Занятие №19:
Формула Погсона
Начнем с логарифма
Возведение в степень
2^2 = x
x = 4
2^x = 4
x = 2
2^x = 3.5
x = 1.8
Определение и свойства
Логарифм ( ) - показатель степни в которую нужно возвести основание а, чобы получить b.
\log_a(b) = x
\log_a(xy)
\log_a(x) + \log_a(y)
=
\log_a\left(\dfrac{x}{y}\right)
\log_a(x) - \log_a(y)
=
\log_a(x^p)
p\cdot\log_a(x)
=
Пример
2^x = 3.5
\log_a(2^x)
=
\log_a(3.5)
x\cdot\log_a(2)
=
\log_a(3.5)
x
=
\dfrac{\log_a(3.5)}{\log_a(2)}
a = 2
x
=
\dfrac{\log_2(3.5)}{\log_2(2)}
= 1
x
=
\log_2(3.5)
=
1.8
Можно по другому
2^x = 3.5
\log_{10}(2^x)
=
\log_{10}(3.5)
x
=
\dfrac{\log_{10}(3.5)}{\log_{10}(2)}
= 0.3
= 0.54
=
1.8
Формула Погсона и суммарный блеск
Выражение звездной величины
\dfrac{E_{m_1}}{E_{m_2}} = 2.512^{m_2 - m_1}
\log_{10}|
\log_{10}\left(\dfrac{E_{m_1}}{E_{m_2}}\right)
=
\log_{10}\left(2.512^{m_2 - m_1}\right)
\log_{10}\left(\dfrac{E_{m_1}}{E_{m_2}}\right)
=
(m_2 - m_1)\cdot\log_{10}\left(2.512\right)
\approx 0.4
|: 0.4
m_1 - m_2
=
\log_{10}\left(\dfrac{E_{m_1}}{E_{m_2}}\right)
- 2.5
\cdot
Суммарный блеск
m_2
m_1
m_{\text{общ}} = m_1 + m_2
E_{\text{общ}} = E_1 + E_2
Принцип суперпозиции освещенности
Известный астеризм
Общий случай
m_2
m_1
E_{\text{общ}} = E_1 + E_2 + E_3 + ...
m_3
...
Общий случай
m_{\text{общ}} - m_x
=
\log_{10}\left(\dfrac{E_{m_{\text{общ}}}}{E_{m_x}}\right)
- 2.5
\cdot
=
=
\log_{10}\left(\dfrac{E_{m_1} + E_{m_2} + E_{m_3} + ...}{E_{m_x}}\right)
- 2.5
\cdot
=
=
\log_{10}\left(\dfrac{E_{m_1}}{E_{m_x}} + \dfrac{E_{m_2}}{E_{m_x}} + \dfrac{E_{m_3}}{E_{m_x}} + ...\right)
- 2.5
\cdot
= 2.512^{m_x - m_1}
= 2.512^{m_x - m_2}
= 2.512^{m_x - m_3}
Общий случай
m_{\text{общ}}
\log_{10}\left(2.512^{m_x - m_1} + 2.512^{m_x - m_2} + ...\right)
- 2.5
\cdot
= 0
= 0
= 0
=
m_x
m_{\text{общ}}
\log_{10}\left(2.512^{ - m_1} + 2.512^{- m_2} + ...\right)
- 2.5
\cdot
=
Пример - задача
Определите суммарную звездную величину Меркурия, Венеры и Марса, в момент их максимального блеска.
Решение
Дано:
Найти:
m_{\text{общ}} - ?
Решение:
m \, \, \, \, = - 2.91^m
m \, \, \, \, = - 4.9^m;
m \, \, \, \, = - 2.45^m;
m_{\text{общ}}
\log_{10}\left(2.512^{ - m_1} + 2.512^{- m_2} + 2.512^{- m_3}\right)
- 2.5
\cdot
=
m_{\text{общ}}
\log_{10}\left(2.512^{2.45} + 2.512^{4.9} + 2.512^{2.91}\right)
- 2.5
\cdot
=
\approx
\approx
-5.16^m
Пример - задача
Определите суммарную звездную 100 одинаковых звезд, звездной величины m = 3
Решение
Дано:
Найти:
Решение:
m = 3;
N = 100
m_{\text{общ}} - ?
m_{\text{общ}}
\log_{10}\left(2.512^{-3} + 2.512^{-3} + ...\right)
- 2.5
\cdot
=
=
\log_{10}\left(100 \cdot 2.512^{-3} \right)
- 2.5
\cdot
=
\approx
-2^m