Pisteen etäisyys suorasta

Etäisyys suorasta

  • Etäisyys tasossa on määritelty pisteiden välille:
    \(d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
  • Täytyy siis valita suoralta piste, jonka suhteen etäisyys lasketaan
  • Jos voisi valita minkä tahansa pisteen suoralta, etäisyys voisi olla kuinka suuri tahansa
  • Etäisyys ei kuitenkaan voi olla kuinka pieni tahansa
  • Valitaan se suoran piste, jolla etäisyys on mahdollisimman pieni, eli kohtisuora etäisyys
  • Valittu suoran piste on siis suoran ja tutkittavan pisteen kautta kulkevan normaalin leikkauspiste

◻

●

●

●

Etäisyyden laskeminen

Pisteen etäisyyden suorasta voisi laskea etsimällä normaalin ja suoran leikkauspisteen ja laskemalla näiden pisteiden välisen etäisyyden, mutta elämää helpottamaan on myös keksitty kaava (todistus kirjassa)

Lause: Pisteen \((x_0,y_0)\) etäisyys \(d\) suorasta \(ax+by+c=0\) lasketaan

\(d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

Esim 1

Laske suoran \(y=x+2\) ja pisteen \(A=(2,1)\) välinen etäisyys

Muutetaan suoran yhtälö ensiksi normaalimuotoon siirtämällä kaikki termit vasemmalle ja järjestämällä termit

\(-x+y-2=0\)

\(d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

Nähdään, että \(a=-1\), \(b=1\) ja \(c=-2\).

Sij. kaavaan: \(d=\frac{|-1\cdot2+1\cdot1+(-2)|}{\sqrt{(-1)^2+1^2}}=\frac{|-3|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}\)

Esim 2

Määritä suorien \(3x-4y=0\) ja \(4x-3y=0\) välisen kulman (\(\leq 90^\circ\)) kulmanpuolittajan yhtälö

Kulmanpuolittajan muodostavat pisteet, jotka ovat yhtä kaukana kummastakin kulman kyljestä

Merkitään pistettä kulmanpuolittajalla \((x,y)\)

Etäisyys suorasta \(3x-4y=0\): \(d_1=\frac{|3x+(-4y)+0|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{|3x-4y|}{5}\)

Etäisyys suorasta \(4x-3y=0\): \(d_2=\frac{|4x+(-3y)+0|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=\frac{|4x-3y|}{5}\)

Etäisyyksien pitää olla sama, eli ratkaistaan \(y\) yhtälöstä \(d_1=d_2\)

\(d_1=d_2\)

\(\dfrac{|3x-4y|}{5}=\dfrac{|4x-3y|}{5}\)

\(|3x-4y|=|4x-3y|\)

\(y = x\) (tai \(y=-x\))

Toinen suora on myös kulmanpuolittaja, mutta suuremman suorien muodostamista kulmista. Tämän voi päätellä kuvaajasta tai kulmakertoimista.

\(3x-4y=4x-3y\)

\(3x-4y=-(4x-3y)\)

tai

\(-y=x\)

\(y=-x\)

\(3x-4y=-4x+3y\)

\(y=x\)