Graph[2]

algorithm[18] 22527 Brine

我是誰

22527 鄭竣陽

Brine

BrineTW#7355

~~你是不是忘記我是誰了ㄏㄏ~~

Index

Connectivity

連通性

如何判斷一張圖是否連通
- 簡單的 BFS / DFS 都能處理
但除了連通與否，連通的強度也是一大重點

連通性

如何判斷一張圖是否連通
- 簡單的 BFS / DFS 都能處理
但除了連通與否，連通的強度也是一大重點
如果中間的關鍵點沒了就不連通了
- 越高的容錯率越好
點連通度
- 最少要拔掉多少點使得圖不連通
邊連通度
- 最少要拔掉多少邊使得圖不連通

連通度的重要性

現實生活中，我們常常需要連通度不太差的網路
如果供電系統壞掉一條電線或電線杆就停電，非常不好
- 一般情況下我們會希望能建構出一個連通度 $\ge 2$ 的網路

連通度的重要性

現實生活中，我們常常需要連通度不太差的網路
如果供電系統壞掉一條電線或電線杆就停電，非常不好
- 一般情況下我們會希望能建構出一個連通度 $\ge 2$ 的網路

連通度的重要性

現實生活中，我們常常需要連通度不太差的網路
如果供電系統壞掉一條電線或電線杆就停電，非常不好
- 一般情況下我們會希望能建構出一個連通度 $\ge 2$ 的網路

連通度的重要性

現實生活中，我們常常需要連通度不太差的網路
如果供電系統壞掉一條電線或電線杆就停電，非常不好
- 一般情況下我們會希望能建構出一個連通度 $\ge 2$ 的網路

連通度的重要性

現實生活中，我們常常需要連通度不太差的網路
如果供電系統壞掉一條電線或電線杆就停電，非常不好
- 一般情況下我們會希望能建構出一個連通度 $\ge 2$ 的網路

連通度的重要性

現實生活中，我們常常需要連通度不太差的網路
如果供電系統壞掉一條電線或電線杆就停電，非常不好
- 一般情況下我們會希望能建構出一個連通度 $\ge 2$ 的網路
但有時候就是會遇到連通度只有 $1$ 的網路
- 每個點或每個邊被拔掉都會使圖不連通嗎？
- 誰被拔掉會使圖不連通？

割點 Cut Vertex

還記得什麼是「割」嗎
- 使點集分割為兩個子集
- 割點也是一樣的意思
  - 把割點拔掉就可以使圖不連通

割點 Cut Vertex

還記得什麼是「割」嗎
- 使點集分割為兩個子集
- 割點也是一樣的意思
  - 把割點拔掉就可以使圖不連通

割點 Cut Vertex

還記得什麼是「割」嗎
- 使點集分割為兩個子集
- 割點也是一樣的意思
  - 把割點拔掉就可以使圖不連通

割點 Cut Vertex

還記得什麼是「割」嗎
- 使點集分割為兩個子集
- 割點也是一樣的意思
  - 把割點拔掉就可以使圖不連通
又被稱為關節點 articulation vertex
要怎麼求出所有的割點呢？

暴力作法

要怎麼求出一個點 $v$ 是不是割點呢？
- 根據定義，把他去掉後圖片不連通的話，該點即為割點
- 那我們就照定義做
  - 選一個點 $v$ ，拔除之
  - 對圖做一次 DFS，判斷沒有經過 $v$ 能否遍歷整張圖
  - 對所有點做以上操作
- $\mathcal O(|V|)$ 窮舉點， $\mathcal O(|V| + |E|)$ DFS
  - 總複雜度 $\mathcal O(|V|^2 + |V||E|)$

DFS Tree

在討論連通度時，我們有一個強大的工具，DFS Tree(DFST)
在 DFS 走過所有能走的點時，碰到的邊可以分為以下幾種：
- 樹邊（tree edge）
  - DFS 時候碰到新的點用的邊
  - 從祖先連到其子代
- 返祖邊（back edge）：從子孫連到祖先
- 前向邊（forward edge）：從祖先連到非子代的子孫
- 交錯邊（cross edge）：跨越兩顆樹的邊

DFS Tree 如何分類邊

我們就照剛才的定義跑，然後為那些邊著色吧

DFS Tree 如何分類邊

我們就照剛才的定義跑，然後為那些邊著色吧

DFS Tree 如何分類邊

我們就照剛才的定義跑，然後為那些邊著色吧

DFS Tree 如何分類邊

我們就照剛才的定義跑，然後為那些邊著色吧

DFS Tree 如何分類邊

我們就照剛才的定義跑，然後為那些邊著色吧

DFS Tree 如何分類邊

我們就照剛才的定義跑，然後為那些邊著色吧

DFS Tree 如何分類邊

我們就照剛才的定義跑，然後為那些邊著色吧

DFS Tree 如何分類邊

我們就照剛才的定義跑，然後為那些邊著色吧

DFS Tree 如何分類邊

我們就照剛才的定義跑，然後為那些邊著色吧

DFS Tree 如何分類邊

我們就照剛才的定義跑，然後為那些邊著色吧

DFS Tree 如何分類邊

我們就照剛才的定義跑，然後為那些邊著色吧

DFS Tree 如何分類邊

我們就照剛才的定義跑，然後為那些邊著色吧

DFS Tree 如何分類邊

我們就照剛才的定義跑，然後為那些邊著色吧

DFS Tree 如何分類邊

我們就照剛才的定義跑，然後為那些邊著色吧

DFS Tree 如何分類邊

我們就照剛才的定義跑，然後為那些邊著色吧

那如果換成無向圖呢？

DFS Tree 如何分類邊

我們就照剛才的定義跑，然後為那些邊著色吧

那如果換成無向圖呢？
- 無向圖只有樹邊跟返祖邊，我們先來做無向圖吧

如何判斷誰是割點

可以看得出來，這些點是割點

如何判斷誰是割點

這樣好像看不出來什麼性質，移動一下好了

可以看得出來，這些點是割點

如何判斷誰是割點

一棵樹中除了葉都是割點
- 拔除 $v$ 使圖被分成 $\deg(v)$ 塊
在 DFS 樹中呢？
- 若 $v$ 的任意子孫不能連回祖先
- 沒有返祖邊

DFS 樹的根節點 $r$

只要子孫都能連回祖先，自己就不是割點
對於 $r$ ，自己沒有祖先可言
- 子孫不可能連回祖先
只要 $\deg(r) > 1$ ， $r$ 即為割點

利用割點性質

只要符合剛才性質的，就是割點
那我們照定義，對每個節點的子孫（ $\mathcal O(|V|)$ ）：
- 嘗試不經過該節點回到該節點的祖先（ $\mathcal O(|V| + |E|)$ ）
- 單點複雜度 $\mathcal O(|V|^2 + |V||E|)$
  - 比剛剛還糟糕
  - 勢必得要加速演算法~~不然我教幹嘛~~

一位傳奇人物

Robert Endre Tarjan
- 1986 圖靈獎
貢獻
- 並查集
- 離線 LCA 演算法
- 連通性演算法
- splay tree
- Fibonacci heap
你今晚的夢魘

Tarjan 的想法

剛剛我們的問題有：
- 每次判定子節點連回祖先太久
- 每個節點的子節點太多
所以他就想到我們可以：
- 定義一個函數 $\text{low}(v)$ 回傳 $v$ 不經過親代能走到的最低深度
- 只要 $\text{low}(v) < \text{depth}(u)$ 就代表 $v$ 不通過 $u$ 也能走回祖先
- 如果維護成功，就可以均攤複雜度
除此之外，在無向圖中：
- $u$ 的子代 $v$ 的子樹只需存在一點 $w$ 使得 $\text{low}(w) < \text{depth}(u)$
- 只要查詢 $v$ 就好，均攤只要 $\mathcal O(1)$

如何計算 $\text{low}(v)$

一個點 $v$ 如果能不靠祖先連到深度為 $d$ 的點，代表：
- 自己能有邊能連到深度為 $d$ 的點
- 自己的子孫能連到深度為 $d$ 的點
$\text{low}(v)$ 能從子代轉移！
- DFS 時記錄然後遞迴完子代後比較就好！
- 複雜度只有 $\mathcal O(|V| + |E|)$ ！

Tarjan's Cut Vertex

記錄深度太麻煩了，不如我們記錄 DFS 入點時的順序吧！

vector<int> low(vC);
vector<int> preorder(vC);
vector<bool> isCutVertex(vC);

int counter = 0;
function<void(int, int)> dfs = [&](int u, int last) {
    low[u] = preorder[u] = ++counter;

    int child = 0;

    for (auto& v: graph[u]) {
        if (v == last) continue;

        if (preorder[v]) { // is back edge
            low[u] = min(low[u], preorder[v]);
        } else {
            dfs(v, u);

            if (last >= 0 && low[v] >= preorder[u]) {
                isCutVertex[u] = true;
            }

            child++;
            low[u] = min(low[u], low[v]);
        }
    }

    if (last < 0 && child > 1) isCutVertex[u] = true;
};

dfs(0, -1);

為什麼 $\text{order(i)}$ 是好的

~~相信他就好你管那麼多~~
在建 DFS Tree 的時候，有以下兩種情況：
- 往下遍歷時，碰到還沒有走訪過的點
  - 一般的樹邊
  - 連到的全部都是自己的子代
  - 該點的前序（進入戳記）一定大於自己
- 往下遍歷時，碰到已經被走訪過的點
  - 一定是連到自己直系祖先的返祖邊
    - 如果連到不是自己的直系祖先？

橋 Bridge

我們已經討論完關鍵點了
現在我們想要探討一個連通圖的關鍵邊
拔掉就會使圖不連通的邊

橋 Bridge

我們已經討論完關鍵點了
現在我們想要探討一個連通圖的關鍵邊
拔掉就會使圖不連通的邊

橋 Bridge

我們已經討論完關鍵點了
現在我們想要探討一個連通圖的關鍵邊
拔掉就會使圖不連通的邊
跟割點有什麼關係？

橋 Bridge

我們已經討論完關鍵點了
現在我們想要探討一個連通圖的關鍵邊
拔掉就會使圖不連通的邊
跟割點有什麼關係？
還是不知道？

還是 Tarjan 的想法

我們把剛才那張圖變成它的 DFST

我們把剛才那張圖變成它的 DFST

還是 Tarjan 的想法

我們把剛才那張圖變成它的 DFST
對於一個點 $v$
- 若其子樹裡沒有返祖邊能連到 $v$ 的祖先 $u$ 或以上
- 則 $(u, v)$ 是一座橋
一樣用 $\text{low}(v)$ 函數處理
- 改成 $\text{low}(v) \le \text{order}(u)$

Tarjan's Bridge

重邊需要另外看，如果不是簡單圖要記得喔

vector<int> low(vC);
vector<int> order(vC);
set<pii> isBridge;

int counter = 0;
function<void(int, int)> dfs = [&](int current, int last) {
    low[current] = order[current] = ++counter;

    for (auto& v: graph[current]) {
        if (v == last) continue;

        if (order[v]) { // is back edge
            low[current] = min(low[current], order[v]);
            // a back edge always forms a cycle
        } else {
            dfs(v, current);
            low[current] = min(low[current], low[v]);

            if (low[v] > order[current]) {
                isBridge.insert({current, v});
            }
        }
    }
};

dfs(0, -1);

例題

TIOJ 1137 割點數量
NEOJ 183 找割點
NEOJ 184 找橋

Components

連通分量

連通分量的定義

若在一張圖 $G$ 上存在一個連通子圖 $G'$ ，則 $G'$ 為 $G$ 的連通分量

連通分量的定義

若在一張圖 $G$ 上存在一個連通子圖 $G'$ ，則 $G'$ 為 $G$ 的連通分量

連通分量的定義

若在一張圖 $G$ 上存在一個連通子圖 $G'$ ，則 $G'$ 為 $G$ 的連通分量

連通分量的定義

若在一張圖 $G$ 上存在一個連通子圖 $G'$ ，則 $G'$ 為 $G$ 的連通分量

連通分量的定義

若在一張圖 $G$ 上存在一個連通子圖 $G'$ ，則 $G'$ 為 $G$ 的連通分量
若連通分量無法再連到其他點，則此連通分量極大（maximal）
通常我們預設討論的連通分量皆為極大連通分量

雙連通分量

我們剛剛在把圖上的割點和橋找出來了
現在我們可以把圖分隔成若干個區塊，中間以割點或橋相隔
這些區塊被稱為雙連通分量（biconnected components, BCC）
- 有些時候是：
  - 點雙連通分量稱為 biconnected components
    - 拔掉任何邊、點仍連通的連通分量
  - 邊雙連通分量稱為 bridge connected components
    - 拔掉任何邊仍連通的連通分量
- 或是 2-vertex / edge-connected components
雙連通分量有什麼用？

把圖「縮起來」

邊雙連通分量

把圖「縮起來」

邊雙連通分量

8

1

3

2

7

6

5

0

4

9

把圖「縮起來」

邊雙連通分量

8

1

3

2

7

6

5

0

4

9

把圖「縮起來」

邊雙連通分量

8

1

3

2

7

6

5

0

4

9

把圖「縮起來」

邊雙連通分量

6

5

0

1239

1239

487

487

把圖「縮起來」

點雙連通分量

把圖「縮起來」

點雙連通分量

8

1

3

2

7

6

5

4

9

0

把圖「縮起來」

點雙連通分量

8

1

3

2

7

6

5

4

9

0

把圖「縮起來」

點雙連通分量

8

1

3

2

7

6

5

0

4

9

把圖「縮起來」

點雙連通分量

8

1

3

2

7

6

5

0

4

9

把圖「縮起來」

點雙連通分量
~~看起來沒有縮欸~~

2

5

4

9

1239

1239

0

6

487

487

縮完點之後可以幹嘛

有的時候我們不會喜歡一張有環的圖，複雜的圖很難被處理
但是如果今天要處理的是一棵樹呢？
- 只要把任何一張圖縮起來，他就會變成一棵樹（或森林）！
我們可以透過找出連通分量來使問題變得可做
- 要用割點或橋來分割就看題目要求
要怎麼找連通分量呢？

邊雙連通分量

找邊雙連通分量要做的事情就是不能走橋
那我們就把橋都標記起來，然後 DFS
- DFS 的時候若該邊是橋就不往下走
成功了欸
- 標記然後 DFS 應該不用教吧
那點雙連通分量也是一樣嗎？

點雙連通分量

橋雙連通分量是「由點為主體的集合」
點雙連通分量是「由邊為主體的集合」
- 這兩者有什麼最大的區別？

點雙連通分量

橋雙連通分量是「由點為主體的集合」
點雙連通分量是「由邊為主體的集合」
- 這兩者有什麼最大的區別？

1

3

2

5

0

4

點雙連通分量

橋雙連通分量是「由點為主體的集合」
點雙連通分量是「由邊為主體的集合」
- 這兩者有什麼最大的區別？

2

4

1234

1234

0

5

點雙連通分量

橋雙連通分量是「由點為主體的集合」
點雙連通分量是「由邊為主體的集合」
- 這兩者有什麼最大的區別？
點雙連通分量不能輕鬆把點標記成不可通行
- 因為一個點可以存在於兩個點雙連通分量
  - 誰？
  - 割點！
這樣的話還能用跟剛才類似的方法嗎？
- 可以！
- 但很麻煩
- 既然這樣，我們不如來想想別的作法吧

人生而懶惰

我們做了一次 DFS，把 DFS 樹找出來
接著我們對某些點 DFS，算出所有點雙連通分量
- 可是做兩次 DFS 好麻煩，要寫不一樣的函式
- 也許只要做一次？
我們其實可以只做一次 DFS 來求得所有的點雙連通分量！
- 在 DFS 離開一個點時做一點判定
- 若該點是割點，把其子孫中沒有 BCC 的邊指派一個 BCC

這樣是對的嗎

相信他就對了？
- 根不管是否為割點

這樣是對的嗎

相信他就對了？
- 根不管是否為割點

這樣是對的嗎

相信他就對了？
- 根不管是否為割點

這樣是對的嗎

相信他就對了？
- 根不管是否為割點

這樣是對的嗎

相信他就對了？
- 根不管是否為割點

這樣是對的嗎

相信他就對了？
- 根不管是否為割點

這樣是對的嗎

相信他就對了？
- 根不管是否為割點

這樣是對的嗎

相信他就對了？
- 根不管是否為割點

這樣是對的嗎

相信他就對了？
- 根不管是否為割點

這樣是對的嗎

相信他就對了？
- 根不管是否為割點

這樣是對的嗎

相信他就對了？
- 根不管是否為割點

這樣是對的嗎

相信他就對了？
- 根不管是否為割點

這樣是對的嗎

相信他就對了？
- 根不管是否為割點

Vertex BCC Code

struct Edge {
    int a, b;

    Edge(int u = -1, int v = -1): a(u), b(v) {}
};

vector< vector<int> > graph;
vector<int> low, preorder;
vector<int> isCutVertex;
stack<Edge> s;

vector<int> bccId;
vector< vector<int> > bcc;

int counter = 0;
int bccCounter = 0;

void dfs(int u, int p) {
    low[u] = preorder[u] = ++counter;
    int child = 0;

    for (auto& v: graph[u]) {
        Edge e(u, v);

        if (v == p) continue;

        s.push(e);

        if (preorder[v]) {
            low[u] = min(low[u], preorder[v]);
            continue;
        }

        child++;
        dfs(v, u);
        low[u] = min(low[u], low[v]);

        if (low[v] >= preorder[u]) {
            isCutVertex[u] = 1;
            ++bccCounter;
            Edge temp;

            do {
                temp = s.top(), s.pop();

                if (bccId[temp.a] != bccCounter) bcc[bccCounter].push_back(temp.a);
                if (bccId[temp.b] != bccCounter) bcc[bccCounter].push_back(temp.b);

                bccId[temp.a] = bccId[temp.b] = bccCounter;
            } while (temp.a != u || temp.b != v);
        }

    }

    if (p <= 0 && child == 1) {
        isCutVertex[u] = 0;
    }
}

怎麼縮圖？

其實直接照定義縮可能會長出很麻煩的東西
有個資料結構叫做~~封鎖割樹~~圓方樹（block-cut tree）
- 把同一個點雙連通分量改成：
  - 所有分量內的邊消失
  - 全部連到一個虛點（自己創的點），也就是方點
- 這樣的話就一樣有樹的性質了
- 看要求再把資訊放在圓點或方點上
~~自己研究，我懶得放 code~~

回到邊雙連通分量

剛剛我們討論完點雙連通分量一次求完的方法
會發現其實邊雙連通分量也是一樣的概念
而且其實邊雙連通比較好求？
把 stack 裡面存的東西從邊換成點，判割點換成判定橋

Edge BCC Code

vector< vector<int> > graph;
vector<int> low, preorder;
stack<int> s;

vector<int> bccId;
vector< vector<int> > bcc;

int counter = 0;
int bccCounter = 0;

void dfs(int u, int p) {
    low[u] = preorder[u] = ++counter;
    s.push(u);

    for (auto& v: graph[u]) {
        if (v == p) continue;

        if (preorder[v]) {
            low[u] = min(low[u], preorder[v]);
            continue;
        }

        dfs(v, u);
        low[u] = min(low[u], low[v]);

        if (low[v] > preorder[u]) {
            ++bccCounter;
            int w;

            do {
                w = s.top(), s.pop();
                bccId[w] = bccCounter;
            } while (w != u);
        }

    }

    if (p < 0) {
        ++bccCounter;
        int w;
        while (!s.empty()) {
            w = s.top(), s.pop();
            bccId[w] = bccCounter;
        }
    }
}

有向圖上的連通分量

我們終於要來講我們逃離很久的有向圖了！
我們在討論有向圖的連通性的時候，會討論以下兩種分量
- 強連通分量（strongly connected component）
  - 對於任意兩點 $u, v$ ，存在 $u \rightarrow v$ 的路徑
  - 注意不用「拔掉一個點或邊仍然成立」，不用雙連通
- 弱連通分量（weakly connected component）
  - 對於任意兩點 $u, v$ ，存在 $u \rightarrow v$ 或 $v \rightarrow u$ 的路徑
  - 注意弱連通分量的定義和弱連通圖不太一樣
    - 為什麼？
    - 我的解釋：「這種定義應用比較多」

求強連通分量的意義

一個強連通分量會使我們沒辦法好好轉移狀態

求強連通分量的意義

一個強連通分量會使我們沒辦法好好轉移狀態

求強連通分量的意義

一個強連通分量會使我們沒辦法好好轉移狀態

求強連通分量的意義

一個強連通分量會使我們沒辦法好好轉移狀態

求強連通分量的意義

一個強連通分量會使我們沒辦法好好轉移狀態
- 縮點之後變成一張有向無環圖（DAG）！
- 只要是 DAG 就可以拓樸排序了

Tarjan's SCC

對，還是他，每次都是他
應該知道要用什麼了吧
- 沒錯！就是 DFS 樹
- 但是現在，我們要面對 DFS 樹的每一種邊了！
  - 樹邊
  - 返祖邊
  - 前向邊
  - 交錯邊
- 怎麼辦？
  - 不怎麼辦，就正常處理多判一點條件就好了

樹邊 vs. 前向邊

戳到樹邊就是一定代表進入點時為首次入點嗎？
- 不是，有可能前向邊先戳到了
  - 那怎麼辦？
  - 不怎麼辦！
- 若 $u$ 先被樹邊戳到， $\text{low}(u)$ 已經轉移了
  - 就把它用 visited 判定，然後正常來就好
- 若 $u$ 先被前向邊戳到呢？
  - 在樹邊再次戳到時，一樣轉移就好
- 樹邊和前向邊不會產生影響！

返祖邊 vs. 交錯邊

返祖邊跟交錯邊同樣有機會戳到比自己輩分大的點
- 怎麼區分兩者？
- 交錯邊會從祖先另外一個子樹戳過來
  - 如果他們不是同一個 SCC，那就不轉移
    - 如果戳到的點已經被分派 SCC 了，那它一定是交錯邊

返祖邊 vs. 交錯邊

返祖邊跟交錯邊同樣有機會戳到比自己輩分大的點
- 怎麼區分兩者？
- 交錯邊會從祖先另外一個子樹戳過來
  - 如果他們不是同一個 SCC，那就不轉移
    - 如果戳到的點已經被分派 SCC 了，那它一定是交錯邊

返祖邊 vs. 交錯邊

返祖邊跟交錯邊同樣有機會戳到比自己輩分大的點
- 怎麼區分兩者？
- 交錯邊會從祖先另外一個子樹戳過來
  - 如果他們不是同一個 SCC，那就不轉移
    - 如果戳到的點已經被分派 SCC 了，那它一定是交錯邊

返祖邊 vs. 交錯邊

返祖邊跟交錯邊同樣有機會戳到比自己輩分大的點
- 怎麼區分兩者？
- 交錯邊會從祖先另外一個子樹戳過來
  - 如果他們不是同一個 SCC，那就不轉移
    - 如果戳到的點已經被分派 SCC 了，那它一定是交錯邊

返祖邊 vs. 交錯邊

返祖邊跟交錯邊同樣有機會戳到比自己輩分大的點
- 怎麼區分兩者？
- 交錯邊會從祖先另外一個子樹戳過來
  - 如果他們不是同一個 SCC，那就不轉移
    - 如果戳到的點已經被分派 SCC 了，那它一定是交錯邊

返祖邊 vs. 交錯邊

返祖邊跟交錯邊同樣有機會戳到比自己輩分大的點
- 怎麼區分兩者？
- 交錯邊會從祖先另外一個子樹戳過來
  - 如果他們不是同一個 SCC，那就不轉移
    - 如果戳到的點已經被分派 SCC 了，那它一定是交錯邊

返祖邊 vs. 交錯邊

返祖邊跟交錯邊同樣有機會戳到比自己輩分大的點
- 怎麼區分兩者？
- 交錯邊會從祖先另外一個子樹戳過來
  - 如果他們不是同一個 SCC，那就不轉移
    - 如果戳到的點已經被分派 SCC 了，那它一定是交錯邊

返祖邊 vs. 交錯邊

返祖邊跟交錯邊同樣有機會戳到比自己輩分大的點
- 怎麼區分兩者？
- 交錯邊會從祖先另外一個子樹戳過來
  - 如果他們不是同一個 SCC，那就不轉移
    - 如果戳到的點已經被分派 SCC 了，那它一定是交錯邊

返祖邊 vs. 交錯邊

返祖邊跟交錯邊同樣有機會戳到比自己輩分大的點
- 怎麼區分兩者？
- 交錯邊會從祖先另外一個子樹戳過來
  - 如果他們不是同一個 SCC，那就不轉移
    - 如果戳到的點已經被分派 SCC 了，那它一定是交錯邊

返祖邊 vs. 交錯邊

返祖邊跟交錯邊同樣有機會戳到比自己輩分大的點
- 怎麼區分兩者？
- 交錯邊會從祖先另外一個子樹戳過來
  - 如果他們不是同一個 SCC，那就不轉移
    - 如果戳到的點已經被分派 SCC 了，那它一定是交錯邊

返祖邊 vs. 交錯邊

返祖邊跟交錯邊同樣有機會戳到比自己輩分大的點
- 怎麼區分兩者？
- 交錯邊會從祖先另外一個子樹戳過來
  - 如果他們不是同一個 SCC，那就不轉移
    - 如果戳到的點已經被分派 SCC 了，那它一定是交錯邊

返祖邊 vs. 交錯邊

返祖邊跟交錯邊同樣有機會戳到比自己輩分大的點
- 怎麼區分兩者？
- 交錯邊會從祖先另外一個子樹戳過來
  - 如果他們不是同一個 SCC，那就不轉移
    - 如果戳到的點已經被分派 SCC 了，那它一定是交錯邊

返祖邊 vs. 交錯邊

返祖邊跟交錯邊同樣有機會戳到比自己輩分大的點
- 怎麼區分兩者？
- 交錯邊會從祖先另外一個子樹戳過來
  - 如果他們不是同一個 SCC，那就不轉移
    - 如果戳到的點已經被分派 SCC 了，那它一定是交錯邊

返祖邊 vs. 交錯邊

返祖邊跟交錯邊同樣有機會戳到比自己輩分大的點
- 怎麼區分兩者？
- 交錯邊會從祖先另外一個子樹戳過來
  - 如果他們不是同一個 SCC，那就不轉移
    - 如果戳到的點已經被分派 SCC 了，那它一定是交錯邊

返祖邊 vs. 交錯邊

返祖邊跟交錯邊同樣有機會戳到比自己輩分大的點
- 怎麼區分兩者？
- 交錯邊會從祖先另外一個子樹戳過來
  - 如果他們不是同一個 SCC，那就不轉移
    - 如果戳到的點已經被分派 SCC 了，那它一定是交錯邊

返祖邊 vs. 交錯邊

返祖邊跟交錯邊同樣有機會戳到比自己輩分大的點
- 怎麼區分兩者？
- 交錯邊會從祖先另外一個子樹戳過來
  - 如果他們不是同一個 SCC，那就不轉移
    - 如果戳到的點已經被分派 SCC 了，那它一定是交錯邊

返祖邊 vs. 交錯邊

返祖邊跟交錯邊同樣有機會戳到比自己輩分大的點
- 怎麼區分兩者？
- 交錯邊會從祖先另外一個子樹戳過來
  - 如果他們不是同一個 SCC，那就不轉移
    - 如果戳到的點已經被分派 SCC 了，那它一定是交錯邊

返祖邊 vs. 交錯邊

返祖邊跟交錯邊同樣有機會戳到比自己輩分大的點
- 怎麼區分兩者？
- 交錯邊會從祖先另外一個子樹戳過來
  - 如果他們不是同一個 SCC，那就不轉移
    - 如果戳到的點已經被分派 SCC 了，那它一定是交錯邊

返祖邊 vs. 交錯邊

返祖邊跟交錯邊同樣有機會戳到比自己輩分大的點
- 怎麼區分兩者？
- 交錯邊會從祖先另外一個子樹戳過來
  - 如果他們不是同一個 SCC，那就不轉移
    - 如果戳到的點已經被分派 SCC 了，那它一定是交錯邊

返祖邊 vs. 交錯邊

返祖邊跟交錯邊同樣有機會戳到比自己輩分大的點
- 怎麼區分兩者？
- 交錯邊會從祖先另外一個子樹戳過來
  - 如果他們不是同一個 SCC，那就不轉移
    - 如果戳到的點已經被分派 SCC 了，那它一定是交錯邊

Tarjan's SCC Code

用 scc[i] 判斷交錯邊是否要更新

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

vector<int> tarjan(vector< vector<int> >& graph) {
    vector<int> preorder(graph.size());
    vector<int> low(graph.size());
    vector<int> scc(graph.size());
    stack<int> s;

    int counter = 0;
    int sccId = 0;
    function<void(int)> dfs = [&](int u) {
        preorder[u] = low[u] = ++counter;
        s.push(u);

        for (auto& v: graph[u]) {
            if (scc[v]) continue;

            if (preorder[v]) low[u] = min(low[u], preorder[v]);
            if (!preorder[v]) {
                dfs(v);
                low[u] = min(low[u], low[v]);
            }
        }

        if (low[u] == preorder[u]) {
            ++sccId;
            int v;
            do {
                v = s.top(), s.pop();
                scc[v] = sccId;
            } while (u != v);
        }
    };

    for (int i = 0; i < graph.size(); i++) if (!preorder[i]) dfs(i);

    return scc;
}

另一位連通超人

Sambasiva Rao Kosaraju
這個人想到了另外一種算強連通的方法
- 太神奇了，他不是 Tarjan 欸
- 但是他沒有發表該論文
- 但他不是 Tarjan 欸
讓我們來看看他怎麼想的吧！

把邊倒過來的圖

在談 Kosaraju 的算法的時候，就要先談一個重要的東西
- 反圖（transpose / converse / reverse graph）
  - 對於一個圖 $G(V, E)$ ，若有一個圖：
    - 和它有相同的點集
    - 所有的邊 $(u, v)$ 都有能一一對應的邊 $(v, u)$
  - 則稱這張圖為 $G$ 的反圖，記為 $G'$ 或 $G^T, G^R \cdots$
- 反圖可以拿來幹嘛？

反圖的性質

我們把一張圖和它的反圖放在一起，看看它們之間的關係吧

反圖的性質

我們把一張圖和它的反圖放在一起，看看它們之間的關係吧

反圖的性質

我們把一張圖和它的反圖放在一起，看看它們之間的關係吧

反圖的性質

我們把一張圖和它的反圖放在一起，看看它們之間的關係吧
- 反圖和原圖具有相同的 SCC！
- 若在原圖中，存在一條 $u$ 到 $v$ 的路徑
  - 反圖也存在一條 $u$ 到 $v$ 的路徑 $\leftrightarrow$ $u, v$ 在同一個 SCC 中

Kosaraju's SCC

對一張有向圖做「偽」拓樸排序
- 也就是「將圖 DFS 一次，並記錄其後序（離開戳記）」
依照偽拓樸排序的結果，將點由後序大到小在反圖上 DFS
- 給所有當前點開始走沒有 SCC 的點同一個新的 SCC
做完了！
- 真的假的？
- 對，就這樣，超級好寫
- 但是時間執行起來比 Tarjan 稍微久了一點點
對於沒辦法馬上了解 Tarjan 的人，學習 Kosaraju 比較方便
甚至有些人只記 Kosaraju's SCC，確保自己會 SCC

Kosaraju's SCC Code

就跟你說了，短的跟鬼一樣

void dfs(int current, vector<int>& postorder, vector<bool>& visited, vector< vector<int> >& graph) {
    visited[current] = 1;

    for (auto& v: graph[current]) {
        if (visited[v]) continue;
        dfs(v, postorder, visited, graph);
    }

    postorder.push_back(current);
}

void sfd(int current, vector<int>& scc, const int id, vector< vector<int> >& hparg) {
    scc[current] = id;

    for (auto& v: hparg[current]) {
        if (scc[v]) continue;
        sfd(v, scc, id, hparg);
    }
}

把東西包成函式處理

你會覺得比較長是因為我把建反圖放在裡面

vector<int> kosaraju(vector< vector<int> >& graph) {
    vector<bool> visited(graph.size());
    vector<int> postorder;
    postorder.reserve(graph.size());

    function<void(int)> dfs = [&](int u) {
        if (visited[u]) return;

        for (auto& v: graph[u]) {
            visited[v] = true;
            dfs(v);
        }

        postorder.push_back(u);
    };

    for (int u = 0; u < graph.size(); u++) dfs(u);


    vector< vector<int> > hparg(graph.size());
    for (int u = 0; u < graph.size(); u++) {
        for (auto& v: graph[u]) hparg[v].push_back(u);
    }

    vector<int> scc(graph.size());
    int sccCounter = 0;

    function<void(int)> sfd = [&](int u) {
        scc[u] = sccCounter;

        for (auto& v: hparg[u]) {
            if (scc[v]) continue;
            sfd(v);
        }
    };
	
    reverse(postorder.begin(), postorder.end());
    for (auto& u: postorder) {
        if (!scc[u]) ++sccCounter, sfd(u);
    }

    return scc;
}

Kosaraju 的特色

比較好寫
相對直觀
不是 Tarjan
常數比較大
不是 Tarjan

$2-\text{SAT}$

在資訊科學中，有個著名的問題， $k$ 可滿足性問題
- 布林變數（boolean variable）：
  - $v = 1 \leftrightarrow \neg v = 0$
  - $v = 0 \leftrightarrow \neg v = 1$
- 文字（literal）： $l = v\ /\ \neg v$
- 子句（clause）： $c = (l_1 \vee l_2 \vee l_3 \vee \cdots \vee l_k)$
- 合取範式（conjunctive normal form, CNF）：
  - 符合形如 $c_1 \land c_2 \land \cdots \land c_n$ 的布林算式
- 析取範式（disjunctive normal form, DNF）：
  - $\vee$ 和 $\land$ 互換的 CNF
$k-\text{SAT}$ 就是求解子句長度皆為 $k$ 之 CNF 的問題

從零一開始

我們先從 $1-\text{SAT}$ 開始吧
子句長度為 $1$ 的 CNF 是什麼？
- 形如 $l_1 \land l_2 \land \cdots \land l_n$
- 例： $\ a \land \neg b \land c \land \neg d$
不就是把所有東西都設成 true 就好嗎
- 還有檢查有沒有 $l_i \land \neg l_i$ 存在
- 沒了，就這樣
阿你是在期待什麼

回到 $2-\text{SAT}$

所以這要怎麼解
- 我都把它放在圖論了，應該跟圖論有點關係吧？
我們先想一下在一個子句 $c=(a \vee b)$ 中，有什麼性質吧
- 在 $c = 1$ 時， $b = 1$ 是 $\neg a = 1$ 的必要條件
- 那 $b = 1$ 是 $\neg a = 1$ 的充分條件嗎？
  - 不是！
- 如果 $c_1 \land c_2 \land \cdots \land c_n = 1$ ，則 $c_i = 1$
  - 若 $c_i = (a_i,\,b_i)$ ：
    - $\neg a \rightarrow b$
    - $\neg b \rightarrow a$

把狀態化成圖

剛剛狀態都化成箭頭了，不要不知道這是有向圖欸

把狀態化成圖

剛剛狀態都化成箭頭了，不要不知道這是有向圖欸
然後呢？
多一些狀態好了，例如 $(a \vee \neg b)\land(b \vee c)\land(\neg a \vee \neg c)\land(b \vee \neg d)$

a

b

\neg a

\neg a

\neg b

\neg b

把狀態化成圖

剛剛狀態都化成箭頭了，不要不知道這是有向圖欸
然後呢？
多一些狀態好了，例如 $(a \vee \neg b)\land(b \vee c)\land(\neg a \vee \neg c)\land(c \vee \neg d)$

a

b

\neg a

\neg a

\neg b

\neg b

c

d

\neg c

\neg c

\neg d

\neg d

什麼情況會無解

當 $a$ 和 $\neg a$ 同時需要成立的時候

什麼情況會無解

當 $a$ 和 $\neg a$ 同時需要成立的時候
$(a \vee \neg b)\land(b \vee \neg c)\land(\neg a \vee \neg b)\land(b \vee c)$

a

\neg a

\neg a

b

\neg b

\neg b

c

\neg c

\neg c

什麼情況會無解

當 $a$ 和 $\neg a$ 同時需要成立的時候
$(a \vee \neg b)\land(b \vee \neg c)\land(\neg a \vee \neg b)\land(b \vee c)$
- 當 $a$ 和 $\neg a$ 在同一個 SCC 中時！

a

\neg a

\neg a

b

\neg b

\neg b

c

\neg c

\neg c

如果不是強連通？

不在同一個強連通分量的話，就一定可以構造解

如果不是強連通？

不在同一個強連通分量的話，就一定可以構造解
$(a \vee \neg b)\land(b \vee \neg c)\land(a \vee b)\land(\neg b \vee \neg c)$

a

\neg a

\neg a

b

\neg b

\neg b

c

\neg c

\neg c

如果不是強連通？

不在同一個強連通分量的話，就一定可以構造解
$(a \vee \neg b)\land(b \vee \neg c)\land(a \vee b)\land(\neg b \vee \neg c)$
從沒有被需求的開始
- 反過來拓樸排序！

a

\neg a

\neg a

b

\neg b

\neg b

c

\neg c

\neg c

課後練習

都會 1-SAT 和 2-SAT 了吧
- 相信大家都會數學歸納法
~~請回家解 3-SAT，寫完跟我對答案~~
補充參考資料

例題

沒了

Graph[2]

algorithm[18] 22527 Brine

我是誰

連通性

連通性

連通性

連通度的重要性

連通度的重要性

連通度的重要性

連通度的重要性

連通度的重要性

連通度的重要性

割點 Cut Vertex

割點 Cut Vertex

割點 Cut Vertex

割點 Cut Vertex

暴力作法

DFS Tree

DFS Tree 如何分類邊

DFS Tree 如何分類邊

DFS Tree 如何分類邊

DFS Tree 如何分類邊

DFS Tree 如何分類邊

DFS Tree 如何分類邊

DFS Tree 如何分類邊

DFS Tree 如何分類邊

DFS Tree 如何分類邊

DFS Tree 如何分類邊

DFS Tree 如何分類邊

DFS Tree 如何分類邊

DFS Tree 如何分類邊

DFS Tree 如何分類邊

DFS Tree 如何分類邊

DFS Tree 如何分類邊

如何判斷誰是割點

如何判斷誰是割點

如何判斷誰是割點

DFS 樹的根節點 rrr

利用割點性質

一位傳奇人物

Tarjan 的想法

如何計算 low(v)\text{low}(v)low(v)

Tarjan's Cut Vertex

為什麼 order(i)\text{order(i)}order(i) 是好的

橋 Bridge

橋 Bridge

橋 Bridge

橋 Bridge

還是 Tarjan 的想法

還是 Tarjan 的想法

還是 Tarjan 的想法

Tarjan's Bridge

例題

連通分量

連通分量的定義

連通分量的定義

連通分量的定義

連通分量的定義

連通分量的定義

雙連通分量

把圖「縮起來」

把圖「縮起來」

把圖「縮起來」

把圖「縮起來」

把圖「縮起來」

把圖「縮起來」

把圖「縮起來」

把圖「縮起來」

把圖「縮起來」

把圖「縮起來」

把圖「縮起來」

縮完點之後可以幹嘛

邊雙連通分量

點雙連通分量

點雙連通分量

點雙連通分量

點雙連通分量

人生而懶惰

這樣是對的嗎

這樣是對的嗎

DFS 樹的根節點 $r$

如何計算 $\text{low}(v)$

為什麼 $\text{order(i)}$ 是好的

$2-\text{SAT}$

回到 $2-\text{SAT}$