Opetus.tv PRO
Opetus.tv
MAB3: 1/4
Tasogeometria: Kulmat ja monikulmiot
Geometrian peruskäsitteitä
2.1
Tavoitteet
- Osaan nimetä kulman kolmen pisteen avulla.
- Osaan luokitella kulmia.
- Tunnistan yhdensuuntaiset ja kohtisuorat suorat ja osaan merkitä niitä.
- Osaan ratkaista kulmien suuruuksia vieruskulmien, ristikulmien ja samankohtaisten kulmien avulla.
- Osaan käyttää GeoGebraa piirto-ohjelmana ja löydän sieltä tarvittavat työkalut.
Kulma
kärki
Kulman nimeäminen
- piste oikealta kyljeltä
- kärkipiste
- piste vasemmalta kyljeltä
\sphericalangle BAC
Kulmien luokittelu
Suorien suuntia
- Jos piirretään kaksi suoraa, voivat ne joko leikata tai olla leikkaamatta.
- Jos suorat leikkaavat toisensa, suorat ovat erisuuntaisia.
- Jos leikkaavien suorien välinen kulma on 90 astetta, sanotaan, että suorat ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa.
- Jos suorat eivät leikkaa toisiaan missään pisteessä, suorat ovat yhdensuuntaiset.
s\perp t
l\parallel m
Tutkimustehtävä:
Tutki oheisen sovelman avulla suorien muodostamia kulmia.
- Mitä huomaat vieruskulmien suuruuksista?
- Mitä huomaat ristikulmien suuruuksista?
- Mitä huomaat samankohtaisten kulmien suuruuksista?
Suorien muodostamat kulmat
- Mitä ovat vieruskulmat?
- Mitä ovat ristikulmat?
- Mitä ovat samankohtaiset kulmat?
Suorien muodostamat kulmat
Vieruskulmat
\alpha+\beta=180^\circ
Ristikulmat
\alpha=\beta
Samankohtaiset kulmat
Kulmat ovat samankohtaiset, jos leikkaava suora on joko molempien kulmien oikea tai molempien kulmien vasen kylki.
Jos suorat l ja m ovat yhdensuuntaiset, niin suorille muodostuvat samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret.
Yhdensuuntaisten suorien samankohtaiset kulmat
Jos suorille l ja m muodostuvat samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret, niin suorat l ja m ovat yhdensuuntaiset.
Katso apuja esimerkistä 1.
| Luku 2.1 | |||
|---|---|---|---|
| Kulman nimeäminen | 2 | 3 | 4 |
| Suorien muodostamat kulmat | 5 | 7 | |
| Kuvien piirtäminen | 6 |
Geometrian peruskäsitteet:
Perusasiat hallussa!
Esimerkki 1
Videot!
Monikulmioita
2.2
Tavoitteet
- Osaan monikulmioihin liittyvät käsitteet.
- Osaan piirtää monikulmioita GeoGebralla.
- Osaan luokitella kolmiot ja nelikulmiot.
- Osaan kolmion kulmien summan.
- Osaan laskea monikulmion kulmien summan.
Monikulmio on tasokuvio, jota ympäröi suljettu, itseään leikkaamaton murtoviiva.
Monikulmio
Kertaa kolmioiden ja nelikulmioiden luokittelu luvun 2.2 vihreästä laatikosta!
Säännölliset monikulmiot
- kaikki kulmat ovat yhtä suuria
- kaikki sivut yhtä pitkiä
Kolmion kulmien summa
\alpha+\beta+\gamma=180^\circ
Piiri, p
- Piirillä tarkoitetaan kuvion ympärysmittaa.
- Piiri saadaan laskettua, kun lasketaan yhteen monikulmion sivujen pituudet.
p=3+4+5=14
\beta=180^\circ-(90^\circ+37^\circ)=53^\circ
Monikulmion kulmien summa
- Kaikki epäsäännölliset monikulmiot voidaan jakaa kolmioiksi piirtämällä samasta kärkipisteestä lävistäjiä kaikkiin mahdollisiin kärkiin.
\phantom{3} \cdot180^\circ=540^\circ
2 lävistäjää
3 kolmiota
3
Kolmion kulmien summa on 180°.
Pohdi, miten saat laskettua seitsemänkulmion summan!
| Luku 2.2 | |||
|---|---|---|---|
| Monikulmioiden tunnistaminen ja luokittelu | 1 | 2 | 3 |
| Monikulmioiden kulmien summa | 5 | 6 | 7 |
| Piirin laskeminen | 8 | 10 | |
| Monikulmion piirtäminen | 9 |
Monikulmioita:
Perusasiat hallussa!
Esimerkki 2
Esimerkki 1
Esimerkki 3
Suorakulmainen kolmio
2.3
Tavoitteet
- Tunnistan suorakulmaisesta vastaisen ja viereisen kateetin sekä hypotenuusan.
- Tiedän, mikä on Pythagoraan lause.
- Osaan selittää, miksi Pythagoraan lauseen graafiset todistukset perustelevat Pythagoraan lausetta.
- Tiedän, mikä on Pythagoraan lauseen käänteislause.
- Tiedän, milloin hyödynnetään siniä, kosinia ja tangenttia.
- Osaan laskea puuttuvan sivun pituuden, jos tunnetaan kaksi suorakulmaisen kolmion sivua.
- Osaan laskea sivun pituuden, jos tunnetaan suorakulmaisen kolmion terävä kulma ja yhden sivun pituus.
- Osaan laskea terävän kulman suuruuden, jos tunnetaan suorakulmaisen kolmion kahden sivun pituudet.
- Osaan osoittaa, että kolmio on suorakulmainen.
Suorakulmainen kolmio
- Suoran kulman kylkiä kutsutaan kateeteiksi
- Suoraa kulmaa vastapäätä olevaa sivua kutsutaan hypotenuusaksi
- Hypotenuusa on suorakulmaisen kolmion pisin sivu.
Tutki johdantotehtävän ja tutkimustehtävän 1 avulla, miten Pythagoraan lause voidaan graafisesti perustella!
Pythagoraan lause
a^2+b^2=c^2
Pythagoraan lauseen käänteislause
Jos kolmion sivujen pituuksille on voimassa yhtälö
a^2+b^2=c^2,
on kolmio suorakulmainen.
Esimerkki 1: Kateetin pituus
Esimerkki 2: Onko kolmio suorakulmainen?
Suorakulmaisen kolmion trigonometria
Tutkimustehtävä 2
Kulma
\alpha
vastainen kateetti
viereinen kateetti
a
b
Kulma
\beta
vastainen kateetti
viereinen kateetti
a
b
Sini, kosini ja tangentti
\sin\alpha=\frac{\text{vastainen kateetti}}{\text{hypotenuusa}}
=\frac{a}{c}
\cos\alpha=\frac{\text{viereinen kateetti}}{\text{hypotenuusa}}
=\frac{b}{c}
\tan\alpha=\frac{\text{vastainen kateetti}}{\text{viereinen kateetti}}
=\frac{a}{b}
Esimerkki 4: Sivun pituuden selvittäminen
Esimerkki 5: Kuman suuruuden selvittäminen
| Luku 2.3 | |||
|---|---|---|---|
| Kolmion osat | 1 | ||
| Sivun pituuden ratkaiseminen | 4 | 7 | |
| Suorakulmaisuuden osoittaminen | 2 | ||
| Kulman suuruuden ratkaiseminen | 3 | 8 |
Suorakulmainen kolmio:
Perusasiat hallussa!
Esimerkki 2
Esimerkki 1
Esimerkki 3
Monikulmioiden pinta-aloja
2.4
Tavoitteet
- Osaan tehdä yksikkömuunnoksia pituuden ja pinta-alan yksiköille.
- Osaan laskea kolmion pinta-alan.
- Osaan laskea suorakulmion pinta-alan.
- Osaan laskea suunnikkaan pinta-alan.
- Osaan laskea puolisuunnikkaan pinta-alan.
- Osaan laskea säännöllisen monikulmion pinta-alan.
- Osaan määrittää monikulmion pinta-alan GeoGebran avulla.
Suorakulmio
Tutkimustehtävä 1: Miten kolmion pinta-ala lasketaan?
Kolmio
A=\frac{a\cdot h}{2}
Huom! Korkeusjana on kohtisuorassa kantaa tai sen jatketta vastaan.
Tutkimustehtävä 2: Suunnikkaan ja puolisuunnikkaan pinta-alat
Suunnikas
Puolisuunnikas
Jos korkeusjanan pituus ei ole tiedossa, mutta yksi suunnikkaan kulma tunnetaan, voidaan korkeus ratkaista trigonometrian avulla.
| Luku 2.4 | |||
|---|---|---|---|
| Monikulmion pinta-alan laskeminen | 1 | 2 | |
| Monikulmion pinta-alan määrittäminen GeoGebralla | 5 | ||
| Kolmion pinta-ala | 3 | ||
| Nelikulmion pinta-ala | 4 | 7 |
Monikulmioiden pinta-aloja:
Perusasiat hallussa!
Esimerkit 1, 3, 4
Esimerkki 2
T3b: Tarvitset Pythagoraan lausetta.
T3c: Vihjekuva
Nyt olet opiskellut jakson 2. Tasogeometria: Kulmat ja monikulmiot kaikki sisällöt.
Voit
- joko syventää ymmärrystäsi tekemällä lukujen 2.1-2.4 syventäviä tai soveltavia tehtäviä (tavoitearvosanat 7-8 tai 9-10)
- tai testata osaamisesi luvun 2.5 tehtävillä.
Seuraava slide!
Viimeinen slide!
Syvennä ymmärrystä
Keskitason taitaja!
| Luku 2.1 | 9 | 10 | 11 | 13 |
| Luku 2.2 | 11 | 12 | ||
| Luku 2.3 | 9 | 10 | 12 | |
| Luku 2.4 | 10 | 12 | 15 |
Huippuosaaja!
| Luku 2.1 | 15 | |||
| Luku 2.2 | 15 | |||
| Luku 2.3 | 16 | 20 | ||
| Luku 2.4 | 18 |
Testaa osaamisesi I
Testaa luvun 2.5 tehtävillä, kuinka hyvin hallitset geometrian peruskäsitteisiin, monikulmioihin sekä niiden piireihin ja pinta-aloihin liittyvät tiedot ja taidot. Ideana on yrittää tehdä tehtävät ilman apuja, jolloin näet, kuinka hyvin olet oppinut opiskeltavat sisällöt.
Valitse tehtäväsarja oman tavoitetasosi mukaan.
- Jos tavoittelet opintojaksosta arvosanaa 5-6, tee tehtävän 1 alakohdat (Perusasiat hallussa!).
- Jos tavoittelet opintojaksosta arvosanaa 7-8, tee tehtävän 2 alakohdat (Keskitason taitaja!).
- Jos tavoittelet opintojaksosta arvosanaa 9-10, tee tehtävän 3 alakohdat (Huippuosaaja!).
- Voit myös silmäillä tehtäväsarjan läpi ja ottaa sen sarjan, joka näyttää sopivan tasoiselta.
Saatuasi tehtävän malliratkaisun voit pisteyttää vastauksesi malliratkaisusta löytyvän pisteytysehdotuksen avulla. Jokaisen tehtävän enimmäispistemäärä on 12 pistettä.
MAB3: 1/4
By Opetus.tv
