ОГЭ

1. Танк едет со скоростью v = 60 км/ч. С какой скоростью движутся верхние траки гусениц танка?

120 км/ч

Разминка

2. Доска длиной L одним концом лежит на цилиндре. Другой конец удерживается человеком, который толкает ее вперед, вследствие чего цилиндр катится без проскальзывания (см. рисунок). Какой путь пройдет человек, дойдя до цилиндра?

S = 2L

3. Определите скорость тела u, считая скорость v известной (см. рисунок). Нити нерастяжимы, рычаги жесткие.

a) вверх v/2

Разминка

б) вниз 2v/3

в) вниз 7v/12

г) вверх 14v/3

Нестандартные методики

Векторное произведение

Опр.:

1) \, |\vec{c}| = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot \sin(\alpha)

1) \, |\vec{c}| = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot \sin(\alpha)

\alpha

\alpha

где

,

,

2) \, \vec{c} \perp \vec{a};

2) \, \vec{c} \perp \vec{a};

\vec{c} \perp \vec{b};

\vec{c} \perp \vec{b};

3)

3)

- угол между векторами и

\vec{a}

\vec{a}

\vec{b};

\vec{b};

Векторное произведение двух векторов и - это такой вектор , который удовлетворяет следующим требованиям:

\vec{a}

\vec{a}

\vec{b}

\vec{b}

\vec{c}

\vec{c}

Векторы и - образуют правую тройку.

\vec{a}

\vec{a}

\vec{b}

\vec{b}

\vec{c}

\vec{c}

,

,

\vec{c} = \vec{a}\times\vec{b} = [\vec{a}, \vec{b}]

\vec{c} = \vec{a}\times\vec{b} = [\vec{a}, \vec{b}]

Обз.:

Правая тройка векторов

Опр.:

\vec{a}

\vec{a}

\vec{c}

\vec{c}

\vec{b}

\vec{b}

\vec{a}

\vec{a}

\vec{c}

\vec{c}

\vec{b}

\vec{b}

\vec{a}

\vec{a}

\vec{c}

\vec{c}

\vec{b}

\vec{b}

\vec{a}

\vec{a}

\vec{c}

\vec{c}

\vec{b}

\vec{b}

\vec{c} = \vec{a}\times\vec{b}

\vec{c} = \vec{a}\times\vec{b}

\vec{c} = \vec{b}\times\vec{a}

\vec{c} = \vec{b}\times\vec{a}

\vec{b} = \vec{c}\times\vec{a}

\vec{b} = \vec{c}\times\vec{a}

\vec{b} = \vec{a}\times\vec{c}

\vec{b} = \vec{a}\times\vec{c}

Тройка векторов и - называется правой, если кратчайший

поворот от вектора до вектора виден из конца вектора против часовой стрелки.

\vec{a},

\vec{a},

\vec{b}

\vec{b}

\vec{c}

\vec{c}

\vec{a}

\vec{a}

\vec{b}

\vec{b}

\vec{c}

\vec{c}

Момент сил

Опр.:

\vec{M}

\vec{M}

=

=

\vec{r}

\vec{r}

\times

\times

\vec{F}

\vec{F}

Радиус вектор из точки отсчета до точки приложения силы

Момент силы F относительно точки отсчета

\vec{r}

\vec{r}

\vec{F}

\vec{F}

\vec{M}

\vec{M}

Точка отсчета

Точка приложения силы

Момент сил

|\vec{M}|

|\vec{M}|

=

=

|\vec{r}|

|\vec{r}|

\cdot

\cdot

|\vec{F}|

|\vec{F}|

Плечо сил

\cdot

\cdot

\sin(\alpha)

\sin(\alpha)

|\vec{r}|

|\vec{r}|

\cdot

\cdot

\sin(\alpha)

\sin(\alpha)

=

=

l

l

Кратчайшее расстояние до линии действия силы

=

=

M

M

=

=

F\cdot l

F\cdot l

Выбор знака определяется через векторное произведение

\vec{r}

\vec{r}

\vec{F}

\vec{F}

\alpha

\alpha

180^{\circ}-\alpha

180^{\circ}-\alpha

l

l

\sin(180^{\circ} - \alpha)

\sin(180^{\circ} - \alpha)

=

=

\sin(\alpha)

\sin(\alpha)

\cdot r

\cdot r

Плоская система сил

\vec{r}

\vec{r}

\vec{F}

\vec{F}

\vec{M}

\vec{M}

y

y

x

x

\odot

\odot

=

=

"+"

"+"

\vec{r}

\vec{r}

\vec{F}

\vec{F}

\vec{M}

\vec{M}

y

y

x

x

=

=

"-"

"-"

\otimes

\otimes

Если все силы действуют в одной плоскости, то моменты всех сил будут этой плоскости перпендикулярны.

Если сила вращает тело относительно точки отсчета против часовой стрелки, то момент силы направлен "к нам" и знак будет положительным ("+"). В противном случае знак будет отрицательным ("-").

Плоскопараллельное движение

Опр.:

Плоскопараллельное движение - вид движения абсолютно твёрдого тела, при котором траектории всех точек тела располагаются в плоскостях, параллельных заданной плоскости.

Мгновенный центр скоростей (МЦС)

Опр.:

Мгновенный центр скоростей — при плоскопараллельном движении абсолютно твёрдого тела точка, связанная с этим телом, которая обладает следующими свойствами:

а) её скорость в данный момент времени равна нулю;

б) относительно неё в данный момент времени вращается тело. Она существует в любой момент времени, но её положение меняется со временем.

Движение колеса без проскальзывания

\vec{v}_с

\vec{v}_с

\vec{v}_с

\vec{v}_с

\vec{v}_{T относит. C}

\vec{v}_{T относит. C}

Некоторая точка колеса

Точка колеса, скорость которой равна нулю

Мгновенный центр скоростей МЦС

T

T

\vec{v}_{рез}

\vec{v}_{рез}

=

Положение МЦС

Алгоритм:

Определяем направления скоростей любых двух различных точек тела, скорости которых НЕ параллельны;

Проводим перпендикуляры к прямым, параллельным линейным скоростям выбранных точек тела;

В точке пересечения этих перпендикуляров и будет находиться мгновенный центр скоростей.

\vec{v}_с

\vec{v}_с

\vec{v}_A

\vec{v}_A

A

A

\vec{v}_B

\vec{v}_B

B

B

B

B

A

A

\vec{v}_A

\vec{v}_A

\vec{v}_B

\vec{v}_B

B

B

A

A

\vec{v}_A

\vec{v}_A

\vec{v}_B

\vec{v}_B

\vec{v}_A = \vec{v}_{рез. A}

\vec{v}_A = \vec{v}_{рез. A}

\vec{v}_с

\vec{v}_с

\vec{v}_с

\vec{v}_с

Положение МЦС

Если векторы линейных скоростей двух различных точек тела параллельны друг другу, и отрезок, соединяющий эти точки, не перпендикулярен векторам этих скоростей, то перпендикуляры к этим векторам также параллельны. В этом случае говорят, что мгновенный центр скоростей находится в бесконечности, и тело движется мгновенно поступательно.

\vec{v}_с

\vec{v}_с

\vec{v}_A

\vec{v}_A

A

A

\vec{v}_B

\vec{v}_B

B

B

\vec{v}_A

\vec{v}_A

\vec{v}_B

\vec{v}_B

\vec{v}_с

\vec{v}_с

=

=

=

=

Положение МЦС

Если известны скорости двух точек, и эти скорости параллельны друг другу, и кроме того, указанные точки лежат на прямой, перпендикулярной скоростям, то положение мгновенного центра скоростей определяется так, как показано на рисунках

\vec{v}_A

\vec{v}_A

A

A

\vec{v}_B

\vec{v}_B

B

B

\vec{v}_A

\vec{v}_A

A

A

\vec{v}_B

\vec{v}_B

B

B

Удобство использования МЦС

В случае вращательного движения все точки твердого тела вращаются с одинаковыми угловыми скоростями. Определив мгновенный центр скоростей, можно определить линейную скорость любой точки тела.

B

B

A

A

\vec{v}_A

\vec{v}_A

\vec{v}_B

\vec{v}_B

\omega

\omega

\omega

\omega

R_A

R_A

R_B

R_B

v_A

v_A

=

=

R_A

R_A

\omega

\omega

v_B

v_B

=

=

R_B

R_B

\omega

\omega

Пример 1

\vec{v}_A

\vec{v}_A

\vec{v}_B

\vec{v}_B

МЦС

Пример 2

\vec{v}_с

\vec{v}_с

\vec{v}_B

\vec{v}_B

A

A

O

O

B

B

v_A

v_A

v_с

v_с

=

=

\omega

\omega

R

R

R

R

=

=

\omega

\omega

2R

2R

=

=

2v_с

2v_с

v_B

v_B

=

=

\omega

\omega

R\sqrt{2}

R\sqrt{2}

Пример 3

Катушку тянут за нить. Радиус катушки R₁ = 10 см, радиус барабана R₂ = 5 см, скорость относительно земли v = 15 м/с. Определите скорость центра катушки и точки А, относительно земли.

\vec{v}_с

\vec{v}_с

R_1

R_1

O

O

C

C

R_2

R_2

B

B

A

A

\vec{v}

\vec{v}

МЦС

v_B

v_B

=

=

v

v

=

=

\omega (R_1 + R_2)

\omega (R_1 + R_2)

\omega

\omega

=

=

\dfrac{v}{R_1 + R_2}

\dfrac{v}{R_1 + R_2}

v_C

v_C

=

=

\omega R_1

\omega R_1

v_A

v_A

=

=

\omega 2R_1

\omega 2R_1

Пример 4

Определите скорость груза Е, исходя из рисунка

\vec{v}

\vec{v}

A

A

B

B

C

C

D

D

E

E

A_1

A_1

A_2

A_2

МЦС

v_{A_2}

v_{A_2}

=

=

v

v

O_A

O_A

v_{O_A}

v_{O_A}

=

=

\dfrac{v_{A_2}}{2}

\dfrac{v_{A_2}}{2}

v_{B_2}

v_{B_2}

=

=

v_{O_A}

v_{O_A}

...

...

v_{E}

v_{E}

=

=

\dfrac{v}{16}

\dfrac{v}{16}

ЕГЭ

Кодификатор

1.3	Статика
1.3.1	Момент силы относительно оси вращения: где плечо силы относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно рисунку
1.3.2	Условия равноевися тела в ИСО:

M = Fl,

M = Fl,

l -

l -

\vec{F}

\vec{F}

\begin{cases} M_1 + M_2 + ... = 0 \\ \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + ... = 0 \end{cases}

\begin{cases} M_1 + M_2 + ... = 0 \\ \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + ... = 0 \end{cases}

Задача 1

Однородный стержень AB массой m = 100 г покоится, упираясь в стык дна и стенки банки концом B и опираясь на край банки в точке C (см. рисунок). Модуль силы, с которой стержень давит на стенку сосуда в точке C, равен 0.5 Н. Чему равен модуль вертикальной составляющей силы, с которой стержень давит на сосуд в точке B, если модуль горизонтальной составляющей этой силы равен 0.3 Н? Трением пренебречь. Ответ укажите в ньютонах с точностью до одного знака после запятой.

Задача 2

На гладкой горизнтальной плоскости лежит два груза массами m₁ = 0.5 кг и m₂ = 2 кг, соединенные невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через два неподвижных (А и В) и один подвижный (О) невесомые блоки, как показано на рисунке. Оси блоков горизонтальны, трения в осях блоков нет. К оси О подвижного блока приложена направленная вертикально вниз сила F = 4 Н. Найдите ускорение этой оси. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на грузы и блок.

Задача 3

К двум вертикально расположенным пружинам одинаковой длины подвесили однородный стержень длиной L = 30 см. Если к этому стержню подвесить груз массой m = 3 кг на расстоянии d = 5 см от правой пружины, то стержень будет расположен горизонтально, и растяжения обеих пружин будут одинаковы (см. рисунок). Жесткость левой пружины в 2 раза меньше, чем правой. Чему равна масса стержня M? Сделайте рисунок с указанием используемых в решении сил.

Задача 4

В системе, изображённой на рисунке, масса груза, лежащего на шероховатой горизонтальной плоскости, равна m = 2 кг. При подвешивании к оси подвижного блока груза массой M = 2,5 кг он движется вниз с ускорением a = 2 м/с². Чему равен коэффициент трения μ между грузом массой m и плоскостью? Нити невесомы и нерастяжимы, блоки невесомы, трение в осях блоков и о воздух отсутствует.

Задача 5

Очень лёгкая рейка уравновешена в горизонтальном положении. Правым концом она прикреплена к шарниру O. К левому концу рейки прикреплена невесомая нерастяжимая нить, которая натягивается с помощью невесомого подвижного блока, к оси которого подвешен груз массой 20 г. К средней части рейки прикреплён воздушный шарик, наполненный лёгким газом. Определите объём этого шарика, пренебрегая массой его оболочки и массой газа, находящегося в шарике. Плотность атмосферного воздуха 1,2 кг/м³. Ответ приведите в литрах.

Задача 6

В системе, изображённой на рисунке, грузик массой m = 1 кг подвешен на нити, охватывающей три блока, второй конец которой привязан к оси самого правого блока (см. рис.). К этой же оси привязана другая нить, соединяющаяся с грузом массой M = 11 кг, лежащим на шероховатой горизонтальной плоскости (коэффициент трения груза о плоскость равен μ = 0,25). Найдите ускорение a₁ грузика m. Считайте, что нити невесомы и нерастяжимы, свободные участки нитей вертикальны или горизонтальны, блоки невесомы, а трение в их осях отсутствует.

Задача 7

Невесомый стержень длиной 3 м расположен в стакане по углом 45^о (см. рисунок). На расстоянии 1м от угла подвешен шарик массой 3 кг. Найдите силу, с которой стержень давит на стенку стакана.

Задача 8

Найдите модуль ускорения A груза массой М в системе, изображённой на рисунке. Трения нет, блоки невесомы, нити лёгкие и нерастяжимые, их участки, не лежащие на блоках, вертикальны, масса второго груза m, ускорение свободного падения равно g.

Задача 9

В системе, изображённой на рисунке, трения нет, блоки невесомы, нить невесома и нерастяжима, m₁ = 2 кг, m₂ = 4 кг, m₃ = 1 кг. Найдите модуль и направление ускорения a₃ груза массой m₃.

Задача 10

На горизонтальном шероховатом столе лежит брусок массой m₁ = 2 кг, соединённый через систему идеальных блоков невесомой и нерастяжимой нитью с грузом массой m₂ = 3 кг, висящим на высоте h = 2 м над столом (см. рисунок). Груз начинает движение без начальной скорости и абсолютно неупруго ударяется о стол. Какое количество теплоты Q выделяется при этом ударе? Коэффициент трения бруска о стол равен μ = 0,25.

МЕХАНИКА

ОГЭ

Разминка

Разминка

Нестандартные методики

Векторное произведение

Правая тройка векторов

Момент сил

Момент сил

Плоская система сил

Плоскопараллельное движение

Мгновенный центр скоростей (МЦС)

=

Положение МЦС

Положение МЦС

Положение МЦС

Удобство использования МЦС

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

ЕГЭ

Кодификатор

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Задача 7

Задача 8

Задача 9

Задача 10

Спасибо за понимание!