Greedy

&

二分搜

&

分治

演算法小社 [5] 、[6] 

by 鹽亞倫

索引(可以點)

我也不知道今天可以上多少於是決定和下週用同個簡報

題外話:

請學弟妹將你的 codeforces handle 私訊給講師,我們要把你們加入建北電資的 CF group 內

Greedy

貪婪

貪婪是什麼?

  • 姜姜一個女朋友還不夠,還要追別的女生
  • Brine 一科校隊了還想要再拿一科

Want more and better!

蛤?

不拿白不拿

直接給一個例子:

給你很多杯飲料,有的喝下去會精神百倍,增加你的能量值(蛤?),而有的喝下去會讓你想吐,倒扣能量值。

現在給你每次給你一杯飲料和他能帶給你的能量\(E_i\) \(( -10^5 < E_i < 10^5)\)

問你要不要喝

你要怎麼選擇才能讓能量最高?

你會想說:阿我就只喝會增加能量的就好了啊!

所以貪婪到底是什麼?

我每一次只選擇當前看起來比較好的那個做法

而我希望這個作法可以讓最後的結果最好

But~

使用前要想想,這個題目貪婪確定會是對的嗎?

以剛剛飲料為例,只選擇能量是正的

重要事項:想到貪婪作法之後,要記得證明他是對的

直接講定義大概聽不太懂,因此直接帶幾題貪婪的例題

想到 Greedy 做法之後很重要的步驟:

如何證明是對的?

通常會用兩個做法:

  1. 數學歸納法
  2. 反證法

(證明照著greedy做,不會有更好的解你找不到)

範例時間 1

TIOJ 1072 誰先晚餐

寫Greedy :

  1. 想到一個做法
  2. 驗證那個做法

所以有人有想到作法嗎?

先想想題目要求的那個時間怎麼算?

答案 \(= \displaystyle \max_{1\le i \le n} ( \)第 \(i\) 人上菜時間 \(+\, i\) 吃飯時間\()\)

先做吃飯快的?慢的?要做比較久的?做比較快的?

按照吃東西的時間排序,比較慢的先吃

為什麼這是對的?

假設兩個人a、b

做菜時間為\(C_a\)、\(C_b\)
吃飯時間為 \(E_a\)、\(E_b\),且 a 吃比較慢

這時候可以發現

a 先吃

b 先吃

b 耗時

a 耗時

\(C_a + C_b + E_a\)

\(C_b + E_b\)

\(C_b  + C_a + E_b\)

\(C_a + E_a\)

>
>
>

所以,較慢的人先吃的最後時間一定比較快先吃時間還要少

結論:用排序的!

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <climits>
#include <bitset>
#define All(x) begin(x),end(x)
#define ll long long int
#define debug(x) cerr<<#x<<" = "<<(x)<<endl
#define _ ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;

int main() {_
    int n;
    while (cin >> n && n) {  // 迴圈到n不為0
        vector<pair<int, int>> arr;
        for (int i=0; i<n; ++i) {
            int c,e;
            cin >> c >> e;
            arr.push_back(make_pair(e, c));
        }
        sort(arr.begin(), arr.end(), greater<pair<int, int>>());  // pair 的 greater 會先比較第一項大小再比較第二項
        
        ll curTime = 0; // 廚師煮飯到現在的時間
        ll maxTime = 0;
        for (int i=0; i<n; ++i) {
            curTime = curTime + arr[i].second; 
            maxTime = max(maxTime, curTime + arr[i].first); // curTime + arr[i].first是第i人離開的時間
        }
        cout << maxTime << endl;
    }
    return 0;
}

AC code

範例時間 2

TIOJ 1861 蘿莉切割問題

原題序很噁心請忽視
和諧版題序:

  • 給你一塊東西,你要把它切成 K 塊,每塊有指定的大小。
  • 而將一塊大小為 \(w_i \) 東西切分為兩塊的代價是\(w_i\)
  • 問要怎麼切,才可以讓代價最小?
  • 提示:
  • 正確的做法其實不是從切割下手

要怎麼做?

換個思考方式

改成把切塊的東西合併!

代價為兩個合併的東西大小相加

有想到要怎麼greedy嗎?(再給你們想30秒)

正確做法:

每次選兩個最小的合併!

How To 實作?

還記得上禮拜的priority_queue嗎

怎麼(不嚴謹)證明

假設這個合併順序是我們greedy的做法

a

b

a + b

a + b + c

c

也就是說 a , b < c

假設我們合併時不按照greedy的順序,舉例,我們把a和c互換

再去計算我們花費的代價,你會發現無論ac互換或是bc順序互換,greedy的做法都不會比較差

計算過程我就爛的寫了

然後,你可以說明一件事

任何一棵需要被你合併的樹

如果將較深的節點先以最佳解做完之後,都會變成剛剛的狀況

所以就可以用數學歸納法證明了

聽到這邊覺得聽不太懂很正常
因為greedy做法的證明有時候的確需要較複雜的數學。

可以嘗試看看用心感受是不是對的

因此在比賽當中常常更需要的是直覺,覺得可以用greedy寫,就試試看吧,吃WA了就再說

AC code:

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <queue>
#define ll long long
#define _ ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);
using namespace std;

signed main() {_
    ll n;
    while (cin>>n) {
        priority_queue<ll, vector<ll>, greater<ll> > pq;
        for (ll i=0; i<n; i++) {
            ll temp;
            cin>>temp;
            pq.push(temp);
        }
        ll sum=0;
        ll a,b;
        while (pq.size() > 1) {
            a = pq.top();
            pq.pop();
            b = pq.top();
            pq.pop();
            sum += a+b;
            pq.push(a+b);
        }
        cout << sum << endl;
        
    }    
    return 0;
}

記得開long long!!!

偷偷教一個爛招式,如果你寫完int結果想要改成long long,你可以

#define int long long

但是int main()要記得改成signed main()

練習時間

再來看看一題超級通靈的題目

NPSC 2021 pG 陣列刪除

(TIOJ 2271)

哈哈自己加油吧等等下課前再公佈答案

(我絕對不會跟你說下一頁就有詳解)

hint:

 

ANS:

答案為陣列最小的 n/2 個元素的和

sort過去就好

蛤這麼簡單????

proof:

  1. 總花費這樣一定是最小
  2. 但你怎麼肯定我一定有辦法用前 n/2 個最小的東西讓整個陣列消失?

如果 紅球代表陣列中值較小的元素 白球為較大的

可以發覺無論怎麼排,消失過哪些東西,一定有一個紅球和白球相臨!

因此一定可以用紅球把白球消失掉!

AC code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define AI(x) begin(x),end(x)
#define ll long long
#define endl '\n'
#define _ ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);

signed main() {_
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> arr(n);
    for (auto &i : arr) cin >> i;
    sort(AI(arr));
    ll ans = 0;
    for (int i = 0; i < n/2; ++i) {
        ans += arr[i];
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

反悔貪婪

聽起來好渣

先做再說,後果等等再處理

給你一個數列,可以從左至右取數字,問在

過程中數字和不小於零的情況下,最多可以

拿取幾個數字?

       4       -4        1       -3        1       -3

總和:

4

0

1

-2 (+4) = 2

3

0

A:5個

作法:

照順序看,一開始通通都選

等到發覺新的數字\(a_i\)加進總和會 \(<0\) 的時候,就放棄一個數字

放棄哪一個勒?

已選擇的數字中 & 新數字中最小的那一個

證明就留給各位摟

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
int main(){
    priority_queue<long long,vector<long long>,greater<long long>> pq;
    //pq維護代價最大的藥水
    int n;
    cin>>n;
    long long hp = 0;
    long long cnt = 0;
    while(n--){
        int k;
        cin>>k;
        hp+=k;
        cnt++;
        pq.push(k);
        while(hp<0){//生命少於0 開始反悔
            cnt--;
            hp-=pq.top();
            pq.pop();
        }
    }
    cout<<cnt<<endl;
}

實作,用pq!

更多題目:

提示:分狀況! 詳解點我

NEOJ 70 / 74 / 89

我有照難度排列你們就greedy的往下寫吧

我錢還夠的話會繼續給獎品

Enumeration

枚舉

電腦解決有什麼難,不就暴力窮舉就好嗎

你,真的知道怎麼窮舉嗎

什麼是窮舉

當一個問題,我很難直接找出答案

但是答案是有限個,而且我有辦法判斷一個答案是不是對的

那我就把所有可能的答案一一列出來看看對不對

aka會考選擇題的答題技巧

個栗子(x)雞蛋(o)

阿蘇很喜歡在雞蛋裡面挑骨頭

因此他常常會買一堆雞蛋回家,也因此他常常會發現有趣的蛋蛋,別人給他一個綽號叫做蛋王

有一天,阿蘇發現了一顆有趣的雞蛋,出其不意地硬。

這時候阿蘇不經開始思索

這顆蛋到底有多硬呢?

他整日廢寢忘食,不吃不合,半夜騎車到淡水找人emo

但還是想不出要怎麼檢查這顆蛋的硬度

終於... 他撐不下去了... 爬到屋頂上... 眺望遠方... 深吸一口氣......

把蛋一口氣丟了下去~

“ㄟ~這顆雞蛋沒有破誒”

這時候他靈光一閃

雞蛋的硬度可以用從幾樓丟才會破來代表

跑去一棟更高的大樓,開始丟雞蛋

於是,阿蘇就從較低樓層一路往上

看看雞蛋要從幾樓丟下去才不會破!

丟下去之後,阿蘇突然發覺

這就是一種窮舉方式

我沒辦法直接得知丟雞蛋的硬度

但是我可以透過嘗試所有的樓層

來檢查雞蛋會不會破

不過或許你會發現,要是這顆雞蛋超級硬,一直都不破

一層一層丟,你要丟很多次雞蛋

因此等等會想想其他更好的作法

還有什麼窮舉?

八皇后問題

遞迴那邊有講到的

還有很多很多講不完的東西

包含各種題目的subtask

有興趣的可以去研究資芽簡報

但我們今天重點不在這裡

LOTTO

窮舉排列樹

Binary Search

二分搜

先來玩個國(ㄐㄧㄢˋ)(ㄓㄨㄥ)生遊戲

我心中想一個 1 ~ 100 的數字給你們猜

但我只會跟你們說你們猜太大或太小

很多人應該都知道怎麼猜可以最快猜中吧

my num: 41

1

100

your guess: 

50

25

37

就這樣一直砍半檢查中點

這個技巧我們就叫做二分搜!

二分搜每一次會把東西砍成一半

因此時間複雜度為 \( \mathcal O(\log n)\)

是一個非常好用的搜尋方式

所以什麼樣的東西可以二分搜呢?

要有單調性!

蛤?供三小

這是一個01陣列

0000000000111111111111111111

假設我今天要找到第一個 0 和 1 的交界,要怎麼做?

以剛剛二分搜的想法,先檢查中間那一格是0還是1

如果中間是1,我們可以知道右邊的都不用看了(一定是1

如果中間是0,我們可以知道左邊的都不用看了(一定是0

101011111000111001010

但如果長這樣呢?

我中間切下去的是0,但我放棄左邊的話

第一的01交界處就找不到了!

所以,長得像是這樣的東西,我們稱之為有單調性,可以二分搜

0000000000111111111111111111

101011111000111001010

1111111111111111000000000000

而長這樣的東西,則沒有單調性,不可以二分搜

我們可以發現,如果我們把猜數字太大的結果視為1,太小視為0,那其實就是上面有單調性的陣列,而我心中的數字就是那個01的交點!

  • 也就是説,能夠二分搜時,總是會有一個函式 check(x) 只回傳 0 或 1
  • 而此函數具有單調性:存在一個分界,使得以上皆回傳 1,以下皆回傳 0
  • 我們的目標是尋找分界處

二分搜是不是聽起來很簡單~

來就來寫寫看吧~

這題是互動題喔!

好,這時候你心中一定滿頭問號

二分搜看起來是很簡單沒有錯,啊可是我不會寫誒

Although the basic idea of binary search is comparatively straightforward, the details can be surprisingly tricky.

— Donald Knuth

二分搜其實超級多人會寫錯!

以下提供兩種寫法

  1. 左閉右閉

注意,以下 \(l\) 代表二分搜的左界

\(r\) 代表二分搜的右界

int binery_search(int l, int r) {
    while (l < r) {      // 注意!
        int mid = (l + r) / 2;  // 求中點
        if (check(mid) == 1) {
            r = mid;     // 注意!
        } else {
            l = mid + 1; // 注意!
        }
    }
    return l;
}

l和r維護「可能是 1 的區間」,搜尋第一個1的位置

如果 mid 為1
讓 r 變成 mid

(mid +1已經不會為答案了)

如果 mid 為0
讓 \(l\) 變成 mid + 1

(mid 已經不會為答案了)

最後的結果:

\(l\) 會是第一個1!

2. 左閉右開

  • 維護「一個 0 + 可能是 1 的區間」
  • \(l\)的值會是0,\(r\)會是1
int binery_search(int l, int r) {
    while (r - l > 1) {  // 注意!
        int mid = (l + r) / 2;  // 求中點
        if (check(mid) == 1) {
            r = mid;     // 注意!
        } else {
            l = mid;     // 注意!
        }
    }
    return l;
}

如果 mid 為1
讓 r 變成 mid

(mid +1已經不會為答案了)

如果 mid 為0
讓 \(l\) 變成 mid

(我要維護至少一個0)

最後的結果:

\(l\) 會是最後一個0!

兩種做法各有支持者
選哪個都可以
重點是:

要知道自己在寫哪一個!

不要寫錯!

最好可以直接背起來

這題的 AC code 的拉 (點我) (我用左閉右閉)

#include <iostream>
#include "lib1044.h"
#define ll long long int
#define _ ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);
using namespace std;

int main() {_
    int n = Initialize();
    int l = 1; int r = n;
    int mid = (l+r)/2;
    while (l < r) {
        mid = (l+r)/2;
        if (Guess(mid)){
            r = mid;
        }else{
            l = mid + 1;
        }
    }
    Report(l);
    return 0;
}

對答案二分搜

你以為二分搜只有猜數字那麼簡單而已嗎?

回想看看剛剛的丟雞蛋

假設今天你有 10 次丟雞蛋的機會,有沒有辦法告訴我在 1 ~ 500 樓之中

從哪一層開始丟會破掉?

我們可以發現

樓層數量 vs 雞蛋會不會破

有單調性!!!

因此我們可以對樓層(答案)二分搜

再去檢查某一個樓層會不會破,來做為我們二分搜的標準!

還是聽不懂?

來看個題目:

ZJ h084  牆上海報 (APCS 2022 1月)

給你一面牆和很多張海報,牆由多塊不同高度木板拼起來

每張海報有寬度 w[i]

問最高可以貼多高?

注意事項:每張海報要一樣高,且按照順序貼

要怎麼做勒?

先來想窮舉

從最高的開始貼,看看什麼時候才可以貼成功?

請原諒我用excel做圖

海報: 1, 3, 2

X

X

X

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int SIZE = 2e5 + 5;
const int KSIZ = 5005;
const int INF = 1e9;

int n, k;
int h[SIZE], w[KSIZ];

bool check (int x) {
    int pos = 1, len = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (h[i] >= x) len++;
        else len = 0;
        if (len == w[pos]) {
            pos++;
            len = 0;
        }
        if (pos > k) return 1;
    }
    return 0;
}

int main() {
    cin >> n >> k;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> h[i];
    for (int i = 1; i <= k; i++) cin >> w[i];
    int maxheight = 0;
    for (int &i : h) maxheight = max(maxheight, i);
    
    for (int i = maxheight; i >= 0; i--) {  // 窮舉每個高度
        if (check(i)) {               // 檢查能不能貼海報
            cout << i << endl;
            break;
        }
    }
}

暴力窮舉的TLE code

h到1e9
O(n h)太慢了

再觀察?

我們可以發現幾件事情

  • 高度越高,越不可能達成
  • 假設有一個高度可以達成,比他矮的都可以!

對高度二分搜!!!

蛤?

直接來看看程式怎麼寫

高度能不能達成單調性

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int SIZE = 2e5 + 5;
const int KSIZ = 5005;
const int INF = 1e9+5;

int n, k;
int h[SIZE], w[KSIZ];

bool ok (int x) {
    int pos = 1, len = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (h[i] >= x) len++;
        else len = 0;
        if (len == w[pos]) {
            pos++;
            len = 0;
        }
        if (pos > k) return 1;
    }
    return 0;
}

int main() {
    cin >> n >> k;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> h[i];
    for (int i = 1; i <= k; i++) cin >> w[i];

    int l = 1, r = INF;
    while (l < r) {
        int mid = (l + r) / 2;
        if (!ok (mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    cout << l - 1 << '\n';
}

複雜度 O(n log h),AC

給 \(N\) 個電信公司需要服務的據點的座標 \(x_i\)
 並且最多可以架設 \(K\) 個基地台在任一座標位置

每個基地台服務的半徑範圍皆一樣

求半徑至少為多少可以覆蓋所有據點?

\(1 \le K<N \le 50000, \ 0 \le x_i \le 10^9\)

有點難?

換個問題

換一個問題

給 \(N\) 個電信公司需要服務的據點的座標 \(x_i\)
 並且最多可以架設 \(K\) 個基地台在任一座標位置

每個基地台服務的半徑範圍皆一樣

給定一個半徑,問你能不能覆蓋到全部的基地台

how

每次都把半徑的最左邊卡在目前最左邊的基地台,被半徑覆蓋住的就忽略它,做到沒有基地台為止

這就是check函數!

換一個問題ㄉcode

每次都把半徑的最左邊卡在目前最左邊的基地台,被半徑覆蓋住的就忽略它,做到沒有基地台為止

bool is_legal(int r){
  int cover = 0; // 最右側覆蓋位置
  int stand = 0; // 用了幾個基地台
  for(int i=0; i<n; i++){
    if(arr[i] > cover){
      cover = arr[i] + r;			
      stand++;
    }
  } 
  if(stand > k) return false; // 基地台數量不符合
  else return true;
}

然後勒?

給 \(N\) 個電信公司需要服務的據點的座標 \(x_i\)
 並且最多可以架設 \(K\) 個基地台在任一座標位置

每個基地台服務的半徑範圍皆一樣

求半徑至少為多少可以覆蓋所有據點?

\(1 \le K<N \le 50000, \ 0 \le x_i \le 10^9\)

如果目前的半徑可以覆蓋所有據點

那麼比這個半徑大的都可以覆蓋所有據點

半徑和能不能覆蓋成正比
所以我們就可以對半徑二分搜!

AC code

#pragma GCC optimize("Ofast")
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define pb push_back
#define endl '\n'
#define AI(x) begin(x),end(x)
#define _ ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
int arr[50005];
int n, k;

bool is_legal(int r){
  int cover = 0; // 最右側覆蓋位置
  int stand = 0; // 用了幾個基地台
  for(int i=0; i<n; i++){
    if(arr[i] > cover){
      cover = arr[i] + r;			
      stand++;
    }
  } 
  if(stand > k) return false; // 基地台數量不符合
  else return true;
}

signed main(){_
	cin >> n >> k;
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		cin >> arr[i];
	}
	sort(arr, arr+n);
	int l = 0, r = 1e9+5;
	while (l < r) {   // 左閉右閉 維護1區間
		int mid = l + (r - l) / 2;
		if (is_legal(mid)) {
			r = mid;
		} else {
			l = mid + 1;
		}
	}
	cout << l << endl;

	return 0;
}

練習題

問訓練幾天之後可以贏過對手

一樣觀察,什麼東西有單調性?

訓練越多天,越可能贏!

作法:

對訓練天數二分搜

check( x ) : 計算訓練x天可不可行

how? 直接算出每匹馬的強度,sort,賽跑!

more and more題目

STL的二分搜

upper_bound() / lower_bound()

#include <iostream>
#include <set>
using namespace std;

int main() {
    //set
    s.upper_bound(x);//O(log N)
    upper_bound(s.begin(),s.end(),x);//O(n)
    
    //vector or deque
    //記得先sort
    upper_bound(v.begin(),v.end(),x);//O(log n)
}


回傳sort 過的容器中 大於 / 大於等於 x 的第一個物品的iterator

注意:set的寫法要和vector不一樣

Divide and Conquer

分治

(DQ)

從一個問題開始

#偷

先不要想想8*8好了

從簡單的開始

如果2*2一樣缺一格

要怎麼做?

看起來簡單到不能再簡單

那4*4勒?

要怎麼做?

有沒有辦法說把它變成我們會做的2*2的樣子?

有!

先放一塊...

變成4個2*2了!

同理,8*8也可以先變成4*4,再變成2*2,再取得答案!

像這種每次把東西變一半

再把答案合起來的技巧

就叫做分治

注意:分治跟剛剛的二分搜沒有關係

分治的基本想法:

把大問題化為小問題,而小問題對我們根本不是問題

合併小問題的答案

得到原本的大問題答案!

如何實作?  遞迴!!!

不過今天應該來不及講實作技巧和題目w

寫分治要做的事情:

  1. 怎麼分
  2. 解決子問題

  3. 怎麼合

再來看看一個分治的經典

merge sort

1. 分成子問題

把序列切一半

2. 解決子問題

遞迴處理(先假設做得到)

3. 合併子問題

假設有兩個已排序好的序列,要怎麼有效率地將它們合併成一個?

1 3 5 8 9
1 2 2 7

1

1

2

2

3

5

7

8

9

聽懂了ㄇ?

從兩個子陣列中,選較小的放入新的陣列!

O(n)

2   1   4   4,7     8   3   6   4,7

     1,2      4,4,7      3,8    4,6,7    

               7   4                   4   7

          1,2,4,4,7          3,4,6,7,8

1,2,3,4,4,4,6,7,8   

這樣有 O(logn)層

每層都是O(n)

所以就能O(nlogn)排序了!!

差不多講到這樣

進階思考:

逆序數對

想想看要怎麼做吧

ANS

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8e7

資芽

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