Aritmeettinen jono ja summa

\(a_1=5+(1-1)\cdot2  = 5 + 0\cdot2  = 5\)

\(a_2=5+(2-1)\cdot2  = 5 + 1\cdot2  = 7\)

\(a_3=5+(3-1)\cdot2  = 5 + 2\cdot2  = 9\)

\(\vdots\)

Toisella tavalla ajateltuna n.:s jäsen saadaan, kun ensimmäiseen jäseneen lisätään 2 n-1 kertaa

\(a_n=5+(n-1)\cdot 2\)

\(a_1\)

\(a_n-a_{n-1}\)

ensimmäinen jäsen

erotusluku eli differenssi (\(d\))

Lukujonoja, joissa seuraava jäsen saadaan aina lisäämällä edelliseen jokin luku, kutsutaan aritmeettisiksi (luku)jonoiksi

Lukujono on aritmeettinen, jos differenssi on vakio eli aina sama

\(a_n=a_1+(n-1)\cdot d\)

\(d=a_n-a_{n-1}\)

a) Lasketaan differenssi
\(d=a_2-a_1=4-7=-3\)

Siis \(a_n=7+(n-1)\cdot(-3)\)

b) Käytetään yleistä jäsentä hyödyksi.
\(a_{123}=7+(123-1)\cdot(-3)=-359\)

20. jäsenen saa, kun differenssi \(d\) lisätään viidenteen jäseneen 15 kertaa, eli
\(4+15d=49\)

\(15d=45\)

\(d=3\)

Ensimmäinen jäsen \(a_1\) saadaan, kun viidennestä jäsenestä vähennetään differenssi \(d\) 4 kertaa, eli

\(a_1=4-4\cdot 3 = 4-12 = -8\)

Siis yleinen jäsen on \(a_n=-8+(n-1)\cdot3\)

\[\begin{cases}a_5=4\\a_{20}=49\end{cases}\]

\[\begin{cases}a_1+d\cdot (5-1)=4\\a_1+d\cdot (20-1)=49\end{cases}\]

Siis \(a_n=-8+3(n-1)\)

Aritmeettinen summa saadaan myös, kun lasketaan ensimmäisen ja viimeisen laskettavan jäsenen keskiarvo, ja kerrotaan se summattavien lukumäärällä
\(S_n=n\cdot \dfrac{a_1+a_n}{2}\)

\(S_7=7\cdot\dfrac{5+17}{2}=77\)