Φθίνουσες Ταλαντώσεις

Απώλεια Ενέργειας

Λόγω τριβών / αντιστάσεων:

  • Η ενέργεια της ταλάντωσης μετατρέπεται σταδιακά σε θερμότητα προς το περιβάλλον
  • Το πλάτος της ταλάντωσης ελαττώνεται
  • Επιπλέον της δύναμης επαναφοράς ασκείται μία δύναμη απόσβεσης

Εκθετικά Φθίνουσα ταλάντωση:

Η δύναμη απόσβεσης

  • είναι ανάλογη της ταχύτητας
  • Έχει αντίθετη φορά απο αυτήν 
{\color{Red} {F{\alpha \pi }=- b\cdot v}}
Fαπ=−b⋅v{\color{Red} {F{\alpha \pi }=- b\cdot v}}
\vec{F_{\alpha \pi }}
Fαπ⃗\vec{F_{\alpha \pi }}

Χαρακτηριστικές Θέσεις & Μεγέθη Ταλάντωσης

  • Θέση Ισορροπίας  (...εκεί όπου...)

 

  • Απομάκρυνση από την Θ.Ι. , Πλάτος ...

 

  • Περίοδος, συχνότητα, κυκλική συχνότητα ...

 

  • Φάση ταλάντωσης ...

 

  • Ταχύτητα, επιτάχυνση...
\sum \vec{F}=0
∑F⃗=0\sum \vec{F}=0
\vec x , A
x⃗,A\vec x , A
\ T, f, \omega
 T,f,ω\ T, f, \omega
\omega \cdot t + \varphi_o
ω⋅t+φo\omega \cdot t + \varphi_o
\vec \upsilon , \vec a
υ⃗,a⃗\vec \upsilon , \vec a

Συνθήκη για αμείωτη α.α.τ

Στην τυχαία θέση,

το αντικείμενο που ταλαντώνεται, δέχεται συνισταμένη δύναμη ανάλογη της απομάκρυνσης, με κατεύθυνση προς την Θ.Ι.

όπου D , η σταθερά επαναφοράς που εξαρτάται από το είδος του ταλαντωτή (π.χ. στο σύστημα ελατήριο μάζα, D = k)

\color{Blue}{\sum F=-D\cdot x}
∑F=−D⋅x\color{Blue}{\sum F=-D\cdot x}

Εξισώσεις

  • Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης 
\color{Green}{x=A\cdot \eta \mu (\omega t+\varphi _o)}
x=A⋅ημ(ωt+φo)\color{Green}{x=A\cdot \eta \mu (\omega t+\varphi _o)}
\color{Blue}{\upsilon =\color{Red}{\omega A}\cdot\sigma \upsilon \nu (\omega \cdot t+\varphi _o)}
υ=ωA⋅συν(ω⋅t+φo)\color{Blue}{\upsilon =\color{Red}{\omega A}\cdot\sigma \upsilon \nu (\omega \cdot t+\varphi _o)}
\alpha=-\omega^2\color{Green}{A\cdot \eta \mu (\omega t+\varphi _o)}
α=−ω2A⋅ημ(ωt+φo)\alpha=-\omega^2\color{Green}{A\cdot \eta \mu (\omega t+\varphi _o)}
\color{Red}{\omega \cdot \ A = \upsilon_{max}}
ω⋅ A=υmax\color{Red}{\omega \cdot \ A = \upsilon_{max}}
  • Η μέγιστη επιτάχυνση
\omega^2 \cdot \ A = \alpha_{max}
ω2⋅ A=αmax\omega^2 \cdot \ A = \alpha_{max}
\alpha=-\omega^2\cdot \color{Green}{\ x}
α=−ω2⋅ x\alpha=-\omega^2\cdot \color{Green}{\ x}

ή

Σχέσεις μεγεθών - Γραφικές παραστάσεις

  • Σταθερά επαναφοράς:
D = m\cdot \omega ^2
D=m⋅ω2D = m\cdot \omega ^2
  • Περίοδος ταλάντωσης:
T=2\cdot{\pi}\sqrt{m\over{D}}
T=2⋅πmDT=2\cdot{\pi}\sqrt{m\over{D}}

Διάγραμμα Φάσης - Χρόνου

Διάγραμμα Δύναμης Επαναφοράς  - Απομάκρυνσης

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Στο διπλανό σύστημα:

  1. Να δείξετε ότι αν το απομακρύνουμε από την Θέση Ισορροπίας, θα εκτελέσει α.α.τ. Πόση είναι η περίοδος του;
  2. Θεωρώντας ότι την χρονική στιγμή μηδέν βρίσκεται στην θέση x = +A/2, να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης συναρτήσει του χρόνου. (Θετική φορά προς τα πάνω)
  3. Να παραστήσετε γραφικά την συνισταμένη δύναμη που δέχεται το βαρίδι, σε συνάρτηση     i) με την απομάκρυνση x   ii) με τον χρόνο t   
  4. Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του ταλαντωτή τις χρονικές στιγμές t1 = 0, και t2 = T/4
  5. Πόσος είναι ο ελάχιστος χρόνος που χρειάζεται για να μετακινηθεί ο ταλαντωτής από την θέση x1=A/2 στην θέση x2=0

Διαγράμματα

  • Τα μεγέθη α,υ,x, διαφέρουν μεταξύ τους κατά π/2:
\alpha \rightarrow^{\pi /2}\upsilon \rightarrow^{\pi / 2}x
α→π/2υ→π/2x\alpha \rightarrow^{\pi /2}\upsilon \rightarrow^{\pi / 2}x
  • Η απομάκρυνση και η επιτάχυνση βρίσκονται σε αντίθεση φάσης
Επιπλέον...

ο τριγωνομετρικός κύκλος / στρεφόμενα διανύσματα

Αναπαράσταση της ταλάντωσης με ένα στρεφόμενο διάνυσμα μήκους Α, που στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω

Ενέργεια ταλάντωσης

  • Ισούται με την ενέργεια που προσφέρουμε αρχικά στο σύστημα για να αρχίσει να ταλαντώνεται

 

...Εμφανίζεται ως:

K=\frac{1}{2}\cdot{m}\cdot{\upsilon^2 }
K=12⋅m⋅υ2K=\frac{1}{2}\cdot{m}\cdot{\upsilon^2 }
  • Κινητική
  • Δυναμική ενέργεια ταλάντωσης
U=\frac{1}{2}\cdot{D}\cdot{x^2 }
U=12⋅D⋅x2U=\frac{1}{2}\cdot{D}\cdot{x^2 }
  • Το άθροισμα τους παραμένει σταθερό στην διάρκεια της αμείωτης ταλάντωσης.  
E=\color{Blue}{\frac{1}{2}\cdot{m}\cdot{\upsilon^2 }+\frac{1}{2}\cdot{D}\cdot{x^2 }} = \color{Red}{\frac{1}{2}\cdot{m}\cdot{{\upsilon_{max}}^2 }} = \color{Green}{\frac{1}{2}\cdot{D}\cdot{A^2 }}
E=12⋅m⋅υ2+12⋅D⋅x2=12⋅m⋅υmax2=12⋅D⋅A2E=\color{Blue}{\frac{1}{2}\cdot{m}\cdot{\upsilon^2 }+\frac{1}{2}\cdot{D}\cdot{x^2 }} = \color{Red}{\frac{1}{2}\cdot{m}\cdot{{\upsilon_{max}}^2 }} = \color{Green}{\frac{1}{2}\cdot{D}\cdot{A^2 }}

Διαγράμματα Ενέργειας Ταλαντωτή

  • Συναρτήσει απομάκρυνσης x
  • Συναρτήσει του χρόνου t
\color{Red}{K=E-\frac{1}{2}\cdot {D}\cdot{x^2}}
K=E−12⋅D⋅x2\color{Red}{K=E-\frac{1}{2}\cdot {D}\cdot{x^2}}
\color{green}{U=\frac{1}{2}\cdot {D}\cdot{x^2}}
U=12⋅D⋅x2\color{green}{U=\frac{1}{2}\cdot {D}\cdot{x^2}}
\color{Red}{K=E\cdot{\eta \mu ^2(\omega \cdot{t})}}
K=E⋅ημ2(ω⋅t)\color{Red}{K=E\cdot{\eta \mu ^2(\omega \cdot{t})}}
\color{Green}{U=E\cdot{\sigma \upsilon \nu ^2(\omega \cdot{t})}}
U=E⋅συν2(ω⋅t)\color{Green}{U=E\cdot{\sigma \upsilon \nu ^2(\omega \cdot{t})}}

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Ένας απλός αρμονικός ταλαντωτής έχει κινητική ενέργεια που περιγράφεται από την εξίσωση:

  1. Να δείξετε ότι αν το απομακρύνουμε από την Θέση Ισορροπίας, θα εκτελέσει α.α.τ. Πόση είναι η περίοδος του;
  2. Θεωρώντας ότι την χρονική στιγμή μηδέν βρίσκεται στην θέση x = +A/2, να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης συναρτήσει του χρόνου. (Θετική φορά προς τα πάνω)
  3. Να παραστήσετε γραφικά την συνισταμένη που δέχεται το βαρίδι, σε συνάρτηση  i) με την απομάκρυνση x ii) με τον χρόνο t   
  4. Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του ταλαντωτή τις χρονικές στιγμές t1 = 0, και t2 = T/4
  5. Πόσος είναι ο ελάχιστος χρόνος που χρειάζεται για να μετακινηθεί ο ταλαντωτής από την θέση x1=A/2 στην θέση x2=0