Etude et modélisation mathématique des équations cinétiques à noyau de collision

Thèse supervisée par Laurent Boudin et Laurent Desvillettes

Thomas Borsoni

Laboratoire Jacques-Louis Lions

Comité de suivi de fin de 2e année de thèse

29 juin 2023

Comité : Ayman Moussa et Laure Quivy

L'équation de Boltzmann et ses variantes

\partial_t f + v \cdot \nabla_x f = Q(f,f)

Modèle originel : molécules monatomiques

Variante 1 : molécules polyatomiques

Variante 2 : fermions / bosons

\displaystyle Q(f,f) = \int f' f'_* - f f_*

\displaystyle Q_{\varepsilon}(f,f) = \\ \int f' f'_* \textcolor{orange}{(1- \varepsilon f)(1- \varepsilon f_*)} - f f_*\textcolor{orange}{(1- \varepsilon f')(1- \varepsilon f'_*)}

f(t,x,v,\textcolor{orange}{\zeta})

f(t,x,v)

Divers champs d'étude

\partial_t f + v \cdot \nabla_x f = Q(f,f)

Analyse

Modélisation

Simulation

Existence et unicité de solutions
Convergence vers l'équilibre
Estimées

Développement de modèles
Obtention d'équations
Validation du modèle

Méthodes particulaires (Monte Carlo)
Méthodes déterministes

Champs d'étude de ma thèse

Molécules polyatomiques

Fermions

Modélisation

Analyse

Simulation

L. Boudin, F. Salvarani, J. Mathiaud /

M. Bisi & M. Groppi

L. Desvillettes & B. Lods

Analyse

Molécules polyatomiques

Dérivation des équations de Landau-Teller (relaxation de températures) depuis Boltzmann (n) [M]
Implémentation d'un programme pour simulation Monte-Carlo [S]
Extension de l'algorithme à toute molécule avec (*) [M]
Justification de l'intérêt du modèle quasi-résonnant et création du-dit modèle [M]

Travail en cours - avec J. Mathiaud, participation L. Boudin et F. Salvarani

Elaboration d'un cadre général (*) pour les modèles de gaz polyatomiques (n) [M]
Dérivation, interprétation et détermination du précédent modèle existant [M]
Extension aux mélanges de gaz avec ou sans réactions chimiques [M]

Travail effectué en pré-thèse - avec M. Bisi et M. Groppi

Etude de la compacité d'un opérateur, lié au modèle polyatomique résonnant [A]
Nouvelle preuve et interprétation géométrique de la preuve de Grad pour le cas monatomique [A]

Travail effectué en thèse - avec L. Boudin et F. Salvarani

Fermions

Comparaison des entropies relative quantiques (fermions) et classiques (inégalités fonctionnelles) (n) [A]
Avec ça, transfert de toute inégalité entropie-production d'entropie depuis le cadre classique vers le cadre quantique (fermions), que ce soit pour eq. Boltzmann (**) (n) ou pour eq. Landau [A]
Obtention d'une généralisation des inégalités de Cziszàr-Kullback (\(L^p\) à poids) (~n) [A]

Travail effectué en thèse - supervisé par L. Desvillettes

Adaptation d'estimées de B. class. vers B. quant. (fermions) (n) [A]
Avec ça plus (**), preuve de convergence vers l'équilibre avec taux explicite pour B. quant. (fermions) [A]

Travail en cours - avec B. Lods

Bonus

Généralisation des variantes de Boltzmann, formulation générale des équilibres
Propriété suffisante (et je pense nécéssaire) générale pour équation fonctionnelle de Cauchy restreinte : connectivité collisionnelle ; preuve sur les convexes

Travail effectué

Preuve que la n-sphère est collisionellement connectée
Propsects : parabole ? Bords de convexes ?

Travail en cours - avec M. Dolbeault

Publications

(2022) A general framework for the kinetic modeling of polyatomic gases

(2023) An internal state kinetic model for chemically reacting mixtures of monatomic and polyatomic gases

(2023) Compactness property of the linearized Boltzmann operator for a polyatomic gas undergoing resonant collisions

avec M. Bisi et M. Groppi (ARPE)

avec L. Boudin et F. Salvarani

Preprint

(soumis) Extending Cercignani’s conjecture results from Boltzmann to Boltzmann-Fermi-Dirac equation

Modélisation des gaz polyatomiques

Compacité d'un opérateur

Inégalités fonctionnelles

(fermions)

(polyatomique résonnant)

(polyatomique)

sur un sujet de L. Desvillettes

Commun. math. phys.

Kinet. relat. models

JMAA

Enseignement (TD à Jussieu)

Séminaires (speaker invité)

Conférences (participant)

Déplacements pour collaborations

Divers

Visite M. Bisi et M. Groppi à Parme (1 sem. octobre 2022)
Visite B. Lods à Turin (2 sem. mars 2023)
Visite J. Mathiaud à Bordeaux (1 sem. avril + 1 sem. juin 2023)

Représentant des doctorants au LJLL avec R. Roussel et R. Delville-A.
Je review actuellement un article
Site internet pro: https://www.thomasborsoni.com

Conférence à Parme (Ita.) (octobre 2022)
Summer School à Pesaro (Ita.) (juin 2022)
Conférence à Cortona (Ita.) (juin 2023) présentation d'un poster

Prévisions

Collaboration avec J. Mathiaud (& Boudin & Salvarani) 1 à 2 article (s)
Collaboration avec B. Lods 1 article
Note (communication) sur cadre général + collaboration avec M. Dolbeault

2 articles à soumettre avant fin de thèse

6 articles total

Post-docs

Premier contact Carrillo (Oxford) et Iacobelli (Zurich)
Discussion financements

Merci pour votre attention !

quelques résultats

de cette année

## User's choices

# Quasi-resonance parameter
q_r_param = .1

# Numerical parameters
Nb_particles = 40000
Nb_timesteps = 2500000

# Initial temperatures
Tk_init = 1
Ti_init = 50

>> Simulation took 7 minutes and 19 seconds

Simulation quasi-résonnant

\displaystyle H_{\varepsilon} \left[ f \left| M^f_{\varepsilon} \right. \right] \in \textcolor{brown}{\left[\frac12,2 \right]} \times H \left[ \frac{f}{1- \varepsilon f} \left| M^{\frac{f}{1- \varepsilon f}} \right. \right]

\text{Si } \varepsilon f \leq 0.01, \text{ alors } \\

Fermions

Comparaison des entropies

Cziszàr-Kullback \(L^p\) à poids

\text{Pour } \varpi \geq 0 \text{ et } p \in [1,2], \\

\displaystyle \left\|f - M^f_{(\varepsilon)} \right\|^2_{L^p_{\varpi}} \leq C_{f,\varpi, \, p} \; H_{(\varepsilon)} \left[ f \left| M^f_{(\varepsilon)} \right. \right]