Epäsuora todistus

  • Suorassa todistuksessa oletuksesta P pääteltiin suoraan väite Q. Näin saatiin todistettua \(P\Rightarrow Q\), mikä riittää, koska \((P\wedge (P\Rightarrow Q))\Rightarrow Q\) on tautologia
  • Toisaalta jos keksimme loogisesti ekvivalentin lauseen lauseelle \(P\Rightarrow Q\), senkin todistaminen pitäisi riittää
  • Kontrapositiolaki:
    \((P\Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\neg Q \Rightarrow \neg P)\)
  • On siis mahdollista todistaa väite päättelemällä väitteen negaatiosta oletuksen negaatio!

Käänteinen todistus

Esim 1

Osoita, että jos jonkin kokonaisluvun neliö on parillinen, niin se on myös itse parillinen.

Kontrapositiolain nojalla riittää todistaa, että jos \(a\) on pariton, niin \(a^2\) on pariton.

Oletetaan, että \(a\) on pariton, eli \(a = 2n + 1\) jollakin kokonaisluvulla n.

Nyt \(a^2=(2n+1)^2=4n^2+4n+1\\                        =2\underbrace{(2n^2+2n)}_{\textrm{kokonaisluku}}+1\), joten \(a^2\) on pariton. 

□

Ristiriitatodistus

  • Ristiriita on lause, joka on aina epätosi, esim. \(A\wedge \neg A\)
  • Lauseen \(P\Rightarrow Q\) kanssa loogisesti ekvivalentti on myös lause \(\left(P\wedge\neg Q\right)\Rightarrow\left(A\wedge\neg A\right)\)
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} P&Q&P\Rightarrow Q&\neg Q&P\wedge\neg Q&A\wedge\neg A&\left(P\wedge\neg Q\right)\Rightarrow\left(A\wedge\neg A\right)\\ \hline 1&1&1&0&0&0&1\\ 1&0&0&1&1&0&0\\ 0&1&1&0&0&0&1\\ 0&0&1&1&0&0&1 \end{array}
  • Väitteen todistamiseksi riittää, että oletuksen \(P\) lisäksi tehdään vastaoletus \(\neg Q\), josta päädytään mihin tahansa ristiriitaan
  • Tällöin on väistämätöntä, että väitteen \(Q\) täytyy päteä oletuksen \(P\) pädetessä

Esim 2

Osoita, ettei kaikki kolmion kulmat voi olla teräviä.

Oletus: \(\alpha, \beta, \gamma\) ovat kolmion kulmia

Väite: \(\alpha\geq90^\circ\), \(\beta\geq90^\circ\) tai \(\gamma\geq90^\circ\)

Todistus:

Vastaoletus: kaikki kulmat ovat teräviä, eli \(\alpha<90^\circ\), \(\beta<90^\circ\) ja \(\gamma<90^\circ\).

Nyt \(\alpha+\beta+\gamma<90^\circ+90^\circ+90^\circ=180^\circ\).

Tämä on kuitenkin ristiriidassa sen oletuksen kanssa, että \(\alpha, \beta\) ja \(\gamma\) ovat kolmion kulmia, koska kolmion kulmien summa on aina \(180^\circ\). Väitteen on oltava siis tosi.

□