\(A=16\)
?
Neliön pinta-ala on 16. Mikä on sen sivun pituus?
Eli \(\sqrt{16}=4\)
\(4\), koska \(4^2 = 16\)
Epänegatiivisen luvun \(a\) neliöjuuri \(\sqrt{a}\) on se epänegatiivinen luku, jonka neliö eli toinen potenssi on luku \(a\)
Ts. \(\sqrt{a}=b\), kun
Esim. \(\sqrt{9}=3\), koska \(3 \geq 0\) ja \(3^2=9\)
Lukua \(\sqrt{-9}\) ei ole määritelty (reaalilukujen joukossa). Erityisesti se ei ole \(-3\).
\(V=27\)
?
Kuution tilavuus on 27. Mikä on kuution särmän pituus?
Särmän pituus on \(3\), koska \(3^3=27\)
Siis luvun \(27\) kuutiojuuri \(\sqrt[3]{27}=3\)
Huom! Toisin kuin neliöjuuren, kuutiojuuren voi ottaa myös negatiivisesta luvusta.
\(\sqrt[3]{-8}=-2\), koska \((-2)^3=-8\)
Negatiivisen luvun kuutiojuuri on aina negatiivinen, positiivisen luvun kuutiojuuri positiivinen.
Luvun \(a\) kuutiojuuri \(\sqrt[3]{a}\) on se luku, jonka kuutio eli kolmas potenssi on \(a\)
Eli \(\sqrt[3]{a}=b\), kun \(b^3=a\)
Laske lukujen 9 ja 16
a) neliöjuurten summa
b) summan neliöjuuri
a) \(\sqrt{9}+\sqrt{16}\)
\(=3+4=7\)
b) \(\sqrt{9+16}\)
\(=\sqrt{25}=5\)
Summan neliöjuuri ei siis yleensä ole neliöjuurten summa!
\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
Neliöjuuren korottaminen neliöön "kumoaa" neliöjuuren
\((\sqrt{a})^2=a\)
Luvun neliöstä neliöjuuren ottaminen on siis sama, kuin itseisarvon ottaminen luvusta
Esim. \(\sqrt{4^2}=\sqrt{16}=4\)
\(\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4\)
Huom., luvun \(a\) tulee olla epänegatiivinen, koska muuten neliöjuurta ei ole määritelty
\(\sqrt{a^2}=|a|\)
Toisin päin tilanne on monimutkaisempi
Kuutiojuuri ja kuutio "kumoavat" toisensa molemmin päin
\((\sqrt[3]{a})^3=a\)
\(\sqrt[3]{a^3}=a\)
Esim. \((\sqrt{4})^2=2^2=4\)
\((\sqrt{3})^2=3\)
Sievennä \(\dfrac{\sqrt{a^4}}{\sqrt[3]{b^9}}\)
\(\dfrac{\sqrt{a^4}}{\sqrt[3]{b^9}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{(a^2)^2}}{\sqrt[3]{(b^3)^3}}\)
\(=\dfrac{|a^2|}{b^3}\)
\(\stackrel{*}{=}\dfrac{a^2}{b^3}\)
*) Itseisarvomerkit voitiin poistaa, koska \(a^2\) on varmasti epänegatiivinen luku
Neliöjuuren laskusääntöjä (pätee myös kuutiojuurille)
Tulon juuri on juurten tulo:
\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\)
Sievennä \(\sqrt{12}\)
Kirjoitetaan 12 lukujen 4 ja 3 tulona
\(\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}\)
\(=\sqrt{4}\sqrt{3}\)
Neliöjuuria sievennettäessä pyritään siihen, että juurrettava on mahdollisimman pieni kokonaisluku
\(=2\sqrt{3}\)
Osamäärän juuri on juurten osamäärä:
\(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
Sievennä \(\sqrt{\dfrac{9}{2}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}\)
\(\sqrt{\dfrac{9}{2}}\)
\(=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)
Huom. jos \(\dfrac{3}{\sqrt{2}}\) lavennetaan luvulla \(\sqrt{2}\), saadaan \(\dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)
Muotoa, jossa neliöjuurta ei esiinny nimittäjässä pidetään joskus "sievempänä", mutta tällä on ollut historiallisesti merkitystä lähinnä, kun likiarvoja on laskettu ilman laskimia. Nykyisinkin kuitenkin esim. nspire sieventää neliöjuurilausekkeet tähän muotoon.
Sievennä \(2\sqrt{3} - 3\sqrt{5} + 4\sqrt{3} + \sqrt{5}\)
Samat juuret yhdistetään
\(2\sqrt{3} - 3\sqrt{5} + 4\sqrt{3} + \sqrt{5}\)
\(=6\sqrt{3} - 2\sqrt{5}\)
Sievennä \(\dfrac{1}{\sqrt{8}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{8}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{8}}+\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}\sqrt{8}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{8}}{\sqrt{2}\sqrt{8}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{4\cdot 2}}{\sqrt{2\cdot8}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{4}\sqrt{2}}{\sqrt{16}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{4}\)
\(=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}\)
\(=^{\sqrt{2}\text{)}}\dfrac{1}{\sqrt{8}}+^{\sqrt{8}\text{)}}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)