Aplicação de Teoria dos Grafos

Alexsandro Oliveira Alexandrino

sandrooliveira1501@gmail.com

 

Tópicos

  • Problema das sete pontes de Königsberg
  • Teoria dos Grafos
  • Aplicação de Grafos
  • Referências

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Sete pontes de Königsberg

Esquema de Pontes

  • Problema baseado na cidade de Königsberg (capital do leste da Prússia até 1945) 
  • A cidade era cortada pelo rio Prególia que separava a cidade em duas grandes áreas
  • Existiam 7 pontos conectando as áreas até a ilha

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Sete pontes de Königsberg

Esquema de Pontes

Os habitantes da cidade poderiam atravessar todas as pontes, passando por todos as porções de terra, sem repetir nenhuma ponte?

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Sete pontes de Königsberg

Grafo modelando as pontes

  • Leonhard Euler, em 1736, resolvou o problema
  • Ele transformou as pontes em arestas e as porções de terra em vértices
  • A sua solução partir da observação que cada vértice deveria ter um número par de arestas, com exceção do ponto inicial e final.

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Teoria dos Grafos

Grafo modelando as pontes

  • Como todos os vértices tem número de arestas ímpar, o problema era impossível de ser feito
  • Provavelmente o primeiro grafo da história
  • Euler criou a área Teoria dos Grafos após a solução deste problema

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Teoria dos Grafos

  • Um grafo é uma estrutura matemática abstrata
  • Um grafo é definido como : 
    • G = (V,E)
    • V = Conjunto de Vértices
    • E = Conjunto de Arestas

Exemplo de Grafo

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Teoria dos Grafos

Grafo não direcionado

Grafo direcionado

Grafo com peso

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Aplicação de Teoria dos Grafos

Editores da wikipédia que contribuíram com revisões de artigos em outras linguagens

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Aplicação de Teoria dos Grafos

  • Cubo Mágico modelado com grafos
  • God's number = 20 (Número máximo de movimentos para resolver o cubo de maneira ótima )

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Aplicação de Teoria dos Grafos

  • Sudoku modelado em grafos

 

  • Cada célula representa um vértice e existe uma aresta entre dois vértices se eles estão em uma mesma linha, mesma coluna ou no mesmo bloco.

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Aplicação de Teoria dos Grafos

Rede Social modelada em Grafos

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Aplicação de Teoria dos Grafos

Final da copa do mundo de 2010 :

Espanha x Holanda

Qual time tocou mais a bola?

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Referências

  • Cormen, Thomas H. Introduction to algorithms. MIT press, 2009
  • Graph Thory, https://en.wikipedia.org/wiki/Graph_theory
  • Graph Tea, http://www.graphtheorysoftware.com/
  • Gary Chartrand and Ping Zhang. Chromatic Graph Theory.

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