Reaaliluvut

Rationaaliluvut

  • Kahden luonnollisen luvun erotus ei ollut aina luonnollinen luku (esim. \(3-5=-2\), jonka takia luonnolliset luvut laajennettiin kokonaisluvuiksi
  • Kahden kokonaisluvun jakolasku ei myöskään ole aina kokonaisluku (esim. \(3:2=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}=1,5\)). Näin päästään määrittelemään rationaaliluvut.

\(\mathbb{Q}=\{\frac{m}{n} \mid m, n\neq 0 \text{ kokonaislukuja} \}\)

eli kaikki luvut, jotka voidaan esittää murtolukuna, ovat rationaalilukuja!

Rationaaliluvut voidaan periaatteessa luetella, eli rationaalilukujen joukko on numeroituva. Rationaalilukuja on siksi jossain mielessä "yhtä paljon" kuin luonnollisia lukuja!

Huom! Desimaaliluvut kuten murtoluvutkaan eivät ole lukujoukko, vaan lukujen esitystapa. Rationaalilukujen desimaaliesitykset voivat olla joko päättyviä \(\frac{1}{2}=0,5\) tai päättymättömiä, mutta jaksollisia \(\frac{321}{123}=2,6097560975...\)

Reaaliluvut

  • Minkä positiivisen luvun toinen potenssi on 2?
    • \(1^2=1\) ja \(2^2=4\), joten sen täytyy olla jossain lukujen \(1\) ja \(2\) välissä
    • Vaikka 1:n ja 2:n välistä löytyy äärettömästi rationaalilukuja, yhdenkään niistä toinen potenssi ei ole täsmälleen 2. Esim. \(\left(\frac{3}{2}\right)^2=1,5^2=2,25\).
  • Lukuja, jotka eivät ole rationaalilukuja, eli joita ei voi esittää murtolukuna, kutsutaan irrationaaliluvuiksi
    • ​Irrationaalilukujen desimaaliesitys on aina päättymätön ja jaksoton! Esim. \(\pi = 3,1459...\)
  • Reaaliluvut (\(\mathbb{R}\)) saadaan, kun yhdistetään rationaali- ja irrationaaliluvut

Reaalilukuja ei pysty luettelemaan, eli reaalilukujen joukko on ylinumeroituva. Niitä on siis "oikeasti enemmän" kuin rationaali-/kokonais-/luonnollisia lukuja. Vaikka kaikkia on äärettömästi, ylinumeroituva äärettömyys on vielä numeroituvaakin äärettömyyttä suurempaa!

Murtoluvuilla laskeminen

  • yhteen/vähennyslaskua varten murtolukujen täytyy olla samannimiset, ja tarvittaessa ne voidaan laventaa samannimisiksi
  • kertolaskussa kerrotaan osoittajat ja nimittäjät keskenään (yläkerta ja alakerta)
  • murtoluvulla jakaminen on sama asia kuin käänteisluvulla kertominen

Luvun \(a\neq 0\) käänteisluku on luku \(\frac{1}{a}\).

Luvun ja käänteisluvun tulo on aina 1.