Υδροστατική Πίεση

Αρχή του Pascal

Γενικά - Παρατηρήσεις

  • Οι δυνάμεις που ασκούνται στις ελεύθερες επιφάνειες των υγρών, έχουν κατεύθυνση κάθετα σε αυτές

(Οριζόντια συνιστώσα δεν έχει νόημα αφού τα υγρά δεν μπορούν να αντισταθούν σε τέτοιες δυνάμεις

για αυτό και αλλάζουν σχήμα)

 

 

  • Η πίεση:                                                                                      
p = {dF \over dA}
p=dFdAp = {dF \over dA}
  • Μονάδες πίεσης:
1 Atm \approx 10^5 N/m^2
1Atm≈105N/m21 Atm \approx 10^5 N/m^2
  • Πυκνότητα:
\rho={m\over V}
ρ=mV\rho={m\over V}
Πίεση λόγω του βάρους του υγρού σε ισορροπία:
υδροστατική

Σε ένα σημείο K του υγρού με πυκνότητα ρ σε βάθος h από την επιφάνειά του, ασκείται πίεση λόγω του βάρους του υγρού από πάνω του:

p_k = \rho \cdot g \cdot h
pk=ρ⋅g⋅hp_k = \rho \cdot g \cdot h

Σε συνθήκες έλλειψης βαρύτητας (g = 0) η υδροστατική πίεση μηδενίζεται

Αρχή του Pascal

Η πίεση λόγω κάποιου εξωτερικού αιτίου μεταφέρεται αναλλοίωτη σε όλα τα σημεία ενός υγρού που ισορροπεί

... συνέπεια του ότι η πυκνότητα του υγρού δεν μεταβάλλεται, η αλλιώς,

τα υγρά είναι ασυμπίεστα

Θεμελιώδης νόμος μηχανικής για κάθε επιμέρους: 

F+F_{Atm}-F_1 = m_1\cdot\alpha
F+FAtm−F1=m1⋅αF+F_{Atm}-F_1 = m_1\cdot\alpha
F^{'}_1 - F^{'}_2 = M_L\cdot\alpha
F1′−F2′=ML⋅αF^{'}_1 - F^{'}_2 = M_L\cdot\alpha
F_2-F_{Atm} = m_2\cdot\alpha
F2−FAtm=m2⋅αF_2-F_{Atm} = m_2\cdot\alpha
F = (m_1+M_L+m_2)\cdot\alpha
F=(m1+ML+m2)⋅αF = (m_1+M_L+m_2)\cdot\alpha

...η δύναμη F επιταχύνει όλη την μάζα

Η πίεση μπροστά από το έμβολο 1:

{F_1 \over A}=p_{Atm}+{F\over A}\cdot{m_2+M_L \over{m_1+m_2+M_L} }\Rightarrow \color{green}{{p_1}=p_{Atm}+{p_F}\cdot{m_2+M_L \over{m_1+m_2+M_L} }}
F1A=pAtm+FA⋅m2+MLm1+m2+ML⇒p1=pAtm+pF⋅m2+MLm1+m2+ML{F_1 \over A}=p_{Atm}+{F\over A}\cdot{m_2+M_L \over{m_1+m_2+M_L} }\Rightarrow \color{green}{{p_1}=p_{Atm}+{p_F}\cdot{m_2+M_L \over{m_1+m_2+M_L} }}

Η πίεση μπροστά από το έμβολο 2:

{F_2 \over A}=p_{Atm}+{F\over A}\cdot{m_2\over{m_1+m_2+M_L} }\Rightarrow \color{green}{{p_2}=p_{Atm}+{p_F}\cdot {m_2\over{m_1+m_2+M_L} }}
F2A=pAtm+FA⋅m2m1+m2+ML⇒p2=pAtm+pF⋅m2m1+m2+ML{F_2 \over A}=p_{Atm}+{F\over A}\cdot{m_2\over{m_1+m_2+M_L} }\Rightarrow \color{green}{{p_2}=p_{Atm}+{p_F}\cdot {m_2\over{m_1+m_2+M_L} }}

...το υγρό επιταχύνεται και οι πιέσεις δεν είναι ίσες

Σε έναν κύλινδρο με υγρό μάζας ΜL και δύο έμβολα με μάζες m1 και m2, ασκώ δύναμη F και το σύστημα υγρό - έμβολα επιταχύνεται.

Σε έναν κύλινδρο με υγρό μάζας ΜL και δύο έμβολα με μάζες m1 και m2, ασκώ δύναμη F και το σύστημα υγρό - έμβολα επιταχύνεται.

Η πίεση μπροστά από το έμβολο 1:

Η πίεση μπροστά από το έμβολο 2:

Αν τα έμβολα έχουν αμελητέα μάζα...

{F_2 \over A}=p_{Atm}+{F\over A}\cdot{\color{red}{m_2}\over{\color {Red}{m_1+m_2}+M_L} }\Rightarrow \color{green}{{p_2}=p_{Atm}}
F2A=pAtm+FA⋅m2m1+m2+ML⇒p2=pAtm{F_2 \over A}=p_{Atm}+{F\over A}\cdot{\color{red}{m_2}\over{\color {Red}{m_1+m_2}+M_L} }\Rightarrow \color{green}{{p_2}=p_{Atm}}
{F_1 \over A}=p_{Atm}+{F\over A}\cdot{\color{red} {m_2}+M_L \over{\color{red}{m_1+m_2}+M_L} }\Rightarrow \color{green}{{p_1}=p_{Atm}+{p_F}}
F1A=pAtm+FA⋅m2+MLm1+m2+ML⇒p1=pAtm+pF{F_1 \over A}=p_{Atm}+{F\over A}\cdot{\color{red} {m_2}+M_L \over{\color{red}{m_1+m_2}+M_L} }\Rightarrow \color{green}{{p_1}=p_{Atm}+{p_F}}

Υγρό σε ισορροπία, σε κλειστό δοχείο

  • Η επιφάνεια του υγρού δεν μπορεί να μετακινηθεί.
  • Η πίεση που ασκούμε εξωτερικά (π.χ. με ένα έμβολο), μεταφέρεται αναλλοίωτη  σε όλη την έκταση του υγρού και στα τοιχώματα του δοχείου
  • Το υγρό διατηρεί τη ισορροπία του.
  • Για τα (τυχαία) σημεία Α και Β ισχύει:
p=p_{\upsilon\delta\rho}+p_{\epsilon\xi}
p=pυδρ+pϵξp=p_{\upsilon\delta\rho}+p_{\epsilon\xi}
p_A=\rho\cdot g \cdot h_A+p_{\epsilon\xi}
pA=ρ⋅g⋅hA+pϵξp_A=\rho\cdot g \cdot h_A+p_{\epsilon\xi}
p_B=\rho\cdot g \cdot h_B+p_{\epsilon\xi}
pB=ρ⋅g⋅hB+pϵξp_B=\rho\cdot g \cdot h_B+p_{\epsilon\xi}

Υγρό σε ισορροπία, σε ανοικτό δοχείο

  • Η επιφάνεια του υγρού μπορεί να μετακινηθεί.
  • Η πίεση        που ασκούμε εξωτερικά υποχρεώνει την στάθμη του υγρού να ανέβει, ώστε η υδροστατική να αυξηθεί και το έμβολο να ισορροπήσει.
  • Σε κάθε σημείο του υγρού μεταφέρονται πιέσεις όπως η ατμοσφαιρική, που ασκούνται στην ελεύθερη του (...οριζόντια) επιφάνεια.
p_A=\rho\cdot g \cdot h_A+p_{\alpha\tau\mu}
pA=ρ⋅g⋅hA+pατμp_A=\rho\cdot g \cdot h_A+p_{\alpha\tau\mu}
p_{\epsilon\xi}
pϵξp_{\epsilon\xi}