“ Contributions autour de l'équation de Boltzmann et certaines de ses variantes ”

Thèmes de recherche

  • Théorie cinétique
  • Transport optimal quantique
  • Analyse fonctionnelle et EDP
  • Modélisation math/ph et math/bio
  • Simulations numériques

Thèse à Sorbonne Université

au Laboratoire Jacques-Louis Lions (LJLL)

supervisé par Laurent Boudin et Laurent Desvillettes

Cursus

  • 01/09/2021 - 31/08/2024
  • 01/10/2024 - présent

Post-doctorat au CERMICS (ENPC)

supervisé par Virginie Ehrlacher et Tony Lelièvre

affilié à l'ERC HIGHLeap et l'équipe INRIA MATHERIALS

Recherche effectuée

variante

Boltzmann polyatomique

Autour de l'équation de Boltzmann et ses variantes

Théorie cinétique des gaz raréfiés

\partial_t f + v \cdot \nabla_x f = Q(f)
f(t,x,v)
f(t,x,v,\textcolor{orange}{\zeta})
Q_{\textcolor{purple}{\varepsilon}}(f)
Q(f)

Thèse

Postdoctorat

variante

Boltzmann quantique

Autour du transport optimal quantique

& Modélisation et utilisation de données en dynamique des populations

\sum_k \lambda_k \ket{\psi_k} \hspace{-2pt}\bra{\psi_k}
\partial_t f_{t}(v) = Q_{\textcolor{purple}{\delta}}(f_{t})(v)

\(f \equiv f_{t}(v)\) densité de fermions

Relaxation vers l'équilibre des solutions de Boltzmann-Fermi-Dirac

1 : l'équation de BFD

Q_{\color{purple} \delta}(f)(v) = \iint_{\R^3 \times \mathbb{S}^2} \left[f' f'_* (1- \textcolor{purple}{\delta} f)(1- \textcolor{purple}{\delta} f_*) - f f_* (1 - \textcolor{purple}{\delta} f')(1-\textcolor{purple}{\delta} f'_*) \right] B \; \mathrm{d} v_* \, \mathrm{d} \sigma
0 < \textcolor{purple}{\delta}

paramètre quantique

Opérateur de collision

Distribution d'équilibre

\frac{1}{\textcolor{purple}{\delta}}
v
\frac{1}{\textcolor{purple}{\delta}}
v

statistique de

Fermi-Dirac

\frac{1}{\textcolor{purple}{\delta}}
H_{\textcolor{purple}{\delta}}(f) = \int f \log f + {\textcolor{purple}{\delta}}^{-1} (1 - {\textcolor{purple}{\delta}} f) \log (1-{\textcolor{purple}{\delta}} f)

Fonctionnelle d'entropie

Lien avec Boltzmann classique

M_{\textcolor{purple}{\delta}}
M_{\textcolor{purple}{\delta}}
M_{\textcolor{purple}{\delta}}
\textcolor{purple}{\delta} \to \textcolor{green}{0} \; :
Q_{\textcolor{green}{0}},M_{\textcolor{green}{0}},H_{\textcolor{green}{0}}
\partial_t f_t = Q(f_t)

\(D(h) \gtrsim {H(h|M^h)}^{1+\alpha}\)

\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} H(f_t|M^{f_0}) =: - D(f_t)

Entropie relative à l'équilibre

\(H(f_t|M^{f_0}) \lesssim t^{-1/\alpha}\)

Csiszár-Kullback-Pinsker

\|f_t - M^{f_0}\|_{L^1}^2 \lesssim H(f_t|M^{f_0})
H(g|M^g) = H(g) - H(M^g) \geq 0
  • Fonctionnelle d'entropie \(H\)
  • Distributions d'équilibre \(M\)

dissipation d'entropie

\forall h,

Inégalité d'entropie

Relaxation vers l'équilibre des solutions de Boltzmann-Fermi-Dirac

2 : méthode d'entropie

D_{\textcolor{green}{0}}(g) \gtrsim H_{\textcolor{green}{0}}(g|M_{\textcolor{green}{0}}^g)^{1 + \alpha}

On a :

\gtrsim \; \; D_{\textcolor{green}{0}}\left(\frac{f}{1 - \textcolor{purple}{\delta} f}\right)

inégalité d'entropie pour Boltzmann classique

\gtrsim \; \; H_{\textcolor{green}{0}} \left(\frac{f}{1- \textcolor{purple}{\delta} f} \left| M_{\textcolor{green}{0}}^{\frac{f}{1- \textcolor{purple}{\delta} f}} \right. \right)^{1 + \alpha}

inégalité d'entropie pour Boltzmann fermionique

On cherche :

D_{\textcolor{purple}{\delta}}(f) \gtrsim D_{\textcolor{green}{0}}\left(\frac{f}{1 - \textcolor{purple}{\delta} f}\right)

dissipation d'entropie de Fermi-Dirac de \(f\)

dissipation d'entropie classique de \( \displaystyle \frac{f}{1-\textcolor{purple}{\delta} f} \)

\( \gtrsim\)

D_{\textcolor{purple}{\delta}}(f) \textcolor{red} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \textcolor{orange}{\gtrsim} \;H_{\textcolor{purple}{\delta}}(f|M_{\textcolor{purple}{\delta}}^f)^{1 + \alpha}

?

\forall g,
\forall f,
\forall f,

Relaxation vers l'équilibre des solutions de Boltzmann-Fermi-Dirac

3 : méthode de transfert

[TB 2024]

Relaxation vers l'équilibre des solutions de Boltzmann-Fermi-Dirac

4 : comparaison des entropies

[TB 2024]

H_{\textcolor{green}{0}}\left(\left.\frac{f}{1 - \textcolor{purple}{\delta} f}\right|M^{\frac{f}{1 - \textcolor{purple}{\delta} f}}_{\textcolor{green}{0}}\right) \geqslant H_{\textcolor{purple}{\delta}}(f|M^f_{\textcolor{purple}{\delta}}).

Dès lors que tous les termes ont un sens,

entropie relative à l'équilibre classique de \(\displaystyle \frac{f}{1-\textcolor{purple}{\delta} f}\)

entropie relative à l'équilibre de Fermi-Dirac de \(f\)

Theorem.

R_g : \delta \in \R_+ \mapsto H_{\delta}\left( \frac{g}{1 + \delta g} \left|M^{\frac{g}{1 + \delta g}}_{\delta} \right. \right)

Soit

décroît sur \(\R_+\).

g \geqslant 0,

On montre que \(R_g' \leq 0\) sur \(\R_+^*\) et \(R_g\) est continue sur \(\R_+ \)

Méthode de preuve

On montre :

[TB 2024]

Relaxation vers l'équilibre des solutions de Boltzmann-Fermi-Dirac

5 : conclusion

[TB 2024]

[TB, Lods 2024]

\|f^{\delta}_t-M_{\delta}\|_{L^p_k} \leq C \, (1+t)^{- \eta/p},

\(p \in [1,\infty), \, k \geq 0\).

Theorem.

Soit \(0\leqslant f^{\rm in} \in L^1_3(\R^3)\). Alors  \(\exists \delta^{\rm in} > 0\) tel que  \(\forall \delta \in (0,\delta^{\rm in})\), si \(f^{\delta} \) est solution de Boltzmann-Fermi-Dirac avec potentiels durs avec cutoff, alors

[TB, Lods 2024]

  • Toute famille d'inégalité d'entropie valide pour Boltzmann classique tient pour Boltzmann-Fermi-Dirac

Le transport optimal replié

d
D_p
C
E
(\mathcal{P}(E),W_p)
(E,d)
(E,d)
\mathcal{P}(E)
C
(C,D_p)

[TB 2025]

Objectif

Méthode

Applications

  • Si \(C = \) matrices densité              \(\rightarrow\)  transport optimal quantique (sans intrication)
  • Si \(C = \) mesures de probabilité    \(\rightarrow\)  transport optimal classique

 

                                            transport optimal semi-classique

transport optimal classique

quotient

(Choquet)

représentation

(Choquet)

étendre une distance depuis le bord extrémal d'un convexe au convexe entier

Liste de publications

Preprints

[8] T. Borsoni. Folded optimal transport and its applications to separable quantum optimal transport, 2025.
[7] T. Borsoni, V. Ehrlacher. Observability inequality for the von Neumann equation in crystals, 2025.

 

Articles parus ou acceptés dans des journaux internationaux à comité de lecture

[6] T. Borsoni, L. Boudin, J. Mathiaud, F. Salvarani. A kinetic model for polyatomic gas with quasi-resonant collisions leading to bi-temperature relaxation processes. ESAIM: Math. Model. Numer. Anal., 2026.

[5] T. Borsoni, B. Lods. Quantitative relaxation towards equilibrium for solutions to the Boltzmann-Fermi-Dirac equation with cutoff hard potentials.  J. Func. Anal., 2024.

[4] T. Borsoni. Extending Cercignani's conjecture results from Boltzmann to Boltzmann-Fermi-Dirac equation.  J. Stat. Phys., 2024.

[3] M. Bisi, T. Borsoni, M. Groppi. An internal state model for chemically reacting mixtures of monatomic and polyatomic gases.  Kinet. Rel. Models, 2024.

[2] T. Borsoni, L. Boudin, F. Salvarani. Compactness property of the linearized Boltzmann operator for a polyatomic gas undergoing resonant collisions. J. Math. Anal. Appl., 2023.

[1] T. Borsoni, M. Bisi, M. Groppi. A general framework for the kinetic modelling of polyatomic gases. Commun. Math. Phys., 2022.

 

Proceeding

[P1] M. Bisi, T. Borsoni, M. Groppi. Modeling polyatomic molecules in kinetic theory. Accepté à PSPDES XI, 2025.

[\(\cdot\)] transport optimal quantique 

[\(\cdot\)] relaxation à equilibre

[\(\cdot\)] théorie cinétique polyatomique