Korkeamman asteen polynomiyhtälöt

  • Kaikki toisen asteen yhtälöt saadaan ratkaistua toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla
  • Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöille voidaan kirjoittaa ratkaisukaava, mutta näitä ei monimutkaisuuden vuoksi käsin yhtälöitä ratkastaessa juuri käytetä
  • Viidettä ja sitä suurempiasteisille yhtälöillä ratkaisukaavaa ei ole mahdollista kirjoittaa, ts. niiden kaikkia ratkaisuja ei aina ole mahdollista selvittää tarkasti, vaikka niiden tiedettäisiin olevan olemassa

Vuosituhansien mittaan matemaatikot ratkaisivat asteittain yhä vaikeampia yhtälöitä ja kohtasivat viimein niin sanotun viidennen asteen yhtälön. Se ei suostunut ratkeamaan parhaiden matemaatikoiden useita vuosisatoja kestäneistä ponnisteluista huolimatta. Viimein 1800-luvun alussa kaksi matematiikan ihmelasta todisti toisistaan riippumatta, että se ei ratkea tavanomaisin menetelmin. Samalla syntyi ryhmäteoria, symmetrian matematiikka.

Nuorukaiset olivat ranskalainen Évariste Galois ja norjalainen Niels Henrik Abel. Molemmat kuolivat nuorena. Galois kirjoitti yhteenvedon merkittävimmistä matemaattisista ajatuksistaan kuolemaansa johtanutta kaksintaistelua edeltävänä iltana. Marginaaliin hän merkitsi: ”Minulla ei ole aikaa.”

Monet korkeampiasteiset yhtälöt voidaan kuitenkin ratkaista käyttämällä seuraavaa huomiota

Eli \(ab = 0\), jos ja vain jos \(a=0\) tai \(b=0\)

Jos ja vain jos (\(\Leftrightarrow\)) tarkoittaa, että väite pätee kumpaankin suuntaan:

"\(\Rightarrow\)" Jos \(ab=0\), niin \(a=0\) tai \(b=0\)

"\(\Leftarrow\)" Jos \(a=0\) tai \(b=0\), niin \(ab=0\)

Ts. väitteen vasen ja oikea puoli ovat aina samaan aikaan joko tosi tai epätosi

Tulon nollasäännön todistus:

Todistetaan ensiksi "vasemmalta oikealle": Jos \(ab=0\), niin \(a=0\) tai \(b=0\)

Oletetaan, että \(ab=0\).

Jos \(a=0\), pätee myös  \(a=0\) tai \(b=0\) .

Jos \(a\neq 0\), voidaan ratkaista \(b\):

\(ab=0\)

\(\parallel : a\)

\(b=0\), joten pätee myös \(a=0\) tai \(b=0\).

Todistetaan vielä "oikealta vasemmalle": Jos \(a=0\) tai \(b=0\), niin \(ab=0\).

Oletetaan, että \(a=0\) tai \(b=0\).

Nyt \(ab=0\cdot b=0\) tai \(ab=a\cdot 0 = 0\), joten \(ab=0\). □