Toistokoe

Noppaa heitetään 5 kertaa. Millä todennäköisyydellä tulee 2 kuutosta?

  • Yhden heiton tapauksessa:
    • merkitään \(A=\textrm{"tulee kuutonen"}\)
    • \(P(A)=\frac{1}{6}\) ja \(P(\bar{A})=1-\frac{1}{6}\)
  • Ajatellaan jonoina niitä viisiä heittoja, joilla tulee kaksi kuutosta:
    • \(A\bar{A}A\bar{A}\bar{A}\), \(\bar{A}\bar{A}\bar{A}AA\) jne.
    • Koska kahden \(A\):n paikat voidaan valita jonosta \(\binom{5}{2}\) eri tavalla, näin monta on myös tällaisia jonoja
    • Jokaisen tällaisen jonon todennäköisyys on kertolaskusäännön nojalla \((\frac{1}{6})^2\cdot(1-\frac{1}{6})^3\)
    • Nyt \(P(\textrm{"kaksi kuutosta neljällä heitolla"}) \\= P(A\bar{A}A\bar{A}\bar{A}\textrm{ tai }\bar{A}\bar{A}\bar{A}AA\textrm{ tai ...})\\=P(A\bar{A}A\bar{A}\bar{A})+P(\bar{A}\bar{A}\bar{A}AA)+...\\=(\frac{1}{6})^2\cdot(\frac{5}{6})^3+(\frac{1}{6})^2\cdot(\frac{5}{6})^3+...\\= \binom{5}{2}\cdot(\frac{1}{6})^2\cdot(1-\frac{1}{6})^3\approx 0,16\)

Toistokoe

  • Nopanheitto on esimerkki satunnaiskokeesta
  • Kun samaa satunnaiskoetta toistetaan ja toistot ovat toisistaan riippumattomia, voidaan puhua toistokokeesta
  • Jos merkitään äskeisen esimerkin toistojen lukumäärää \(n=5\), tutkittavan tapahtuman \(A\) todennäköisyyttä \(p=\frac{1}{6}\), ja \(A\):n tapahtumiskertojen lukumäärää \(k=2\), niin todennäköisyys voidaan kirjoittaa myös muotoon

\(P(\textrm{A tapahtuu n toistossa k kertaa})=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\)

Esim

Merry Sauchs -merisaukon donkkauksista onnistuu 92%. Sauchs saa Bay Area Squeakersia vastaan pelatun pelin aikana 23 donkkausmahdollisuutta. Millä todennäköisyydellä tasan 20 donkkausta menee sisään?

\(P(\textrm{A tapahtuu n toistossa k kertaa})=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\)

\(p=0,92\), \(n=23\), \(k=20\)

\(      P(\textrm{"23:sta donkkauksesta 20 sisään"})\\= \binom{23}{20}\cdot (0,92)^{20}\cdot (1-0,92)^{23-20}\\ \approx0,17\)