Questão 6
Num sistema de eixos cartesianos \(Oxy\), considere a hipérbole equilátera de equação \(xy = k\), sendo \(k\) um parâmetro real não nulo.
Seja \(t\) a reta tangente à hipérbole num seu ponto \(P\).
Sendo \(A\) e \(B\) os pontos de interseção de \(t\) com os eixos coordenados, prove que os triângulos \({[APO]}\) e \({[BPO]}\) são equivalentes e que a sua área não depende da escolha de \(P\).
Questão 6
Num sistema de eixos cartesianos \(Oxy\), considere a hipérbole equilátera de equação \(xy = k\), sendo \(k\) um parâmetro real não nulo.
Seja \(t\) a reta tangente à hipérbole num seu ponto \(P\).
Sendo \(A\) e \(B\) os pontos de interseção de \(t\) com os eixos coo
Questão 4
Considere a função definida por \({f(x) = \ln\left(\dfrac{ax-7}{x^2}\right)}\), em que 𝑎 é um parâmetro real positivo.
- Determine o domínio de \(f\).
-
O Teorema de Rolle afirma que, dada uma função contínua \(f\) definida num intervalo fechado \([a,b]\) e diferenciável em \(]a,b[\), se \(f(a)=f(b)\) então existe algum ponto \(c\) em \(]a,b[\) onde a tangente ao gráfico de \(f\) é horizontal, isto é, \(f'(c)=0\).
Encontre o valor de 𝑎 para o qual as hipóteses do teorema de Rolle são satisfeitas no intervalo \([1,7]\) e determine as coordenadas do ponto que verifica a tese.
Questão 3
Verifique que os pontos \(𝑂(0,0,0)\), \(𝐴(1,4,8)\), \(𝐵(-6,0,12)\) e \(𝐶(-7, -4,4)\) são coplanares.
Calcule a área e o perímetro do quadrilátero \([𝑂𝐴𝐵𝐶]\) e classifique-o.
Questão 1
Dado um triângulo \([𝐴𝐵𝐶]\) de lados \(\overline{𝐴𝐵} = 𝑎\) e \(\overline{𝐵𝐶} = \sqrt{3}𝑎\), qual das seguintes afirmações está correta?
(A) Se \(𝐴\hat{𝐶}𝐵 =\dfrac{𝜋}{6}\), então o triângulo é retângulo;
(B) Se o triângulo é retângulo, então \(𝐴\hat{C}𝐵 =\dfrac{𝜋}{6}\).
Justifique as suas respostas.
Questão 5
Determine os valores dos parâmetros reais \(𝑎\) e \(𝑏\) da função expressa por \({f(x) = \dfrac{ax^2+bx+3}{2x^2+5x-1}}\) de modo que ela tenha a reta \({𝑦 = 2}\) como assíntota horizontal e um ponto estacionário para \(𝑥 = 1\).
Para os valores encontrados, determine se \(𝑓\) tem outras assíntotas.
Questão 7
Um resistor de resistência \(𝑅\) é atravessado por uma corrente variável no tempo de intensidade \(𝐼(𝑡) = 𝐼_0 \dfrac{𝑎}{𝑡}\), com \(𝑡 > 0\) e as constantes positivas \(𝐼_0\) e \(𝑎\) expressas em amperes e segundos, respetivamente. Sabendo que a potência dissipada na resistência por efeito de Joule é \(𝑃(𝑡) = 𝑅𝐼^2(𝑡)\), determine o seu valor médio no intervalo \([2𝑎, 3𝑎]\).
Problema 2
Considere a família de curvas \(𝑓_𝑎(𝑥) =\dfrac{x^2-1}{e^{𝑎𝑥}}\) , com \(𝑎\) um parâmetro real não nulo, e denote por \(\Gamma_a\) o gráfico de \(𝑓_𝑎\).
a) Verifique que todos os gráficos \(\Gamma_a\) têm três pontos em comum e escreva as suas coordenadas.
b) À medida que o parâmetro \(𝑎\) muda, identifique os intervalos de monotonia de \(\Gamma_a\), as abcissas dos extremos relativos e dos pontos de inflexão.
c) Determine os valores do parâmetro \(𝑎\) tais que o ponto \(𝐹\), intersecção de \(\Gamma_a\) com o eixo das ordenadas, é um ponto de inflexão. Nestes valores, escreva as equações das retas tangentes em \(𝐹\).
d) Prove que, para qualquer valor de \(𝑎 \neq 0\), as curvas \(\Gamma_a\) e \(\Gamma_{-a}\) são simétricas entre si em relação ao eixo das ordenadas.
e) Determine a área da região finita do plano limitada pelos gráficos \(\Gamma_1\) e \(\Gamma_{-1}\).