Exercice 1:
Commande en vitesse d’un moteur à courant continu
Introduction à la Robotique
TD 2 - Automatique & Commande
Fonctionnement d'un moteur à courant continue
Grandeurs électriques :
— R : résistance de l’induit ;
— L : inductance de l’induit ;
— E(t) : force contre-électromotrice ;
— um (t) : tension au bornes du moteur ;
— i(t) : courant ;
Grandeurs mécaniques :
— J : inertie du rotor ;
— f : frottements visqueux ;
— Γ(t) : couple moteur ;
— Ω(t) : vitesse du rotor.
Grandeurs électriques :
— R : résistance de l’induit ;
— L : inductance de l’induit ;
— E(t) : force contre-électromotrice ;
— um (t) : tension au bornes du moteur ;
— i(t) : courant ;
Grandeurs mécaniques :
— J : inertie du rotor ;
— f : frottements visqueux ;
— Γ(t) : couple moteur ;
— Ω(t) : vitesse du rotor.
u_m(t) = E(t) + R i(t) + L \frac{di(t)}{dt}
J\frac{d\Omega(t)}{dt} + f \Omega(t)= \Gamma(t)
\Gamma(t) = k_c i(t)
E(t) = k_e \Omega(t)
Couple moteur
Force contre-électromotrice
Q1. Quelle est l’entrée et quelle est la sortie du moteur à courant continu ?
Entrée: Tension aux bornes
Sortie: Vitesse de Rotation
u_m(t)
\Omega(t)
Q2. donner l'expression analytique de la vitesse en fonction de la tension aux bornes du moteur
\left\{
\begin{array}{ccl}
u_m(t) &=& E(t) + R i(t) + L \frac{di(t)}{dt} \\[4pt]
E(t) &=& k_e \Omega(t) \\[4pt]
\end{array}
\right.
\begin{array}{rcl}
\Omega(t) &=& \frac{1}{k_e}\left(u_m - R i(t) - L \frac{d i(t)}{d t} \right) \\[8pt]
\Rightarrow \Omega(t) &=& \frac{1}{k_e}\left(u_m - R i(t) \right); \quad L \simeq 0
\end{array}
\left\{
\begin{array}{rcl}
\Omega(t) &=& \frac{1}{k_e}\left(u_m - R i(t) \right) \\[8pt]
J\frac{d\Omega(t)}{dt} + f \Omega(t)&=& \Gamma(t) = k_c i(t)
\end{array}
\right.
\Rightarrow i(t) = \frac{1}{k_c}\left(\Omega(t) f + J \frac{d\Omega(t)}{dt}\right)
\Omega(t) = \frac{1}{k_e}\left(u_m - R \frac{1}{k_c}\left(\Omega(t) f + J \frac{d\Omega(t)}{dt}\right)\right)
\Omega(t) + \frac{R}{k_c k_e}\left(\Omega(t) f + J \frac{d\Omega(t)}{dt}\right)= \frac{1}{k_e}u_m
\left(\tau = \frac{RJ}{k_e k_c + Rf}\right.
\left.
K = \frac{kc}{k_e k_c + R f}
\right)
\Omega(t) + \tau \frac{d\Omega(t)}{dt} = K u_m
\Omega(t) + \frac{RJ}{k_e k_c + Rf} \frac{d\Omega(t)}{dt} = \frac{kc}{k_e k_c + R f}u_m
Équation différentielle du premier ordre avec second membre
\Omega(t) + \tau \frac{d\Omega(t)}{dt} = K u_m
Solution homogène
\Omega_1(t) = \alpha e^{-\frac{t}{\tau}}
Solution particulière
\Omega_2(t) = K u_m
\Omega(t) = \Omega_1(t) + \Omega_2(t) = \alpha e^{-\frac{t}{\tau}} + K u_m
\tau = \frac{RJ}{k_e k_c + Rf}
K = \frac{kc}{k_e k_c + R f}
0
0
Équation différentielle du premier ordre avec second membre
\Omega(t) = \alpha e^{-\frac{t}{\tau}} + K u_m
Condition initiale: Vitesse nulle à t=0
\begin{array} {rcl}
\Omega(0) = &0 =& \alpha e^{-\frac{0}{\tau}} + K u_m \\[8pt]
\Rightarrow &\alpha =& -K u_m
\end{array}
\begin{array} {rcl}
\Omega(t) = K \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right) u_m
\end{array}
\tau = \frac{RJ}{k_e k_c + Rf}
K = \frac{kc}{k_e k_c + R f}
Q3. Soit un moteur CC:
— résistance de l’induit : 1Ω ;
— inductance de l’induit : 0,001H ⇒ ≈ 0H ;
— constante de couple : 0,01N m/A ;
— constante de la fcem : 0,01V.s ;
— inertie du rotor : 0,01kg.m 2 ;
— constante de frottement visqueux : 0,1N m.s.
— résistance de l’induit : 1Ω ;
— inductance de l’induit : 0, 001H ⇒≈ 0H ;
— constante de couple : 0, 01N m/A ;
— constante de la fcem : 0, 01V.s ;
— inertie du rotor : 0, 01kg.m 2 ;
— constante de frottement visqueux : 0, 1N m.s.
\begin{array}{rcl}
\tau = \frac{RJ}{k_e k_c + Rf} &\Rightarrow& \tau \approx 0,1 s \\[6pt]
K = \frac{kc}{k_e k_c + R f} &\Rightarrow& K \approx 0,1 rad.s^{-1}.V^{-1} 0.1
\end{array}
\begin{array}{rcl}
\tau = \frac{RJ}{k_e k_c + Rf} &\Rightarrow& \tau \approx 0,1 s \\[6pt]
K = \frac{kc}{k_e k_c + R f} &\Rightarrow& K \approx 0,1 rad.s^{-1}.V^{-1} 0.1
\end{array}
\tau
K
\Omega_\infty
Contrôleur Proportionnel pour l'asservissement en vitesse
Cahier des charges
— Vitesse en régime permanent égale à 1 rad/s
Ω(t)* est un échelon d’1 rad/s en amplitude
— Temps de réponse à 5 % de la réponse indicielle inférieur ou égal à 0,05 s
— Erreur statique nulle.
\Omega(t) = FT(\Omega^*)
Q4. Fonction de transfert en boucle fermée
u_m = k_p \left(\Omega(t)^* - \Omega(t)\right)
\begin{array}{rcl}
\Omega(t) + \tau \frac{d\Omega(t)}{dt}& =& K u_m \\[6pt]
\Rightarrow \Omega(t) + \tau \frac{d\Omega(t)}{dt} &= &K k_p \left(\Omega(t)^* - \Omega(t)\right)
\end{array}
\begin{array}{rcl}
\Omega(t) + \tau \frac{d\Omega(t)}{dt} &= &K k_p \left(\Omega(t)^* - \Omega(t)\right)
\end{array}
\begin{array}{rcl}
\Omega(t) + \tau' \frac{d\Omega(t)}{dt} = K' \Omega^*(t) \\[6pt]
\end{array}
\left(\tau' = \frac{\tau}{K k_p + 1}\right.
\left.
K^\prime = \frac{K k_p}{K k_p + 1}
\right)
\begin{array}{rcl}
\Omega(t) + \frac{\tau}{K k_p + 1} \frac{d\Omega(t)}{dt} = \frac{K k_p}{K k_p + 1} \Omega^*(t) \\[6pt]
\end{array}
\Omega(t) = K'\left(1-e^{-\frac{t}{\tau'}}\right)\Omega(t)^*
Équation différentielle du premier ordre avec second membre
Condition Initiale (t=0) = 0
\left(\tau' = \frac{\tau}{K k_p + 1}\right.
\left.
K^\prime = \frac{K k_p}{K k_p + 1}
\right)
Q5. Ω(t) en régime permanent en fonction du Kp
\Omega_\infty = \lim_{t\rightarrow\infty} \Omega(t)
\Omega_\infty = \lim_{t\rightarrow\infty} \Omega(t) = \lim_{t\rightarrow\infty} \frac{K k_p}{K k_p + 1}\left(1-e^{-\frac{t(K k_p + 1)}{\tau}}\right)\Omega^*
t\rightarrow\infty \Rightarrow e^{-t} = 0
\Omega_\infty = \frac{K k_p}{K k_p + 1}\Omega^*
Q6. Kp pour un temps de réponse à 5% inférieur à 0,05s
\Omega(t_{5\%}) = \Omega_\infty - 0,05 \Omega_\infty = 0,95 \Omega_\infty
t_{5\%} = 0,05s
\Omega(t) = K^\prime\left(1-e^{-\frac{t}{\tau^\prime}}\right)\Omega(t)^*
e^{-\frac{t}{\tau^\prime}} = 1 - \frac{\Omega(t)}{K^\prime \Omega(t)^*}
t = -\tau^\prime ln\left(1- \frac{\Omega(t)}{K^\prime \Omega(t)^*}\right)
\boxed{t_{5\%} \approx 2,99 \frac{\tau}{K k_p + 1}}
\Rightarrow \boxed{k_p = \frac{1}{K}\left( 2,99 \frac{\tau}{t_{5\%}} - 1 \right)}
\begin{array}{rcl}
t_{5\%} &= & -\tau^\prime ln\left(1- \frac{0,95 K^\prime \Omega(t)^*}{K^\prime \Omega(t)^*}\right) \\[8pt]
\end{array}
\begin{array}{rcl}
t_{5\%} &= & -\tau^\prime ln\left(1- \frac{0,95 K^\prime \Omega(t)^*}{K^\prime \Omega(t)^*}\right) \\[8pt]
&=& -\tau^\prime ln\left(1-0,95\right) \\[8pt]
&\approx& 2,99 \tau^\prime
\end{array}
k_p = \frac{1}{K}\left( 2,99 \frac{\tau}{t_{5\%}} - 1 \right)
\begin{array}{rcl}
K &=& 0,1 s^{-1}.V^{-1},\\ \tau &=& 0,1 s\\ t_{5\%} &=& 0,05s
\end{array}
\quad \Rightarrow \boxed{k_p \geq 49,8 V.s}
Q7. Calculer l'erreur statique
Le gain proportionnel Kp peut-il réduire, voire annuler, l'erreur statique?
\begin{array}{rcl}
e_\infty &=& \Omega^* - \Omega_\infty \\[6pt]
&=& \Omega^* - \frac{K k_p}{K k_p + 1}\Omega^* \\[6pt]
&=& \frac{1}{K k_p + 1}\Omega^*
\end{array}
\begin{array}{rcl}
K &=& 0,1 s^{-1}.V^{-1},\\ k_p &=& 49,8 V.s\\ \Omega^* &=& 1 rad.s^{-1}
\end{array}
\Rightarrow \boxed{e_\infty = 0,167 rad.s^{-1}}
Q8 & 9. Annuler l'erreur statique
- Ajouter un gain intégral dans la boucle
- Ajouter un pré-filtre au niveau de la consigne
u_m(t) = k_p \left(\Omega^* - \Omega(t)\right) + k_i \int_0^t \left(\Omega^* - \Omega(t)\right)
k_i\int_0^t
Kf
\Omega^*
Kf
\Omega^*
u_m = k_p \left(k_f \Omega(t)^* - \Omega(t)\right)
\Omega(t) + \tau \frac{d\Omega(t)}{dt} = K k_p \left(k_f \Omega(t)^* - \Omega(t)\right)
- Ajouter un pré-filtre au niveau de la consigne
Kf
\Omega^*
\Omega(t) + \tau' \frac{d\Omega(t)}{dt} = K''\Omega(t)^*
\Omega(t) + \tau \frac{d\Omega(t)}{dt} = K k_p \left(k_f \Omega(t)^* - \Omega(t)\right)
\left(\tau' = \frac{\tau}{K k_p + 1}\right.
\left.
K^{\prime\prime} = \frac{K k_p k_f}{K k_p + 1}
\right)
\boxed{
\Omega(t) = K''\left(1-e^{-\frac{t}{\tau'}}\right)\Omega(t)^*
}
\Omega_\infty = \frac{K k_p k_f}{K k_p + 1}\Omega(t)^*
e_\infty = 0
\boxed{k_f = \frac{1 + K k_p}{K k_p}}
K = 0,1 s^{-1}.V^{-1},\, k_p = 49,8 V.s\rightarrow \boxed{k_f \approx 1,2}
\Rightarrow K k_p k_f = K k_p + 1
