Yhteiset tekijät ja Eukleideen algoritmi

Luvut 28 ja 42 voidaan kirjoittaa kahden pos. kokonaisluvun tulona seuraavasti (järjestyksellä ei väliä)

\(28=1\cdot 28 = 2\cdot 14 = 4\cdot 7\)

\(42=1\cdot 42 = 2\cdot 21 = 3\cdot 14 = 6\cdot 7\)

Luvun 28 tekijöitä on siis 1, 2, 4, 7, 14 ja 28

Luvun 42 tekijöitä on vastaavasti 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

Lukujen 28 ja 42 yhteisiä tekijöitä on 1, 2, 7 ja 14

Lukujen 28 ja 42 suurin yhteinen tekijä on 14

Suurin yhteinen tekijä

  • Pos. kokonaisluvun \(a\) tekijöitä ovat ne pos. kokonaisluvut, joilla \(a\) on jaollinen
  • Lukujen \(a\) ja \(b\) suurin yhteinen tekijä on suurin niistä luvuista, jotka ovat molempien luvun tekijöitä
  • Merkitään \(syt(a,b)\)

  • Laskimella gcd(a,b) (Greatest Common Divisor)

Lause: Jos \(r\) on jakolaskun \(a:b\) jakojäännös, niin \(syt(a,b)=syt(b,r)\).

Selvitä lauseen avulla \(syt(396,332)\)

\(396=332\cdot 1 + 64\)

joten \(r=64\) ja \(syt(396,332)=syt(332,64)\)

\(syt(332,64)\) on yhä tuskallisen suuri laskettava, kokeillaan soveltaa lausetta uudelleen!

\(332=64\cdot 5 + 12\)

\(syt(396,332)=syt(64,12)\)

\(64=12\cdot 5 + 4\)

Uudestaan!

\(syt(396,332)=syt(12,4)\)

Vieläkö?

\(12=4\cdot 3 + 0\)

Stop!

\(syt(396,332)=syt(12,4)=4\)

Menetelmää kutsutaan Euklideen algoritmiksi

Luvun 3 moninkertoja on 3:n kertotaulussa oikealla olevat luvut

Luvun 4 moninkertoja on 4:n kertotaulussa oikealla olevat luvut

1 · 4 = 4
2 · 4 = 8
3 · 4 = 12
4 · 4 = 16
5 · 4 = 20
6 · 4 = 24
7 · 4 = 28
8 · 4 = 32
9 · 4 = 36
10 · 4 = 40
11 · 4 = 44
12 · 4 = 48

....

3 · 1 = 3
3 · 2 = 6
3 · 3 = 9
3 · 4 = 12
3 · 5 = 15
3 · 6 = 18
3 · 7 = 21
3 · 8 = 24
3 · 9 = 27
3 · 10 = 30
3 · 11 = 33
3 · 12 = 36

...

Lukujen 3 ja 4 yhteisiä moninkertoja on esim. luvut 12, 24 ja 36.

Lukujen 3 ja 4 pienin yhteinen moninkerta on 12.

Toisaalta 12 on pienin luku, joka on jaollinen sekä luvulla 3 että 4, eli voidaan puhua myös pienimmästä yhteisestä jaettavasta.

Pienin yhteinen moninkerta

  • Lukujen \(a\) ja \(b\) pienin yhteinen moninkerta/jaettava on pienin luvuista, joka on jaollinen molemmilla luvuilla
  • Merkitään \(pym(a,b)\) tai \(pyj(a,b)\)
  • Laskimessa lcm(a,b) (Least Common Multiple) 
  • Esim. \(pym(3,4)=12\)
  • Lause: \(pym(a,b)\cdot syt(a,b)=ab\)
    • Eli yhtälön ratkomalla pymin voi laskea sytin avulla (vaikka ensiksi Euklideen algoritmia käyttäen) ja toistepäin!
    • Esim. aiemmin saatiin laskettua \(syt(396,332)=4\). Mikä on \(pym(396,332)\)?
      • \(pym(396,332)=\frac{396\cdot 332}{syt(396,332)} = \frac{130144}{4}=32536\)