樹論

講師:張秉中

今天要講的

好像有點多...

  • what is 樹
  • 樹直徑
  • 樹DP
  • 樹重心
  • LCA
  • 樹壓平
  • 輕重鍊剖分
  • 重心剖分
  • 關於樹,你還可以學的

What is 樹(tree)

  • 沒有環的圖->共有n-1條邊
  • 每個點對有唯一最短路徑

一些名詞

以1為根結點

 

  • 1是2的父節點(parent)
  • 2是1的子節點(child)

7的子樹

subtree

5的祖先

ancestor

一些名詞

以1為根結點

 

深度(degree):

根結點到此節點的最短距離

0

1

2

3

4

一些名詞

以1為根結點

 

葉節點:沒有子節點的節點

樹直徑 & DFS

diameter

樹上距離最遠的點對

How to 找直徑?

  • DFS/BFS
  • 樹DP

DFS/BFS

  • 隨便選一個點BFS/DFS找最遠點
  • 從最遠點BFS/DFS一次最遠點即為直徑

例子

0

1

1

1

2

2

2

2

3

4

5

5

例子

0

1

2

2

3

4

5

5

3

6

6

6

例子

0

1

2

2

3

4

5

5

3

6

6

6

樹DP之後會講到

題目(DFS+BFS)

樹DP

DP on tree

樹DP

  • 基本上就是跑DFS時先計算子節點答案,在反推回父節點
  • 在節點紀錄其子樹的答案

簡單的範例

cses subordinates

給一棵以節點1為根大小為N(N<2e5)的樹,求樹上各點子樹大小-1

解題思路

  • DFS子節點
  • 當節點為葉節點時,答案為1
  • 否則,節點答案為其子節點大小總和+1
  • 注意此題最後輸出答案時要-1,因為要去掉自己

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int mxn = 2e5+10;
vector<int> childs[mxn];
int sz[mxn] = {};
int n;
 
void dfs(int now){
	sz[now] = 1;
	for(auto nxt:childs[now]){
		dfs(nxt);
		sz[now] += sz[nxt];
	}
	return;
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i = 2;i<=n;i++){
		int p;
		cin>>p;
		childs[p].push_back(i);
	}
	dfs(1);
	for(int i = 1;i<=n;i++)cout<<sz[i]-1<<' ';
	return 0;
} 

回到樹直徑

  • 定根,然後DFS
  • 在節點紀錄:
    • 若為葉節點: 則記錄{1}
    • 各子節點為一端之最長路徑+1
  • 則答案為所存之所有節點中DP之(最大值+次大值-1)中最大的

圖示

{1}

{1}

{1}

圖示

{1}

{1}

{1}

{2}

{2,2}

圖示

{1}

{1}

{1}

{2}

{2,2}

{max({2})+1,

max({2,2})+1}

圖示

{1}

{1}

{1}

{2}

{2,2}

{3,3}

{max({3,3})+1}

圖示

{1}

{1}

{1}

{2}

{2,2}

{3,3}

{4}

圖示

{1}

{1}

{1}

{2}

{2,2}

{3,3}

{4}

{1}

{1}

{1}

{2,2}

{3,5,2}

在DFS一次

如果只有一個子節點則答案為

max(目前答案,該節點值)

否則答案為

max(目前答案,該節點最大值+次大值-1)

{1}

{1}

{1}

{2}

{2,2}

{3,3}

{4}

{1}

{1}

{1}

{2,2}

{3,5,2}

{1}

{1}

{1}

{2}

{2,2}

{3,3}

{4}

{1}

{1}

{1}

{2,2}

{3,5,2}

3+5-1=7

1

4

2+2-1=3

1

1

1

1

2

1

2+2-1=3

3+3-1=5

{1}

{1}

{1}

{2}

{2,2}

{3,3}

{4}

{1}

{1}

{1}

{2,2}

{3,5,2}

3+5-1=7

1

4

2+2-1=3

1

1

1

1

2

1

2+2-1=3

3+3-1=5

如果好好做的話,時間複雜度為O(n)

題目

樹重心

centroid

性質

  • 去除後所有子樹大小不超過總節點數/2
  • 一棵樹最多有兩個重心,若且唯若兩重心相鄰

how to 找重心

(對不起我只會一種作法)

  • 隨便選一個點當根,並且預處理所有點的子樹大小(用樹DP)
  • 跑dfs,如果有一個子節點大小>節點數/2->重心在那棵子樹
  • 如果找不到則此節點就是重心

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct node{
	int par,sz;
	vector<int> childs;
	node(){
		par = -1,sz = 1;
	}
};
int n;
vector<node> tree;
void get_sz(int now){
	for(auto nxt:tree[now].childs){
		if(nxt == tree[now].par)continue;
		tree[nxt].par = now;
		get_sz(nxt);
		tree[now].sz += tree[nxt].sz;
	}
	return;
}
int get_centroid(int now){
	for(auto nxt:tree[now].childs){
		if(nxt == tree[now].par)continue;
		if(tree[nxt].sz>n/2)return get_centroid(nxt);
	}
	return now;
}
int main(){
	cin>>n;
	tree = vector<node>(n+1,node());
	for(int i = 0;i<n-1;i++){
		int a,b;
		cin>>a>>b;
		tree[a].childs.push_back(b);
		tree[b].childs.push_back(a);
	}
	get_sz(1);
	cout<<get_centroid(1);
}

題目

樹壓平

tree flattening

樹壓平

  • 就是把DFS的順序壓時間戳
    • 壓法1:只在進點跟出點時壓時間戳
      • 可以發現進出點之間的時間戳就是其子樹
    • 壓法2:在每次遞迴時壓出發點的時間戳
      • 優點是一個節點在其子節點之間穿插出現
      • 因此找LCA會變成找兩時間戳之間深度最淺的點

題目

輕重鍊剖分

樹鍊剖分

heavy-light decomposition(HLD)

功能

  • 處理有關「路徑」的問題
  • 可以在樹上套資料結構(eg:線段樹)

概念

  • 每次找大小最大的子節點連成一條鍊
  • 其他子節點接出別條鍊
  • 修改節點時,修改鍊上的點,以及接到這條鍊的區間

OI wiki的圖

實作LCA

  • 定根,dfs第一次,算子樹大小
  • dfs第二次,往最大子樹走時鍊頂不動,否則鍊頂設為子節點,壓時間戳
  • 找lca時,當兩者鍊頂不同,將鍊頂較深的節點往上跳到鍊頂的父節點
  • 當鍊頂相同時則比較節點深度,較淺者為LCA

code

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct node{
	int link_top,depth,sz,par,big_son;
	vector<int> childs;
	node(){
		link_top = -1;
		depth = -1;
		sz = 1;
		big_son = -1;
	}
};
vector<node> tree;
vector<int> time_stamp;
void dfs1(int now){
	for(auto nxt:tree[now].childs){
		if(nxt == tree[now].par)continue;
		tree[nxt].par = now;
		tree[nxt].depth = tree[now].depth+1;
		dfs1(nxt);
		if(tree[now].big_son == -1 || tree[tree[now].big_son].sz<tree[nxt].sz)tree[now].big_son = nxt;
		tree[now].sz += tree[nxt].sz;
	}
	return;
}
void dfs2(int now,int top){
	time_stamp.push_back(now);
	tree[now].link_top = top;
	if(tree[now].big_son != -1)dfs2(tree[now].big_son,top);
	for(auto nxt:tree[now].childs){
		if(nxt == tree[now].par||nxt == tree[now].big_son)continue;
		dfs2(nxt,nxt);
	}
	return;
}
int lca(int a,int b){
	int ta = tree[a].link_top,tb = tree[b].link_top;
	while(ta != tb){
		if(tree[ta].depth>tree[tb].depth){
			swap(ta,tb);
			swap(a,b);
		}
		//update link
		b = tree[tb].par;
		tb = tree[b].link_top;
		cout<<a<<' '<<b<<endl;
	}
	if(tree[a].depth>tree[b].depth){
		swap(a,b);
	}
	//update link(更新同鏈上的兩節點)
	return a;
}
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	tree = vector<node>(n+1,node());
	for(int i = 1;i<=n-1;i++){
		int a,b;
		cin>>a>>b;
		tree[a].childs.push_back(b);
		tree[b].childs.push_back(a);
	}
	dfs1(1);
	dfs2(1,1);	
}

HLD複雜度

O(log(n))

  • 可以證明,每次詢問最多跳log(n)條鍊

題目

實作題

重心剖分

centroid decomposition

總之建一棵重心樹

  • 找重心,設為根節點
  • 把重心「拔掉」(可以用一個bool表示)
  • 對所有剩下的子樹找重心

網路上的圖

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct node{
	int sz;
	int parent;
	bool del;
	int val;
	vector<int> childs;
	node(){
		parent = -1;
		del = false;
		val = -1;
	}
};
vector<node> tree;
vector<node> centree;

void get_sz(int now,int par){
	tree[now].sz = 1;
	for(auto nxt:tree[now].childs){
		if(nxt == par||tree[nxt].del)continue;
		get_sz(nxt,now);
		tree[now].sz += tree[nxt].sz;
	}
	return;
}
int find_centroid(int now,int par,int tar){
	for(auto nxt:tree[now].childs){
		if(nxt == par||tree[nxt].del)continue;
		if(tree[nxt].sz>tar)return find_centroid(nxt,now,tar);
	}
	return now;
}
int cendfs(int now,int par){
	get_sz(now,now);
	int cen = find_centroid(now,now,tree[now].sz/2);
	tree[cen].del = true;
	centree[par].childs.push_back(cen);
	centree[cen].parent = par;
	for(auto nxt:tree[cen].childs){
		if(tree[nxt].del)continue;
		cendfs(nxt,cen);
	}
	return cen;
}

int main(){
	int n;
	cin>>n;
	tree = vector<node>(n+1,node());
	centree = vector<node>(n+1,node());
	for(int i = 0;i<n-1;i++){
		int a,b;
		cin>>a>>b;
		tree[a].childs.push_back(b);
		tree[b].childs.push_back(a);
	}
	int root = cendfs(1,0);
	dfs(root,root);
}

重心樹的性質

  • 深度不超過log(n)
  • 重心樹上兩點LCA在兩點最短路徑上
  • 思考一下

作法

  • 總之先建重心樹
  • 重心樹根節點開始,計算經過節點的答案,然後拔掉節點
    • how to 算一棵樹經過根的答案?
    • 紀錄每個子節點各深度的節點數cnt,之後經過點i時,該點答案為cnt[k-depth[i]]
    • (注意depth在跑重心樹時需要重新計算)
  • 繼續遞迴

作法

O(n)

作法

O(size(11))

作法

O(size(15))

作法

O(size(14))

經過觀察

  • 複雜度為:O(sum(size(i)))
  • 又重心樹上同一深度的節點數量和為深度-1
  • 重心樹深度不超過log(n)
  • 所以複雜度為O(nlog(n))

好像沒有用到重心樹的另一個性質耶

  • 就是兩點最短路經過LCA的性質
  • 重心剖分經典題 : Xenia and Tree

留給讀者自行思考

複雜度O(nlog(n)+qlog(n)log(n))或O((n+q)log(n))

看有沒有優化LCA

題目

經過這堂課,你學到了

  • 樹直徑
  • 樹DP
  • 樹重心
  • LCA
  • 樹壓平
  • 輕重鍊剖分
  • 重心剖分

關於樹,你還可以學的

其實是講師不會的

  • 樹背包問題
  • 換根DP
  • 樹分塊
  • link cut tree(這應該算樹吧)

謝謝大家

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