Schaak, wiskunde en spelletjes

Alexis Langlois-Rémillard

Hausdorff Center for Mathematics, Bonn

2023-10-27, Chess & learn weekend, Oostende

gebaseerd op werk met Mia Müßig en Érika Roldán-Roa

arXiv:2211.05651

https://slides.com/aliocha/schaak-wiskunde

Een beetje over mij

Geboren in Québec
PhD in wiskunde 2019-23 in Gent
Werk sinds mei in Duitsland
spel schaak sinds 2000
Beste dag in schaak: 06-10-2018 (de dag erna $\to$)

A. L.-R. -- GM Bator Sambuev, 2018

Een beetje over mij

A. L.-R. -- GM Bator Sambuev, 2018

Een beetje over mij

Tijdens covid heb ik een beetje over schaak en wiskunde gedacht

Schaak, wiskunde en spelletjes

Geschiedenis

Dominantieproblemen

Spelletjes

Wiskunde, een hulp voor schaak?

Kort antword: nee.

Lang antword:

Een Korte Geschiedenis van Schaak en Wiskunde in 3 problemen

1. ~600, India. Volgens Ibn Kallikan heeft één man schaak uitgevonden. Als prijs vraagt deze man de koning om één rijstkorrel op het eerste veld, twee op het tweede, dan vier op het derde, etc.

Hoeveel korrels zijn er nodig?

Een Korte Geschiedenis van Schaak en Wiskunde in 3 problemen

1. ~600, India. Volgens Ibn Kallikan heeft één man schaak uitgevonden. Als prijs vraagt deze man de koning om één rijstkorrel op het eerste veld, twee op het tweede, dan vier op het derde, etc.

Hoeveel korrels zijn er nodig?

$$1+2+4+...+2^{63} = 2^{64}-1 = 18\, 446\, 744\, 073\, 709\, 551\, 615$$

(ongeveer het totaal aantal sandkorrels op de Aarde)

De koning had ja gezegd...

Een Korte Geschiedenis van Schaak en Wiskunde

2. Leonard Euler (1706–1783) ontdekt de grafentheorie

Voorbeeld: 7 bruggen van Königsberg: kan men alle bruggen oversteken zonder twee keer dezelfde brug te gebruiken?

Een vrolijk paard

Grafentheorie heeft Euler geholpen om de Paardentour probleem op te lossen

Puzzel tijd!

Een stelling van Guarini (~16e):

Verwissel de witte en zwarte paarden.

Puzzel tijd!

Een stelling van Guarini (~16e):

Verwissel de witte en zwarte paarden.

Puzzel tijd!

Iets groters Guarinis probleem

Verwissel de witte en zwarte paarden.

Een Korte Geschiedenis van Schaak en Wiskunde

3. Het acht-dames probleem.

Op hoeveel manieren kan men 8 dames op een schaakbord zetten zonder dat ze elkaar aanvallen?

Eerst gepubliceerd bij Max Bezzel in 1848
Gauss and Schumacher bediscussieren een wiskundige oplossing in 1850
Nauck gaf die 92 solutions in 1850
gekend tot en met $n=27$ (2016)

Maximal Dominatie

Plaats 8 dames op een schaakbord zetten zonder dat ze elkaar aanvallen?

Minimal Dominatie

5 dames probleem

Plaats 5 dames om all velden van de bord te beschermen.

De Jaenisch bestudeert het in 1863
ook voor $ n\times n $ schaakbord
gekend tot en met $n=25$. (2017), en met $n=31$ (LR–Müßig–Roldán-Roa 2023). A075324

Conjecture (Hedetiemi ~1992)

Het dominantiegetal groeit monotoon met $n$.

Dominantie problemen in schaak

We willen problemen zoals de laaste twee: waar stukken het schaakbord domineren.

Minimaldominatie

Maximaldominatie (afhankelijkheid)

5-dames probleem
stukken mogen elkaar aanvallen
we zoeken het minimale aantal stukken die het bord beschermen

8-dames probleem
stukken mogen elkaar niet aanvallen
we zoeken het maximale aantal stukken dat zo op het bord geplaats kan worden

Dominantie problemen in schaak

Deze problemen zijn moeilijk.

Dus maken we ze algemener!

Polyomino

Wat zijn ze?

Een polyomino is een soort groot "Tetris" stuk. En toren kan bewegen naar alle velden van een polyomino.

5 veld polyomino's (pentomino's)

Polyomino

Dominantie op polyomino

Stukken bewegen normaal, maar kunnen niet springen.

We studieren dominantie voor toren en dames.

Polyomino

Problemen

Minimal- en maximaldominantie

We kunnen het probleem niet exact oplossen. We willen het aantal dames begrenzen.

Polyomino

Stelling (Alpert–Roldán-Roa 2021)

Voor een polyomino van $n\geq 2$ velden, het minimale torensdominantiegetal zit tussen 1 en $\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$.
Voor een polyomino van $n\geq 3$ velden, het minimale damesdominantiegetal zit tussen 1 en $\lfloor \frac{n}{3}\rfloor$.