Упражнение 11
§2. Элементы общей топологии
g: (a,b)\mapsto \mathbb{R}^{2}
Пусть
x\in(a,b)\mapsto (x,y(x))
Центр
O\left ( x_{0}=\frac{a+b}{2},y_{0}=\frac{b-a}{2} \right ).
(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=y_{0}^{2} \Rightarrow y(x)=y_{0}-\sqrt{y_{0}^{2}-(x-x_{0})^{2}}
\frac{X-x_{0}}{x-x_{0}}=\frac{Y-y_{0}}{y(x)-y_{0}},
в точке пересечения прямой с осью :
Ox
x=0 \Rightarrow x=x_{0}-y_{0}\cdot \frac{x-x_{0}}{y(x)-y_{0}};\: \: h(x,y) = x_{0}-y_{0}\cdot \frac{x-x_{0}}{y-y_{0}}
f(x)=h\circ g(x)=x_{0}+y_{0}\frac{x-x_{0}}{\sqrt{y_{0}^{2}-\left (x-x_{0} \right )^{2}}}
Найдём обратную функцию:
\left (\frac{f-x_{0}}{y_{0}} \right )^{2}=\frac{x-x_{0}}{y_{0}^{2}-(x-x_{0})^{2}}
\left (\frac{f-x_{0}}{y_{0}} \right )^{2}y_{0}^{2} - \left (\frac{f-x_{0}}{y_{0}} \right )^{2}(x-x_{0})^{2} =(x-x_{0})^{2}
\left (\frac{f-x_{0}}{y_{0}} \right )^{2}y_{0}^{2} = \left (\left (\frac{f-x_{0}}{y_{0}} \right )^{2} +1 \right )(x-x_{0})^{2}
(x-x_{0})^{2} = \frac{\left (\frac{f-x_{0}}{y_{0}} \right )^{2}y_{0}^{2}}{1 + \left (\frac{f-x_{0}}{y_{0}} \right )^{2}}
x = \pm \sqrt{\frac{\left (\frac{f-x_{0}}{y_{0}} \right )^{2}y_{0}^{2}}{1 + \left (\frac{f-x_{0}}{y_{0}} \right )^{2}}} + x_{0}
Если , то "+", если , то "-".
f > x_{0}
f < x_{0}