Lause Olkoon \(b\) postiivinen kokonaisluku. Jokainen kokonaisluku \(a\) voidaan esittää muodossa \(a=bq+r\), missä \(q\) ja \(r\) ovat kokonaislukuja ja \(0\leq r < b\).
Esim Esitä 7 muodossa \(3q+r\).
Valitaan \(q=2\) ja \(r=1<3\).
Nyt \(3\cdot 2 + 1 = 7\).
Parilliseksi todistaminen
Ideana on saattaa luku muotoon
\(2\cdot(\text{jokin kokonaisluku})\)
Parittomaksi todistaminen
Ideana on saattaa luku muotoon
\(2\cdot(\text{jokin kokonaisluku})+1\)
Luku on parillinen, jos se voidaan ilmaista muodossa \(2a\) jollakin kok.luvulla \(a\), ja pariton, jos se voidaan esittää muodossa \(2a+1\) jollakin kok. luvulla \(a\)
Jos on todistamassa väitettä kaikille kokonaisluvuille \(n\), joskus auttaa, kun käsittelee erikseen parilliset tapaukset (\(n=2a\)) ja parittomat tapaukset (\(n=2a+1\)).
Osoita, että kahden parillisen kokonaisluvun erotus on parillinen
Oletus: \(m\) ja \(n\) ovat parillisia kokonaislukuja
Väite: \(m-n\) on parillinen
Todistus:
Oletetaan, että \(m\) ja \(n\) ovat parillisia eli \(m=2a\) ja \(n=2b\) joillakin kokonaisluvuilla \(a\) ja \(b\).
Nyt \(m-n=2a-2b=2(a-b)\).
Koska \(a-b\) on kokonaisluku, niin \(2(a-b)\) on parillinen, ja väite on todistettu. □
Osoita, että \(18m^2+48m+33\) on pariton kaikilla kokonaisluvuilla \(m\)
Oletus: \(m\) on kokonaisluku
Väite: \(18m^2+48m+33\) on pariton
Todistus:
\(18m^2+48m+33=18m^2+48m+32+1\)
\(=2(9m^2+24m+16)+1\).
Koska \(9m^2+24m+16\) on kokonaisluku,
luku \(2(9m^2+24m+16)+1\) on pariton, ja väite on todistettu. □