Paraabeli
Paraabelin muodostaa ne tason pisteet, jotka ovat yhtä kaukana polttopisteestä ja johtosuorasta
Paraabelin akseli on johtosuoran normaali, joka kulkee polttopisteen kautta
Paraabelin huippu on paraabelin ja akselin leikkauspiste
Paraabeli voi koordinaatistossa olla missä asennossa tahansa. Keskitymme kuitenkin paraabeleihin, joiden johtosuora/akseli ovat koordinaatiakselien suuntaisia, koska näille on helppo määritellä pistejoukon yhtälö
huippu
polttopiste
akseli
johtosuora
Paraabelin johtosuora on \(y=0\) ja polttopiste (0,1). Määritä paraabelin yhtälö.
Paraabelin yleisen pisteen \((x,y)\) etäisyys johtosuorasta on \(|y-0|=|y|\) ja polttopisteestä \(\sqrt{(x-0)^2+(y-1)^2} = \sqrt{x^2+y^2-2y+1}\)
Merkitään etäisyydet yhtäsuuriksi
\(|y| = \sqrt{x^2+y^2-2y+1}\)
\(\parallel ()^2\)
\(y^2=x^2+y^2-2y+1\)
\(2y=x^2+1\)
\(y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}\)
Erityistapaukset
Paraabelin \(y=ax^2\) polttopiste on \((0,\dfrac{1}{4a})\) ja johtosuora \(y=-\dfrac{1}{4a}\)
Paraabelin \(x=ay^2\) polttopiste on \((\dfrac{1}{4a},0)\) ja johtosuora \(x=-\dfrac{1}{4a}\)
Määritä sen paraabelin yhtälö, jonka polttopiste on \((0,3)\) ja johtosuora \(y=-3\)
Ratkaistaan \(a\):
\(\dfrac{1}{4a}=3\)
\(\parallel \cdot 4a\)
\(1=12a\)
\(a=\dfrac{1}{12}\)
\(\parallel : 12a\)
Siis paraabelin yhtälö on:
\(y=\dfrac{1}{12}x^2\)
Paraabelin yhtälö
Akseliltaan y-akselin suuntaisen paraabelin yhtälön yleinen muoto on \(y=ax^2+bx+c\)
Akseliltaan x-akselin suuntaisen paraabelin yhtälön yleinen muoto on \(x=ay^2+by+c\)
Olkoon \(a\neq 0\).
Jos \(a>0\), paraabeli on ylöspäin aukeava.
Jos \(a<0\), paraabeli on alaspäin aukeava.
Jos \(a>0\), paraabeli on oikealle aukeava.
Jos \(a<0\), paraabeli on vasemmalle aukeava.
Akseliltaan y-suuntainen paraabeli kulkee pisteiden (-1,3), (0,0) ja (1,1) kautta. Määritä paraabelin yhtälö.
Sijoitetaan annettujen pisteiden koordinaatit paraabelin yhtälön yleiseen muotoon ja ratkaistaan vakiot \(a\), \(b\) ja \(c\) yhtälöryhmästä
Akseliltaan y-akselin suuntaisen paraabelin yhtälön yleinen muoto on \(y=ax^2+bx+c\)
Yhtälö on siis \(y=2x^2-x\)
Yhtälön huippumuoto
Merkitään paraabelin huippua \((x_0,y_0)\).
Jos paraabelin akseli on y-akselin suuntainen, paraabelin yhtälön huippumuoto on \(y-y_0=a(x-x_0)^2\)
Jos paraabelin akseli on x-akselin suuntainen, paraabelin yhtälön huippumuoto on \(x-x_0=a(y-y_0)^2\)
Paraabelin akseli on y-akselin suuntainen, huippu pisteessä (2,1) ja se kulkee pisteen (1,3) kautta. Määrittele paraabelin yhtälön yleinen muoto.
Yhtälö on huippumuodossa \(y-1=a(x-2)^2\)
Selvitetään \(a\) sijoittamalla annetun pisteen koordinaatit \(y\):n ja \(x\):n paikalle
\(3-1=a(1-2)^2\)
\(2=a\)
\(a=2\)
Yhtälö on siis huippumuodossa \(y-1=2(x-2)^2\)
Avataan sulut ja ratkaistaan y
\(y-1=2(x^2-4x+4)\)
\(y-1=2x^2-8x+8\)
\(y=2x^2-8x+9\)