Kongruenssi

Päivämäärältään 1, 8, 15, 22 ja 29 ovat kaikki perjantaipäiviä toukokuussa 2020. Mikä on näiden lukujen matemaattinen yhteys?

Luvut ovat aina yhden tai useamman viikon eli 7pv:n päässä toisistaan

Esim. \(15-1 = 14 = 7\cdot 2\)

\(29-8 = 21 = 7\cdot 3\)

Ts. lukujen erotus on aina 7:llä jaollinen!

  • Jos kokonaislukujen \(a\) ja \(b\) erotus on jaollinen luvulla \(n>1\), niin \(a\) ja \(b\) ovat kongruentit modulo \(n\)
  • Merkitään \(a\equiv b \pmod{n}\)
  • Esim. \(45 \equiv 3 \pmod{7}\), koska \(45-3=42=7\cdot 6\)

Määritelmä

Lauseita

  • Lause: Pos. kok.luvut \(a\) ja \(b\) ovat kongruentit modulo \(n\), jos ja vain jos luvuilla \(a\) ja \(b\) on sama jakojäännös, kun ne jaetaan luvulla \(n\)
    • Esim. jakolaskuilla \(45:7\) ja \(3:7\) täytyy olla sama jakojäännös (3), koska aiemmin huomattiin, että ne ovat kongruentit modulo 7.
    • Toistepäin: koska molempien jakolaskujen \(22:5\) ja \(12:5\) jakojäännös on 2, niin \(22\equiv 12\pmod{5}\)
  • Lause: Jos \(r\) on jakolaskun \(a:n\) jakojäännös, niin
    \(a\equiv r \pmod{n}\)
    • Esim. koska jakolaskun \(10:4\) jakojäännös on \(2\), niin \(10 \equiv 2\pmod{4}\)
    • Huom! Ei päde yleisesti toistepäin! (Jakojäännös on aina pienempi kuin jakaja)

Summan, tulon ja potenssin kongruenssi

Lause Olkoon \(a\equiv b \pmod{n}\), \(c\equiv d \pmod{n}\) ja \(k\) pos. kok.luku. 

  1. Kongruenttien lukujen summat ovat kongruentteja
    \(a+c\equiv b+d \pmod{n}\)
  2. Kongruenttien lukujen tulot ovat kongruentteja
    \(ac\equiv bd \pmod{n}\)
  3. Kongruenttien lukujen potenssit ovat kongruentteja
    \(a^k\equiv b^k \pmod{n}\)

Jäännösluokat

  • Kongruenssi modulo n jakaa luvut n:ään jäännösluokkaan
  • Ensimmäisen jäännösluokan muodostavat ne luvut x, joille pätee \(x\equiv 0\pmod{n}\) (eli n:llä jaolliset luvut)
  • Toisen ne, joille pätee \(x\equiv 1 \pmod{n}\)
  • \(\vdots\)
  • Viimeisen ne, joille pätee \(x\equiv n-1\pmod{n}\)
  • Hyödyllistä todistaessa väitteitä kaikille kokonaisluvuille: voidaan jakautua eri jäännösluokkiin
    • Sama idea kuin parittomiin ja parillisiin lukuihin jakauduttaessa, jossa kyse oikeastaan kongruenssin modulo 2 jäännösluokista!