d \\0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)

Ex1.1

^0H_5 = \left( \begin{matrix} 0 & 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & a \\0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)

Ex1.1

Ex1.2

2. Exprimer d'après la figure, la transformation . Vérifier qu'elle est bien l'inverse de

^0H_1

^1H_0

^1H_0 = \left( \begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & a-d\\ 0 & -1 & 0 & c+e \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)

^1R_0 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0 \\ \end{pmatrix}

\vec{^1T_0} = \begin{pmatrix} 0 \\ a-d\\ c+e \\ \end{pmatrix}

Ex1.2

^0H_1 \; ^1H_0= \left( \begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & c+e\\ 0 & -1 & 0 & a-d \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & a-d\\ 0 & -1 & 0 & c+e \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)

\left( \begin{matrix} 1& 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -c-e+c+e\\ 0 & 0 & 1 & -a+d+a-d\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)

-1 \times -1 + 0 + 0 + 0

-1 \times (c+e) + 1 \times (c+e)

-1 \times (a-d) + 1 \times (a-d)

^0H_1 \; ^1H_0= {I}_4

^0H_1 = {^1H_0}^{-1}

Ex1.2

Ex1.3

3. Exprimer les coordonnées du point P dans R₀ et R₁.

Vérifier que

^0H_1 \times\; ^1P = \; ^0P

^0H_1 \times\; ^1P = \;^0P

^0\vec{P} = \begin{pmatrix} -b \\ c \\ a-d\\ \end{pmatrix} \begin{matrix} \vec{x_0} \\ \vec{y_0} \\ \vec{z_0}\\ \end{matrix}

^1\vec{P} = \begin{pmatrix} b \\ 0 \\ e\\ \end{pmatrix} \begin{matrix} \vec{x_1} \\ \vec{y_1} \\ \vec{z_1}\\ \end{matrix}

\left( \begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & c+e\\ 0 & -1 & 0 & a-d \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \begin{bmatrix} b \\ 0 \\ e\\ 1 \\ \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} -b \\ c \\ a-d\\ 1 \end{bmatrix}

Ex1.3

Ex1.4

^0H_5 = ^0H_1 \times ^1H_5

4. Exprimer la transformation
Vérier la propriété de composition des transformations:

^1H_5

^1H_5= \left( \begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -d \\ -1 & 0 & 0 & c+e \\0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)

^0H_5 = \left( \begin{matrix} 0 & 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & a \\0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)

Ex1.4

^0H_1 \times ^1H_5= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & c+e\\ 0 & -1 & 0 & a-d \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -d \\ -1 & 0 & 0 & c+e \\0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

^0H_5 = \left( \begin{matrix} 0 & 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & a \\0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)