Funktion merkki
Ensimmäisen asteen epäyhtälö ratkaistaan pitkälti samalla tavalla kuin vastaava yhtälökin, mutta epäyhtälömerkin suunnan kanssa täytyy olla tarkkana
Suunta vaihtuu, jos
1) vaihtaa vasemman ja oikean puolen paikkaa
\(2<3\)
\(3>2\)
2) kertoo negatiivisella luvulla
\(2<3\parallel \cdot (-2)\)
\(-4>-6\)
3) jakaa negatiivisella luvulla
\(-4>-6 \parallel :(-2)\)
\(2<3\)
a) \(3x-8>5x+6\)
\(3x-5x>6+8\)
\(-2x>14\)
\(\parallel :(-2)<0\)
\(x<-7\)
b) \(3\leq\dfrac{x}{2}+4\)
\(\dfrac{x}{2}+4\geq3\)
\(\parallel -4\)
\(\dfrac{x}{2}\geq-1\)
\(\parallel \cdot 2\)
\(x\geq-2\)
c) \(2(x+1)<3(x-3)\)
\(2x+2<3x-9\)
\(2x-3x<-9-2\)
\(-x<-11\)
\(\parallel :(-1)<0\)
\(x>11\)
Millä muuttujan \(x\) arvoilla funktio \(f(x)=3x-6\) saa positiivisia arvoja?
\(f(x)>0\)
\(3x-6>0\)
\(3x>6\)
\(\parallel +6\)
\(\parallel :3\)
\(x>2\)
Kuvaajasta katsottuna:
o
Ensimmäisen asteen epäyhtälöt voi ratkaista pääasiassa samalla tavalla, kuin vastaavat ensimmäisen asteen yhtälöt.
Toisen asteen epäyhtälöitä ei voi ratkaista samalla tavalla kuin toisen asteen yhtälöitä!
Yritetään päätellä, milloin vastaava funktio \(f(x)=2x^2+x-3\) on negatiivinen
Nollakohdat:
\(2x^2+x-3=0\)
\[x=\frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2\cdot 2}\]
\(\vdots\)
\(x=-\frac{3}{2}\) tai \(x=1\)
\(f(x)=0\)
Ratkaise epäyhtälö
\(2x^2<-x+3\)
Siiretään kaikki termit vasemmalle
\(2x^2+x-3<0\)
Yritetään päätellä, milloin vastaava funktio \(f(x)=2x^2+x-3\) on negatiivinen
Nollakohdat:
\(x=-\frac{3}{2}\) tai \(x=1\)
Koska \(x^2\):n kerroin 2 on positiivinen, paraabeli aukeaa ylöspäin. Tiedetään myös, että funktiolla on kaksi nollakohtaa. Hahmotellaan kuvaaja.
Kuvaajasta voidaan päätellä ratkaisu
V: \(-\frac{3}{2}<x<1\)
\(2x^2+x-3<0\)
\(1\)
\[-\frac{3}{2}\]
\(+\)
\(+\)
\(-\)
o
o
Ratkaisu EI ole
\(x\geq\pm 2\)
Ratkaise \(x^2\geq4\)
(\(x\geq\pm2\) tarkottaisi, että "\(x\geq-2\) tai \(x\geq2\)". Esim. \(1\geq-2\), mutta \(1^2=1\not\geq 4\).)
Ratkaise \(x^2\geq4\)
Siirretään kaikki termit vasemmalle
\(x^2-4\geq0\)
Tutkitaan funktiota \(f(x)=x^2-4\)
Nollakohdat:
\(f(x)=0\)
\(x^2-4=0\)
\(x^2=4\)
\(x=\pm2\)
\(\parallel \sqrt{\,}\)
\(x=\pm\sqrt{4}\)
Kuvaajahahmotelma:
V: \(x\leq -2\) tai \(x\geq 2\)
\(2\)
\[-2\]
\(+\)
\(+\)
\(-\)
Toisen asteen epäyhtälön ratkaisun vaiheet A-osassa:
- Siirrä kaikki termit epäyhtälön vasemmalle puolelle
- Merkitse vasen puoli funktioksi \(f(x)\)
- Ratkaise funktion \(f(x)\) nollakohdat
- Piirrä kuvaajahahmotelma (esim. Klecksillä, Draw.io:lla tai Collabora Drawilla)
- Päättele ratkaisu
Kuvaajahahmotelma:
\(2\)
\[-2\]
\(+\)
\(+\)
\(-\)
Kuvaajahahmotelman piirtäminen Draw.io:lla
Mahdollisia ratkaisuja on monenlaisia!
\(f(x)>0\)
V: Epäyhtälö toteutuu kaikilla \(x\)
+ + +
Mahdollisia ratkaisuja on monenlaisia!
\(f(x)<0\)
V: Epäyhtälöllä ei ole ratkaisua
+ + +
Mahdollisia ratkaisuja on monenlaisia!
\(f(x)>0\)
V: \(x\neq 2\)
+ +
2
Mahdollisia ratkaisuja on monenlaisia!
\(f(x)\leq0\)
V: \(x= 2\)
+ +
2
Mahdollisia ratkaisuja on monenlaisia!
\(f(x)\geq 0\)
V: \(x\leq-3\) tai \(x\geq 2\)
-3 2
+ +
-
Mahdollisia ratkaisuja on monenlaisia!
\(f(x)< 0\)
V: \(-3<x<2\)
-3 2
+ +
-
B-osassa solve toimii kuten yhtälöissäkin.
Huom. merkki ≥ kirjoitetaan >= ja merkki ≤ kirjoitetaan <=
