Algorytmy kwantowe

Czyli skąd ten dreszczyk emocji...

Adam Glos

Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Polskiej Akademii Nauk, Gliwice

QWorld

Po co te kwantowe komputery?

  • Problemy które próbujemy rozwiązać stają się coraz "większe"
  • Możemy próbować rozwiązać je na kilka sposobów
    • tworzyć lepsze algorytmy
    • tworzyć mocniejsze procesory/karty graficzne
    • łączyć jednostki obliczeniowe (obliczenia wielowątkowe)

Wszystkie metody mają swoje limity!

Jak zmierzyć jakość algorytmu?

Załóżmy, że mamy dane rozmiaru n. Ile więcej czasu będziemy potrzebować jeśli będziemy mieli dwukrotnie większe dane (2n)?

T_1(n) = n: \quad \frac{T_1(2n)}{T_1(n)} = \frac{2n}{n} = 2
T_2(n) = n^2: \quad\frac{T_2(2n)}{T_2(n)} = \frac{(2n)^2}{n^2} = 4
T_3(n) = \sqrt n: \quad\frac{T_3(2n)}{T_3(n)} = \frac{\sqrt{2n}}{\sqrt{n}} = \sqrt 2

 <- dziwna sytuacja!

T_4(n) = 2^n: \quad\frac{T_4(2n)}{T_4(n)} = \frac{2^{2n}}{2^n} = \frac{(2^{n})^2}{2^n} = 2^n

bardzo źle! ->

Jak zmierzyć jakość algorytmu?

Czy T(n) jest istotnie wolniejsze niż S(n)?

 

T(n) = 2n\qquad S(n) = n

Będziemy pisać, że T(n)=O(n)

Uwaga #1: 0.0001n = O(n) oraz 1000n=O(n)

Uwaga: n+n^2=O(n^2)

Deutsch-Jozsa

010...11

Czarna skrzynka

0

  • Skrzynka przyjmuje ciągi 0-1 ustalonej długości n i zwraca bit 0 lub 1
  • Skrzynka którą dostajemy albo:
    • stała
    • zbalansowana

Czarna skrzynka

Czarna skrzynka

Deutsch-Jozsa

010...11

Czarna skrzynka

0

Klasycznie

  • Możemy jedynie wrzucać różne ciągi długości n (własność czarnej skrzynki!)
    • Jeśli znajdziemy dwa różne ciągi, które zwrócą odpowiednio 0 oraz 1, to skrzynka jest zbalansowana
    • jeśli dla 2^{n-1}+1 otrzymamy tę samą wartość - stała

 

W najgorszym przypadku:

2^{n-1}+1=O(2^n)

zapytań!

Kwantowa czarna skrzynka

00

Czarna skrzynka

0

01

Czarna skrzynka

1

10

Czarna skrzynka

0

11

Czarna skrzynka

1

Kwantowa czarna skrzynka

|00\rangle
|01\rangle
|10\rangle
|00\rangle
|11\rangle
|0\rangle
|1\rangle
|0\rangle
|1\rangle

Powiniśmy mieć tylko samo kubitów na wejściu i wyjściu!

Kwantowa czarna skrzynka

|00\, 0\rangle

Pierwsze dwa qubity bez zmian.

Na ostatnim qubicie:

  • jeśli wynik miał być 1 - zrób negację
  • w przeciwnym wypadku nie rób nic
|00\, 0\rangle
|00\, 1\rangle
|00\, 0\rangle
|01\, 0\rangle
|01\, 1\rangle
|01\, 1\rangle
|01\, 0\rangle
|10\, 0\rangle
|10\, 0\rangle
|10\, 1\rangle
|10\, 1\rangle
|11\, 0\rangle
|11\, 1\rangle
|11\, 1\rangle
|11\, 0\rangle
|01\, 1\rangle +|00\, 0\rangle
|01\, 0\rangle +|00\, 0\rangle

Mamy kwantową bramkę - działa na superpozycji!

Algorytm Deutsch-Jozsa

  • Jeśli na pierwszych n kubitach zmierzymy 00...0, to funkcja jest stała (zawsze 0 lub 1)
  • jeśli nie zmierzymy 00...0, to funkcja jest zbalansowana

Dowód na wiki

Wystarczy zapytać raz!

Czyli koniec, wygraliśmy?

Wyrocznia

1.

2.

3.

\vdots
\vdots

(k-1).

k.

(k+1).

(n-2).

(n-1).

n.

  • Wyrocznia wie który element jest wyróżniony
  • wyrocznia odpowiada "tak"/"nie"

Klasyczna wyrocznia

Jak działa klasyczny świat:

  • Ustalamy jakąś kolejność elementów i pytamy po kolei

  • Średnio potrzebujemy≈ n/2=O(n)zapytań!

Klasyczna wyrocznia

Musimy powtórzyć fragment

\frac{\pi}{4}\sqrt N

razy!

Czy sqrt(N) to dużo?

n kwantowo pi sqrt(N)/4 klasycznie n/2
10 2.5 sekundy 5 sekund
1000 25 sekund 8.4 minuty
100 000 4.1 minuty 14 godzin
1000 000 13 minut 5.8 dnia
1000 000 000 niecałe 7 godzin 1.5 roku

... ale trudne problemy pozostają trudne!

Tak, różnica jest ogromna...

P vs NP

Czy istnieje kwantowy algorytm, który jest istotnie szybszy od (przynajmniej) znanych nam algorytmów?

Faktoryzacja liczb!

a, b - duże liczby (tysiące cyfr)

  • obliczenie a*b jest banalnie proste
  • Jeśli mamy n = a*b, to znalezienie a i b może być bardzo trudne!

Algorytm Shora rozwiązuje to w czasnie O(d^3), gdzie d jest liczbą cyfr!

Czy to koniec?

Nie, faktoryzacja nie jest NP-trudna (chyba)

Nie, komputery kwantowe są zbyt małe - mamy kilkadziesiąt kubitów , potrzebujemy miliony

Czy to wszystkie algorytmy?

Shor

Deutsch-Jozsa

Grover

Variational Quantum Eigensolver

Quantum Machine Learning

Simon

Quantum annealing

Quantum Approximate Optimization Algorithm

hybrid quantum-dynamic algorithms

On Quantum Algorithm zoo there is over 60 algorithms!

Ultimate goal: help us creating a new one!

https://quantumalgorithmzoo.org/

Made with Slides.com