數學

aka 高中數學 in 資訊

簡介

競賽數學主要分 ACGN 四大類

Algebra 代數

Combinatory 組合

Geometry 幾何

Number theory 數論

不是 Animation, Comic, Game, Novel 啦

資訊用到的數學

$C \approx N > A > G$

然後要會一點向量、線性代數、群論

構造題

八維立方體 CF 1543 E

數論

同餘

a 與 b 在模 p 下同餘若且唯若 (a-b)%p == 0

這裡的 p 不一定是質數

加法、減法、乘法

const int mod=998244353;
void add(int& x,int y){
    x+=y;
    x-=mod*(x>=mod);
    x+=mod*(x<0);
}
int mul(int x,int y){
    return 1ll*x*y%mod;
}

除法

在模質數底下，不能整除怎麼辦

$\frac{x}{y} = z \implies x \equiv y \cdot z \pmod p$

假設我們有 $y \cdot b \equiv 1 \pmod p$

那麼 $ x \cdot b \equiv b \cdot y \cdot z \equiv z \pmod p$

也就是說 $ z \equiv x \cdot b \pmod p $

這樣就可以算了

問題就是要怎麼算出那個 b

有三種方法

費馬小定理
酷酷公式
貝祖定理

模逆元

費馬小定理

$$ a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$$

也就是說 $ a \cdot a^{p-2} \equiv 1 \pmod p$

代表 $b = a^{p-2}$

直接用快速冪做就好了

快速冪

$ a^n = (a^{n/2})^2 \cdot a [a\%2==1] $

O(logn)

酷酷公式

int inv(int x){
    return x==1?1:mul(mod-mod/x,inv(mod%x));
}

據說是 O(logn)

我不會證~~但是沒有出包過~~

實作簡單

貝祖定理

對於所有整數 $a,b$ 存在無限多組整數 $x,y$ 滿足 $$ ax + by = gcd(a,b) $$

遞迴

假設我們有了 $ bx' + (b\%a)y' = 1$

要怎麼推出 $ax + by = 1$的解

注意到 $a\%b = a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \cdot b$

$$bx' + (a\%b) y' = 1 $$

$$ bx' + (a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor b)y' = 1 $$

$$ ay' + b(x' - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y') = 1$$

是唯一能用在合數的模逆元方法

GCD

輾轉相除法

或是有酷酷的內建函式 __gcd 可以用

範例 code

const int mod=998244353;
void add(int& x,int y){
    x+=y;
    x-=mod*(x>=mod);
    x+=mod*(x<0);
}
int mul(int x,int y){
    return 1ll*x*y%mod;
}
int po(int x,int y){
	int z=1;
	while(y){
		if(y&1){
			z=mul(z,x);
		}
		x=mul(x,x);
		y>>=1;
	}
	return z;
}
int inv(int x){
	return po(x,mod-2);
}
int inv(int x){
    return x==1?1:mul(mod-mod%x,inv(mod%x));
}
add(x,1);
x=mul(x,2);
__gcd(3,5);

OJDL 7044

模逆元練習

質數

判斷質數

從 1 掃到 $ \sqrt n$ ，如果裡面有整數是因數就不是質數，反之則是

其他方法

Miller-Rabin

再其他的方法

找到 1 到 n 的所有質數

照上面的作法會是 O(n^1.5)

改進一下

從 1 到 n 掃過一遍，每次更新他的所有倍數

沒被更新過的就是質數

$ O( \frac{n}{1} + \frac{n}{2} + \dots + \frac{n}{n}) = O(n log(n)) $

因數篩

小優化

只跑過質數的倍數

$ O( \frac{n}{2} + \frac{n}{3} + \dots )= O(n loglog(n)) $

上一張的可以用在找出一個數的所有因數

由此也可得 1 到 n 所有數的因數數量和 = O(nlogn)

線性篩

如果能讓每個數都被篩過一次，那就可以 O(n) 算完了

所以我們會想要讓每個合數被他的最小質因數算到

vector<int> vis,pr;
for(int i=2;i<n;i++){
    if(!vis[i]){
        pr.push_back(i);
    }
    for(auto h:pr){
        if(h*i>n){
            break;
        }
        vis[h*i]=1;
        if(i%h==0){
            break;
        }
    }
}

Code

TIOJ 1668

線性篩求歐拉函數

歐拉函數 $\varphi(n)$ 代表 n 以下有多少數與 n 互質

有積性

code

vector<int> vis,pr,phi;
for(int i=2;i<n;i++){
    if(!vis[i]){
        pr.push_back(i);
        phi[i]=i-1;
    }
    for(auto h:pr){
        if(h*i>n){
            break;
        }
        vis[h*i]=1;
        if(i%h==0){
        	phi[i*h]=h*phi[i];
            break;
        }
        else{
        	phi[i*h]=phi[h]*phi[i];
		}
    }
}

TIOJ 1514

組合

組合數 $C^n_k$

算法：主要有三種

$n \leq 1000: O(n^2) $ Pascal Triangle
$n \leq 1000000$ 多次詢問：O(n) 蓋出 frac 表，然後用 $$ C^n_k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} $$
(mod 質數) $ n \leq 10^{18}, p \leq 1000$ => Lucas Theorem

在 n 個裡面取 k 個的方法數