Упражнение 8*
§1. Подмногообразия в
\mathbb{R}^{N}
\forall A \in M_{n} \, \exists U_{A} \subset \mathbb{R}^{k}
В качестве f выберем:
f(A) = AA^{T}-I_{n} \in \mathbb{R}^{\frac{n(n+1)}{2}=k}
f_{il}(A) = a_{ij}a_{jl} - \delta _{il}, \: \: i\leq l
Выберем , тогда дифференциал преобразования будет задаваться формулой:
A = I_{n}
\frac{\partial f_{il}}{\partial a_{pq}}|_{I_{n}} = \frac{\partial a_{ij}a_{jl}}{\partial a_{pq}}|_{I_{n}} = a_{jl} \frac{\partial a_{ij}}{\partial a_{pq}}+a_{ij} \frac{\partial a_{jl}}{\partial a_{pq}}|_{I_{n}} = (a_{jl}\delta _{ip}\delta _{jq} + a_{ij}\delta _{jp}\delta _{lq})|_{I_{n}}
= (a_{ql}\delta _{ip} + a_{ip}\delta _{lq})|_{I_{n}} = \delta _{ql}\delta _{ip} + \delta _{ip}\delta _{lq} = 2\delta _{ip}\delta
i = p, \: \: q = l
Рассмотрим случай, когда :
n = 2
k = \frac{n(n+1)}{2} = 3
Тогда дифференциал преобразования равен:
df = \begin{pmatrix}
2 & 0& 0 & 0\\
0& 2 & 0& 0\\
0 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
rank f = 3
Аналогично можно показать для случая n, что . Для произвольной матрицы принадлежащей группе также можно получить тот же результат, сдвигая матрицу A (см. §1. Упражнение 7).
rank f = \frac{n(n+1)}{2}
O(n)
Следовательно - подмногообразие в размерности .
\frac{n(n-1)}{2}
O(n)
\mathbb{R}^{n^{2}}