2015-02

Recursion and Mod

同餘

a\%M=a',\ b\%M=b'
a%M=a​′​​, b%M=b​′​​
(a+b)\%M=(a'+b')\%M
(a+b)%M=(a​′​​+b​′​​)%M
(a*b)\%M\ =(a'*b')\%M
(a∗b)%M =(a​′​​∗b​′​​)%M

題目敘述

Definition:

a_{1} = 1
a​1​​=1
a_{n} = 3*a_{n-1} + 4
a​n​​=3∗a​n−1​​+4

解法一

就照著遞迴式做

a = 1
MOD = 10**9 + 9
for _ in range(N-1):
    a = (3*a+4) % MOD

時間複雜度:

O(N)=O(2^{63})=TLE
O(N)=O(2​63​​)=TLE

0.4

解法二

先觀察數列

a_{1}=1,a_{2}=7,a_{3}=25,a_{4}=79
a​1​​=1,a​2​​=7,a​3​​=25,a​4​​=79

似乎有甚麼規律

解法二

按照定義展開

a_{1}=1
a​1​​=1
a_{2}=3*a_{1}+4
a​2​​=3∗a​1​​+4
a_{3}=3*a_{2}+4=3*(3*a_{1}+4)+1
a​3​​=3∗a​2​​+4=3∗(3∗a​1​​+4)+1

解法二

a_{4}=3*a_{3}+4
a​4​​=3∗a​3​​+4
=3*(3*a_{2}+4)+4
=3∗(3∗a​2​​+4)+4
=3*(3*(3*a_{1}+4)+4)+4
=3∗(3∗(3∗a​1​​+4)+4)+4
=3^{3}*a_{1}+4*(3^{2}+3^{1}+3^{0})
=3​3​​∗a​1​​+4∗(3​2​​+3​1​​+3​0​​)
=3^{3}+4*(3^3-1)/(3-1)
=3​3​​+4∗(3​3​​−1)/(3−1)
=3^{3}+2*3^{3}-2
=3​3​​+2∗3​3​​−2
=3^{4}-2
=3​4​​−2

解法二

再用數學歸納法仔細證明

a_{n}=3^{n}-2
a​n​​=3​n​​−2
n=1 =>a_{1}=3^{1}-2=1
n=1=>a​1​​=3​1​​−2=1
n=k+1=>a_{k+1}=3*a_{k}+4
n=k+1=>a​k+1​​=3∗a​k​​+4
=3*(3^{k}-2)+4
=3∗(3​k​​−2)+4
=3^{k+1}-2
=3​k+1​​−2

解法二

因此我們得知

a^{n}=3^n-2
a​n​​=3​n​​−2
a = 1, MOD = 10**9 + 9
for _ in range(n):
    a = (3*a) % MOD
a = a - 2

時間複雜度:

O(N)=O(2^{63})=TLE
O(N)=O(2​63​​)=TLE

0.4

解法三

把遞迴式變成一般式

目標: 如何快速求得       ???

3^{n}
3​n​​

快速冪

Fast Exponential Algorithm

快速冪

a^{n}={(a^{n/2})}^{2}
a​n​​=(a​n/2​​)​2​​
={(a^{[n/2]})}^{2}*a
=(a​[n/2]​​)​2​​∗a

if n is even

if n is odd

解法三

MOD = 10**9 + 9
def pow(a, n):
    if n == 0:
        return 1
    half = pow(a, n//2)
    if n&1 == 1:
        return (((half**2)%MOD)*a)%MOD
    else:
        return (half**2)%MOD

時間複雜度:

O(lgN)=O(lg2^{63})=O(63)
O(lgN)=O(lg2​63​​)=O(63)

AC

快速冪 迴圈版

ans = 1, A = a, MOD = 10**9 + 9
for i in range(32):
    if (N>>i)&1:
        ans = (ans*A) % MOD
    A = (A*A) % MOD
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