Potenssi

\(a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots \cdot a}_{n \text{ kpl}}\), jossa \(n\in\mathbb{N}\)

Huom.
\(a^1 = a\)

\(a^0=1\)

Esim. \(4^3=4\cdot 4\cdot 4 = 64\)

Toista potenssia \(a^2\) kutsutaan luvun \(a\) neliöksi

Kolmatta potenssia \(a^3\) kutsutaan luvun \(a\) kuutioksi

\(3^1=3\)

\(\pi^0=1\)

\(a\neq 0\) ja \(n\) pos. kok. luku

\(a^0=1\)

\(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\)

Eli miinus eksponentissa tarkoittaa käänteisluvun ottamista. Järjestyksellä ei ole väliä: voi korottaa ensiksi potenssiin ja ottaa käänteisluvun tai ottaa käänteisluvun ja korottaa potenssiin.

Erityisesti \(a^{-1}=\dfrac{1}{a}\)

\(=\left(\dfrac{1}{a}\right)^n\)

Luvulla \(10^n\) kertominen: siirretään pilkkua \(n\) askelta oikealle

Esim. \(3{,}2149\cdot 10^3 = 3214{,}9\)

Jos oikealla ei ole lukuja enempää, täytetään tyhjät kohdat nollilla

Esim. \(512{,}3\cdot 10^4 = 5~123~000\)

Jos luku on kokonaisluku, nollia lisätään eksponentin verran luvun loppuun

Esim. \(123\cdot 10^2 = 12~300\)

\(10^{-n}=\underbrace{0,000\dots 000}_{n \text{ kpl}}~1\)

Luvulla \(10^{-n}\) kertominen: siirretään pilkkua \(n\) askelta vasemmalle

Esim. \(1{,}23\cdot 10^{-5}=0{,}0000123\)

Huom: kun luku esitetään kymmenpotenssimuodossa, halutaan, että kertoimessa pilkun vasemmalla puolella on yksi 0:sta poikkeava numero ja loput numerot pilkun oikealla puolella.
Siis \(1{,}23\cdot 10^{-5}\), ei \(12{,}3\cdot 10^{-6}\) tai \(0{,}0123\cdot 10^{-3}\).
Näin suuruusluokan hahmottaminen on helpompaa.

\((ab)^n=\underbrace{a\cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\text{ kpl}}\cdot\underbrace{b\cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n\text{ kpl}}\)

Toisaalta tulontekijöiden järjestystä voidaan vapaasti muuttaa, jolloin

Potenssin määritelmää takaperin soveltaen saadaan tulon potenssin kaava

\((ab)^n=a^n b^n\)

Tulon potenssi on potenssien tulo

\[\left(\frac{a}{b}\right)^n= \underbrace{\frac{a\cdot a \cdot \ldots \cdot a}{b\cdot b \cdot \ldots \cdot b}}_{n\text{ kpl}}\]

\[\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\]

Murtolukujen laskusäännöistä:

Potenssin määritelmästä saadaan osamäärän potenssin kaava

Osamäärän potenssi on potenssien osamäärä

\(a^m a^n = \underbrace{a\cdot\ldots\cdot a}_{m\text{ kpl}}\cdot \underbrace{a\cdot\ldots\cdot a}_{n\text{ kpl}}\)

\(a^m a^n = \underbrace{a\cdot\ldots\cdot a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{m+n\text{ kpl}}\)

\(a^m a^n = a^{m+n}\)

\[\frac{a^m}{a^n} = \frac{\overbrace{\cancel{a}\cdot\cancel{a}\cdot\ldots\cdot \cancel{a}}^{n\text{ kpl}}\cdot \overbrace{a \cdot \ldots \cdot a}^{m-n\text{ kpl}}}{\underbrace{\cancel{a}\cdot\cancel{a}\cdot\ldots \cdot \cancel{a}}_{n \text{ kpl}}}\]

\(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)

\[(a^m)^n=\underbrace{a^m\cdot \ldots \cdot a^m}_{n\text{ kpl}}\]

\[(a^m)^n=\underbrace{(\overbrace{a\cdot\ldots\cdot a}^{m\text{ kpl}})\cdot \ldots \cdot (\overbrace{a\cdot\ldots\cdot a}^{m\text{ kpl}})}_{n\text{ kpl}}\]

\[(a^m)^n = a^{mn}\]