Уравнение Мещерского

Неподвижная система отсчета (С.О.)

Масса тела, изменяющаяся со временем

M = M(t)

M = M(t)

Масса частиц присоединяющихся к телу, двигающихся со скоростью v₁, относительно неподвижной С. О.

\Delta m_1

\Delta m_1

Скорость тела относительно неподвижной С.О., изменяющаяся со временем

v = v(t)

v = v(t)

\Delta m_2

\Delta m_2

Масса частиц отделяющихся от тела, приобретая скорость v₂ относительно неподвижной С.О.

Закон сохранения импульса

\vec{p} = const

\vec{p} = const

\vec{p}_{\text{тела}}

\vec{p}_{\text{тела}}

=

=

\vec{p}_1

\vec{p}_1

\vec{p}_2

\vec{p}_2

-

-

\vec{p}_{\text{тела}}

\vec{p}_{\text{тела}}

\vec{p}_1

\vec{p}_1

\vec{p}_2

\vec{p}_2

=

=

=

=

=

=

M_{\text{тела}} \cdot \Delta\vec{v}_{\text{тела}}

M_{\text{тела}} \cdot \Delta\vec{v}_{\text{тела}}

+

+

\Delta M_{\text{тела}} \cdot \vec{v}_{\text{тела}}

\Delta M_{\text{тела}} \cdot \vec{v}_{\text{тела}}

\Delta M_{\text{тела}}

\Delta M_{\text{тела}}

=

=

\Delta m_1

\Delta m_1

-

-

\Delta m_2

\Delta m_2

\Delta m_1 \cdot \vec{v}_1

\Delta m_1 \cdot \vec{v}_1

\Delta m_2 \cdot \vec{v_2}

\Delta m_2 \cdot \vec{v_2}

Подставим все куда нужно

M_{\text{тела}} \cdot \Delta\vec{v}_{\text{тела}}

M_{\text{тела}} \cdot \Delta\vec{v}_{\text{тела}}

+

+

\cdot \vec{v}_{\text{тела}}

\cdot \vec{v}_{\text{тела}}

=

=

(\Delta m_1 - \Delta m_2)

(\Delta m_1 - \Delta m_2)

\Delta m_1 \cdot \vec{v}_1

\Delta m_1 \cdot \vec{v}_1

\Delta m_2 \cdot \vec{v}_2

\Delta m_2 \cdot \vec{v}_2

=

=

-

-

M_{\text{тела}} \cdot \Delta\vec{v}_{\text{тела}}

M_{\text{тела}} \cdot \Delta\vec{v}_{\text{тела}}

=

=

\Delta m_1 \cdot (\vec{v}_1 - \vec{v}_{\text{тела}})

\Delta m_1 \cdot (\vec{v}_1 - \vec{v}_{\text{тела}})

\Delta m_2 \cdot (\vec{v}_2 - \vec{v}_{\text{тела}})

\Delta m_2 \cdot (\vec{v}_2 - \vec{v}_{\text{тела}})

-

-

-

-

|:\Delta t

|:\Delta t

\frac{M_{\text{тела}}}{\Delta t} \cdot \Delta\vec{v}_{\text{тела}}

\frac{M_{\text{тела}}}{\Delta t} \cdot \Delta\vec{v}_{\text{тела}}

=

=

\frac{\Delta m_1}{\Delta t} \cdot \vec{u}_1

\frac{\Delta m_1}{\Delta t} \cdot \vec{u}_1

\frac{\Delta m_2}{\Delta t} \cdot \vec{u}_2

\frac{\Delta m_2}{\Delta t} \cdot \vec{u}_2

-

-

Реактивная сила тяги

\vec{F}_p

\vec{F}_p

Скорость присоединяющихся частиц относительно тела

Скорость отсоединяющихся частиц относительно тела

Расход топлива

В большинстве задач обнуляется

F_{P}

F_{P}

=

=

-

-

v \cdot \frac{\Delta m}{\Delta t}

v \cdot \frac{\Delta m}{\Delta t}

Реактивня тяга / сила

Скорость истечения газов

Расход топлива в единицу времни

В упращенном виде

\vec{v} = \vec{u}_2

\vec{v} = \vec{u}_2

\Delta m = \Delta m_2

\Delta m = \Delta m_2

Уравнение Циалковского. Реактивногое движение

v

v

=

=

-

-

v_e \cdot \ln \left(1 + \frac{M_2}{M_1} \right)

v_e \cdot \ln \left(1 + \frac{M_2}{M_1} \right)

Конечная скорость ракеты

Скорость вырывающихся элементов относительно ракеты

Масса топлива

Масса ракеты без без топлива

Пример - задача

Какую реактивную тягу необходимо приложить к телу, чтобы оно побороло гравитационное притяжение Земли? Какой расход топлива может быть при этом?

Дано:

m = 60 \, \text{кг};

m = 60 \, \text{кг};

g = 9,8 \, \text{м/с}^2

g = 9,8 \, \text{м/с}^2

\approx

\approx

10 \, \text{м/с}^2

10 \, \text{м/с}^2

Найти:

Решение:

F_P - ?

F_P - ?

m\vec{g}

m\vec{g}

\vec{F_P}

\vec{F_P}

\vec{F_P}

\vec{F_P}

\geqslant

\geqslant

m\vec{g}

m\vec{g}

|\vec{F_P}|

|\vec{F_P}|

\geqslant

\geqslant

600 \text{Н}

600 \text{Н}

\frac{\Delta m}{\Delta t}

\frac{\Delta m}{\Delta t}

=

=

\approx

\approx

=

=

\frac{F_P}{v_{\text{допустим пули}}}

\frac{F_P}{v_{\text{допустим пули}}}

\frac{600 \, \text{Н}}{3000 \, \text{м/с}}

\frac{600 \, \text{Н}}{3000 \, \text{м/с}}

\approx

\approx

0,5 \, \text{кг/с}

0,5 \, \text{кг/с}

Пример - задача 2

Оценить массу топлива, необходимую для запуска небольшого "наноспутника" массой 50 кг на низкую орбиту с помощью одноступенчатой ракеты. Скорость истечения газов из сопла ракеты составляет 3000 м/с .

Дано:

m = 50 \, \text{кг};

m = 50 \, \text{кг};

Найти:

Решение:

M_2 - ?

M_2 - ?

v_{1k\oplus} = v_e \cdot \ln \left(1 + \frac{M_2}{M_1}\right)

v_{1k\oplus} = v_e \cdot \ln \left(1 + \frac{M_2}{M_1}\right)

v_e = 3000 \, \text{м/с};

v_e = 3000 \, \text{м/с};

\frac{v_{1k\oplus}}{v_e} = \ln \left(1 + \frac{M_2}{M_1}\right)

\frac{v_{1k\oplus}}{v_e} = \ln \left(1 + \frac{M_2}{M_1}\right)

e^{\frac{v_{1k\oplus}}{v_e}} = 1 + \frac{M_2}{M_1}

e^{\frac{v_{1k\oplus}}{v_e}} = 1 + \frac{M_2}{M_1}

M_2 = M_1 \cdot \left(e^{\frac{v_{1k\oplus}}{v_e}} - 1 \right)

M_2 = M_1 \cdot \left(e^{\frac{v_{1k\oplus}}{v_e}} - 1 \right)

M_2 = 50 \cdot \left(e^{\frac{78}{30}} - 1 \right)

M_2 = 50 \cdot \left(e^{\frac{78}{30}} - 1 \right)

v_{1k\oplus} = 7800 \, \text{м/с};

v_{1k\oplus} = 7800 \, \text{м/с};

\approx

\approx

\approx

\approx

700 \, \text{кг}

700 \, \text{кг}

Занятие №13:

Уравнение Мещерского

Закон сохранения импульса

Подставим все куда нужно

В упращенном виде

Уравнение Циалковского. Реактивногое движение

Пример - задача

Пример - задача 2

Спасибо за понимание!