Tasa-arvokäyrä

Funktion \(f(x,y)\) tasa-arvokäyrä \(L_c\) muodostuu niistä pisteistä \((x,y)\), jotka toteuttavat yhtälön \(f(x,y)=c\)

Kahden muuttujan funktion \(f(x,y)\) kuvaajaa ei pysty piirtämään xy-tasoon. xy-tasoon voidaan kuitenkin merkitä, missä kohdin funktio saa jonkin tietyn arvon \(c\)

Tasa-arvokäyriä käytetään maastokartoissa merkitsemään korkeuseroja. Tässä kartassa tasa-arvokäyrät on piirretty viiden metrin välein

Määritä funktion \(f(x,y)=-x^2-y^2+5\) tasa-arvokäyrä \(L_3\)

Tasa-arvokäyrä \(L_3\) saadaan yhtälöstä
\(-x^2-y^2+5=3\)

\(-x^2-y^2=-2\)

\(x^2+y^2=2\)

\(L_3\) on siis origokeskeinen ympyrä, jonka säde on \(\sqrt{2}\)

\(\parallel \cdot (-1)\)

Määritä funktion \(f(x,y)=\sin(x-y)\) nollakohdat,
eli tasa-arvokäyrä \(L_0\)

\(f(x,y)=0\)

\(\sin(x-y)=0\)

\(x-y=n\cdot\pi\)

\(y=x-n\cdot\pi\)

Ts. kohta \((x,y)\) on nollakohta, jos se sijaitsee joillakin suorista \(y=x-n\cdot \pi\)

Nollakohdat muodostaa siis suoraparvi \(y=x-n\cdot\pi\), \(n\in\mathbb{Z}\)

Ts. kohta \((x,y)\) on nollakohta, jos se sijaitsee joillakin suorista \(y=x-n\cdot \pi\)

Yhden suorista saa Geogebrassa piirrettyä esim. syöttämällä pisteen \((x,x-\pi,0)\)

Määritä funktion \(f(x,y)=\sin(x-y)\) nollakohdat,
eli tasa-arvokäyrä \(L_0\)