Alkuluvut

Alkuluvut

  • Kokonaisluku \(p>1\) on alkuluku, jos se on jaollinen vain itsellään ja luvulla \(1\)
  • Esim. 2, 3, 5 ja 7 ovat alkulukuja
  • Alkulukujen joukkoa merkitään \(\mathbb{P}\)
  • Alkulukuja on äärettömän paljon (Euklideen lause)
  • Sen sijaan luku 4 ei ole alkuluku, koska se on jaollinen 4:n ja 1:n lisäksi 2:lla
  • Lukuja, jotka eivät ole alkulukuja, kutsutaan joskus yhdistetyiksi luvuiksi (myös äärettömän paljon)

Alkuluvuksi osoittaminen

  • Luvun alkuluvuksi osoittaminen ja alkulukujen löytäminen on lähtökohtaisesti työlästä
  • Suurin tunnettu alkuluku tällä hetkellä on \(2^{82\,589\,933}-1\), jossa on 24 862 048 numeroa
  • Pelkän määritelmän avulla pos. kok.luvun \(n\) alkuluvuksi osoittaminen vaatisi, että tarkistettaisiin luvun \(n\) jaollisuus kaikilla lukua \(n\) pienemmillä pos. kok.luvuilla
  • Alkuluvun osoittamisen ja löytämisen helpottamiseksi on kuitenkin joitakin tuloksia ja menetelmiä
  • Lause:  Luku \(a\) on alkuluku, jos se ei ole jaollinen millään alkuluvulla, joka on enintään \(\sqrt{a}\)
    • Eli voimme ainakin aloittaa tarkistamisen \(\sqrt{a}\):sta alaspäin, ja hypätä kaikkien ennestään yhdistetyiksi tiedettyjen lukujen yli

Osoita, että 19 on alkuluku

\(\sqrt{19}\approx 4{,}4\)

\(\sqrt{19}\) pienempiä lukuja on 4, 3 ja 2, joista 3 ja 2 ovat alkulukuja (4 ei ole, koska 2|4)

\(19:3=6{,}33...\) ja \(19:2=9{,}5\), joten 19 ei ole jaollinen 3:lla eikä 2:lla. Siis 19 on alkuluku.

Eratostheneen seula

  • Eräs klassinen menetelmä enintään luvun \(n\) suuruisten alkulukujen löytämiseksi on ns. Eratostheneen seula
    1. Taulukoidaan luvut 2, 3, ...., n
    2. Poistetaan kaikki luvun 2 moninkerrat
    3. Poistetaan kaikki luvun 3 moninkerrat
    4. Luku 4 on jo poistettu vaiheessa 2. Poistetaan seuraavan jäljellä olevan luvun, eli luvun 5, kaikki moninkerrat
    5. Jatketaan...
    6. Kun ollaan poistettu kaikki enintään \(\sqrt{n}\):n moninkerrat, niin jäljelle jäävät luvut ovat alkulukuja

Eratostheneen seula

Alkulukuhajotelma

  • Aritmetiikan peruslause: Jokainen lukua 1 suurempi kokonaisluku voidaan esittää yksikäsitteisesti alkulukujen tulona
    • Yksikäsitteisyydellä tarkoitetaan tässä sitä, että tulontekijät ovat aina samoja, vaikka niiden järjestys voi olla mikä tahansa
    • Luvun esittämistä alkulukujen tulona kutsutaan alkulukuhajotelmaksi
  • Esim. \(10=5\cdot 2\)
  • Suurempien lukujen kanssa on helpompaa jakaa tekijöihin vaiheittain
  • Esim. \(24 = 2\cdot 12 = 2\cdot 2\cdot 6 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3 = 2^3 \cdot 3 \)
  • Nspiressä luvun \(n\) alkulukuhajotelman saa komennolla factor(n), Geogebrassa Alkutekijät(n)