Polynomifunktiot
Tällä tunnilla kerrataan
- (Polynomi)funktion käsite ja funktion arvo
- Funktion nollakohta ja toisen asteen yhtälön ratkaiseminen
- Polynomien kertolasku
- Tulon nollasääntö
1. (Polynomi)funktion käsite ja funktion arvo
1
2
3
-4
12
...
2
4
6
-8
24
...
Otetaan kaksi luvuista koostuvaa joukkoa
Liitetään jokaiseen ensimmäisen joukon lukuun yksi luku toisesta joukosta
Sääntöä jolla luvut liitetään toisiinsa, kutsutaan funktioksi
\(f\)
\(f\)
MÄÄRITTELYJOUKKO
ARVOJOUKKO
1
2
3
-4
12
...
2
4
6
-8
24
...
\(f\)
\(f\)
MÄÄRITTELYJOUKKO
ARVOJOUKKO
Mikä sääntö määrittelee alla kuvaillun funktion \(f\)?
Luku kerrotaan kahdella.
Saman säännön pystyy toisaalta ilmaisemaan muuttujan \(x\) avulla lausekkeena \(2x\)
Tällöin merkitään \(f(x)=2x\)
1
2
3
-4
12
...
2
4
6
-8
24
...
\(f\)
\(f\)
MÄÄRITTELYJOUKKO
ARVOJOUKKO
Funktion \(f\) arvo kohdassa \(a\) on se arvojoukon luku, jonka funktio liittää lukuun \(a\). Tätä merkitään \(f(a)\).
Tässä
- \(f(2)=4\)
- \(f(12)=24\)
- \(f(-4)=-8\) jne.
Olkoon \(f(x)=-3x+1\).
Määritä funktion arvo kohdassa \(-4\).
\(f(-4)=-3\cdot (-4) + 1\)
Muuttujan arvo \(-4\) sijoitetaan funktion lauseekkeeseen muuttujan \(x\) paikalle.
\(= 12 + 1 = 13\)
Nspire:
Polynomifunktio on funktio, jonka lauseke voidaan esittää polynomina.
Monomi on lauseke muotoa \(ax^n\) jollakin positiivisella \(n\), esim. \(5x^3\) tai \(-x^2\). Myös pelkkä vakio, esim. \(12\), lasketaan monomiksi.
Polynomi on monomien summa, esim. \(2x^5-3x^2+2\).
Polynomin asteluku on korkeinta astetta olevan termin asteluku, esim. polynomin \(2x^5-3x^2+2\) asteluku on 5.
2. Funktion nollakohta ja toisen asteen yhtälön ratkaiseminen
Funktion \(f\) nollakohtia ovat ne muuttujan \(x\) arvot, joilla funktio saa arvokseen 0.
Esim. \(x=2\) on funktion \(f(x)=3x-6\) nollakohta, koska \(f(2)=3\cdot 2 -6 = 6 - 6 = 0\)
Älä sekoita nollakohtaa funktion arvoon kohdassa 0!
Esim. yllä \(f(0)=3\cdot 0 - 6 = -6\) on funktion \(f\) arvo kohdassa \(x=0\),
mutta funktion nollakohta oli \(x=2\).
Nollakohdat saadaan ratkaistuksi aina yhtälöstä \(f(x)=0\).
Esim. ylläoleva nollakohta oltaisiin saatu ratkaistua
\(f(x)=0\)
\(3x-6=0\)
\(3x=6\)
\(x=2\)
Määritä funktion \(f(x)=x^2+4x+3\) nollakohdat
\(x^2+\textcolor{cyan}{4}x+\textcolor{yellow}{3}=0\)
\(\textcolor{pink}{a}x^2 + \textcolor{cyan}{b}x + \textcolor{yellow}{c} = 0\)
\(\textcolor{pink}{1}\)
Sijoitetaan \(a=1\), \(b=4\) ja \(c=3\) ratkaisukaavaan
\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4~~~a~~~c}}{2~~a}\]
\(f(x)=0\)
Sijoitetaan \(a=1\), \(b=4\) ja \(c=3\) ratkaisukaavaan
\[x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot 3}}{2\cdot 1}\]
\[x=\frac{-4\pm\sqrt{16-12}}{2}\]
\[x=\frac{-4\pm\sqrt{4}}{2}\]
Määritä funktion \(f(x)=x^2+4x+3\) nollakohdat
\(x^2+\textcolor{cyan}{4}x+\textcolor{yellow}{3}=0\)
\(\textcolor{pink}{a}x^2 + \textcolor{cyan}{b}x + \textcolor{yellow}{c} = 0\)
\(\textcolor{pink}{1}\)
\(f(x)=0\)
\[x=\frac{-4\pm 2}{2}\]
\[x=\frac{-4-2}{2}\]
\[x=\frac{-4+2}{2}\]
tai
\[x=-3\]
\[x=-1\]
tai
V: Funktion \(f\) nollakohdat ovat \(x=-3\) ja \(x=-1\)
Määritä funktion \(f(x)=x^2+4x+3\) nollakohdat
Nspire:
Geogebran CAS-näkymä:
3. Polynomien kertolasku
Kerrotaan sulkeet auki. Kaikilla "kertojan" termeillä kerrotaan kaikki "kerrottavan" termit
\(f(x)=(\textcolor{cyan}{2x}+\textcolor{yellow}{3})(\textcolor{pink}{x^4}+\textcolor{lightblue}{2})\)
\(=\textcolor{cyan}{2x}\cdot \textcolor{pink}{x^4}+\textcolor{cyan}{2x}\cdot \textcolor{lightblue}{2} + \textcolor{yellow}{3}\cdot \textcolor{pink}{x^4} + \textcolor{yellow}{3}\cdot \textcolor{lightblue}{2}\)
\(=2x^5 + 4x + 3x^4 + 6\)
\(=2x^5 + 3x^4 + 4x + 6\)
Esitä funktio \(f(x)=(2x+3)(x^4+2)\) polynomimuodossa ja määritä funktion \(f\) asteluku
Koska korkeinta astetta olevan termin asteluku on 5, funktion \(f\) asteluku on 5
4. Tulon nollasääntö
Tulo \(ab=0\) jos ja vain jos \(a=0\) tai \(b=0\)
Aina ei kannata kertoa sulkeita auki!
Määritä funktion \(f(x)=(4x-2)(3x+6)\) nollakohdat
\(f(x)=0\)
\((4x-2)(3x+6)=0\)
\(4x-2=0\)
\(3x+6=0\)
tai
\(4x=2\)
\(x=\dfrac{2}{4}\)
\(x=\dfrac{1}{2}\)
\(\parallel :4\)
\(3x=-6\)
\(x=-2\)
\(\parallel :3\)