Занятие №19:
Формула Погсона
Начнем с логарифма
Возведение в степень
22=x
2^2 = x
x=4
x = 4
2x=4
2^x = 4
x=2
x = 2
2x=3.5
2^x = 3.5
x=1.8
x = 1.8
Определение и свойства
Логарифм ( ) - показатель степни в которую нужно возвести основание а, чобы получить b.
loga(b)=x
\log_a(b) = x
loga(xy)
\log_a(xy)
loga(x)+loga(y)
\log_a(x) + \log_a(y)
=
=
loga(yx)
\log_a\left(\dfrac{x}{y}\right)
loga(x)−loga(y)
\log_a(x) - \log_a(y)
=
=
loga(xp)
\log_a(x^p)
p⋅loga(x)
p\cdot\log_a(x)
=
=
Пример
2x=3.5
2^x = 3.5
loga(2x)
\log_a(2^x)
=
=
loga(3.5)
\log_a(3.5)
x⋅loga(2)
x\cdot\log_a(2)
=
=
loga(3.5)
\log_a(3.5)
x
x
=
=
loga(2)loga(3.5)
\dfrac{\log_a(3.5)}{\log_a(2)}
a=2
a = 2
x
x
=
=
log2(2)log2(3.5)
\dfrac{\log_2(3.5)}{\log_2(2)}
=1
= 1
x
x
=
=
log2(3.5)
\log_2(3.5)
=
=
1.8
1.8
Можно по другому
2x=3.5
2^x = 3.5
log10(2x)
\log_{10}(2^x)
=
=
log10(3.5)
\log_{10}(3.5)
x
x
=
=
log10(2)log10(3.5)
\dfrac{\log_{10}(3.5)}{\log_{10}(2)}
=0.3
= 0.3
=0.54
= 0.54
=
=
1.8
1.8
Формула Погсона и суммарный блеск
Выражение звездной величины
Em2Em1=2.512m2−m1
\dfrac{E_{m_1}}{E_{m_2}} = 2.512^{m_2 - m_1}
log10∣
\log_{10}|
log10(Em2Em1)
\log_{10}\left(\dfrac{E_{m_1}}{E_{m_2}}\right)
=
=
log10(2.512m2−m1)
\log_{10}\left(2.512^{m_2 - m_1}\right)
log10(Em2Em1)
\log_{10}\left(\dfrac{E_{m_1}}{E_{m_2}}\right)
=
=
(m2−m1)⋅log10(2.512)
(m_2 - m_1)\cdot\log_{10}\left(2.512\right)
≈0.4
\approx 0.4
∣:0.4
|: 0.4
m1−m2
m_1 - m_2
=
=
log10(Em2Em1)
\log_{10}\left(\dfrac{E_{m_1}}{E_{m_2}}\right)
−2.5
- 2.5
⋅
\cdot
Суммарный блеск
m2
m_2
m1
m_1
mобщ=m1+m2
m_{\text{общ}} = m_1 + m_2
Eобщ=E1+E2
E_{\text{общ}} = E_1 + E_2
Принцип суперпозиции освещенности
Известный астеризм
Общий случай
m2
m_2
m1
m_1
Eобщ=E1+E2+E3+...
E_{\text{общ}} = E_1 + E_2 + E_3 + ...
m3
m_3
...
...
Общий случай
mобщ−mx
m_{\text{общ}} - m_x
=
=
log10(EmxEmобщ)
\log_{10}\left(\dfrac{E_{m_{\text{общ}}}}{E_{m_x}}\right)
−2.5
- 2.5
⋅
\cdot
=
=
=
=
log10(EmxEm1+Em2+Em3+...)
\log_{10}\left(\dfrac{E_{m_1} + E_{m_2} + E_{m_3} + ...}{E_{m_x}}\right)
−2.5
- 2.5
⋅
\cdot
=
=
=
=
log10(EmxEm1+EmxEm2+EmxEm3+...)
\log_{10}\left(\dfrac{E_{m_1}}{E_{m_x}} + \dfrac{E_{m_2}}{E_{m_x}} + \dfrac{E_{m_3}}{E_{m_x}} + ...\right)
−2.5
- 2.5
⋅
\cdot
=2.512mx−m1
= 2.512^{m_x - m_1}
=2.512mx−m2
= 2.512^{m_x - m_2}
=2.512mx−m3
= 2.512^{m_x - m_3}
Общий случай
mобщ
m_{\text{общ}}
log10(2.512mx−m1+2.512mx−m2+...)
\log_{10}\left(2.512^{m_x - m_1} + 2.512^{m_x - m_2} + ...\right)
−2.5
- 2.5
⋅
\cdot
=0
= 0
=0
= 0
=0
= 0
=
=
mx
m_x
mобщ
m_{\text{общ}}
log10(2.512−m1+2.512−m2+...)
\log_{10}\left(2.512^{ - m_1} + 2.512^{- m_2} + ...\right)
−2.5
- 2.5
⋅
\cdot
=
=
Пример - задача
Определите суммарную звездную величину Меркурия, Венеры и Марса, в момент их максимального блеска.
Решение
Дано:
Найти:
mобщ−?
m_{\text{общ}} - ?
Решение:
m=−2.91m
m \, \, \, \, = - 2.91^m
m=−4.9m;
m \, \, \, \, = - 4.9^m;
m=−2.45m;
m \, \, \, \, = - 2.45^m;
mобщ
m_{\text{общ}}
log10(2.512−m1+2.512−m2+2.512−m3)
\log_{10}\left(2.512^{ - m_1} + 2.512^{- m_2} + 2.512^{- m_3}\right)
−2.5
- 2.5
⋅
\cdot
=
=
mобщ
m_{\text{общ}}
log10(2.5122.45+2.5124.9+2.5122.91)
\log_{10}\left(2.512^{2.45} + 2.512^{4.9} + 2.512^{2.91}\right)
−2.5
- 2.5
⋅
\cdot
=
=
≈
\approx
≈
\approx
−5.16m
-5.16^m
Пример - задача
Определите суммарную звездную 100 одинаковых звезд, звездной величины m = 3
Решение
Дано:
Найти:
Решение:
m=3;
m = 3;
N=100
N = 100
mобщ−?
m_{\text{общ}} - ?
mобщ
m_{\text{общ}}
log10(2.512−3+2.512−3+...)
\log_{10}\left(2.512^{-3} + 2.512^{-3} + ...\right)
−2.5
- 2.5
⋅
\cdot
=
=
=
=
log10(100⋅2.512−3)
\log_{10}\left(100 \cdot 2.512^{-3} \right)
−2.5
- 2.5
⋅
\cdot
=
=
≈
\approx
−2m
-2^m
Спасибо за понимание!
Занятие №19: Формула Погсона