第六章万有引力定律

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第六章万有引力定律

第一节

行星的运动

第一节

行星的运动

托勒密

公元2世纪

地心说：地球静止不动，是宇宙的中心；太阳、月亮和行星等所有天体都绕地球运动

地心说的理论与实际的观测资料并不完全一致，也不能准确解释某些天文现象。

一、人类早期对天体运动的认识

第一节

行星的运动

开普勒第三定律（周期定律）：行星绕太阳运行的椭圆轨道半长轴 $a$ 的三次方与周期 $T$ 的二次方之比是一个常量

\frac{a^3}{T^2}= k

\frac{a^3}{T^2}= k

$k$ 是一个与行星无关的常量

行星		绕日公转周期 T / 年
水星	57.9	0.24
金星	108	0.615
地球	150	1.00
火星	228	1.88
木星	778	11.9
土星	1 430	29.5
天王星	2 870	84.0
海王星	4 500	165

轨道平均半径 $R$ / $\times 10^6 \rm{km}$

\frac{r^3}{T^2}= k

\frac{r^3}{T^2}= k

二、行星运动的规律

第一节

行星的运动

开普勒第三定律（周期定律）：行星绕太阳运行的椭圆轨道半长轴 $a$ 的三次方与周期 $T$ 的二次方之比是一个常量

开普勒

开普勒第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等

开普勒第一定律（轨道定律）：各行星都在椭圆轨道上绕太阳运行，太阳在椭圆的一个焦点上

二、行星运动的规律

第一节

行星的运动

一、人类早期对天体运动的认识

二、行星运动的规律

开普勒第三定律（周期定律）：行星绕太阳运行的椭圆轨道半长轴 $a$ 的三次方与周期 $T$ 的二次方之比是一个常量，即 $\frac{r^3}{T^2}= k$

开普勒第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等

开普勒第一定律（轨道定律）：各行星都在椭圆轨道上绕太阳运行，太阳在椭圆的一个焦点上

地心说：托勒密

日心说：哥白尼

第二节

万有引力定律

第二节

万有引力定律

一、万有引力定律

所有物体之间都存在的相互吸引力叫做万有引力

万有引力定律：自然界中任何两个物体都相互吸引，相互间引力的大小与物体质量的乘积成正比，与它们之间距离的二次方成反比。

F = G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}

F = G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}

$G$ 是比例系数，叫做引力常量，是一个既有数值又有单位的常量

$G = 6.67 \times {10^{ - 11}}{\rm{N}} \cdot {{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{/k}}{{\rm{g}}^{\rm{2}}}$

$r$ 是指可以看成质点的两物体间的距离，若是质量均匀分布的球体则是两个球心间的距离。

第二节

万有引力定律

一、万有引力定律

对于万有引力定律的表达式 $F = G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}$ ，下列说法正确的是（）
A．表达式中的 $G$ 为引力常量，其数值是人为规定的
B．当 $r$ 趋近于零时，万有引力趋于无穷大
C．此表达式仅适用于计算质点间万有引力的大小
D． $m_1$ 与 $m_2$ 之间的引力总是大小相等，与 $m_1$ 、 $m_2$ 是否相等无关

P57 例1

第二节

万有引力定律

课本例题

已知地球的质量 $m_地 = 5.972 \times 10^{24} \rm{kg}$ ，地球半径 $r_地 = 6.371\times 10^6 \rm{m}$ 。利用万有引力定律计算地球表面重力加速度 $g$ 的大小。

计算星球表面的重力加速度

分析：地球表面的物体所受到的重力近似等于地球对物体的万有引力。由引力常量、地球质量和半径可以计算地球表面的重力加速度。

解：设地球上有一物体的质量为 $m$ ，物体所受重力为 $mg$ ，地球对物体的万有引力为 G $\frac{{{m_地}m}}{{r_地^2}}$ ，由 $mg = G \frac{{{m_地}m}}{{r_地^2}}$ 可得

$g = G\frac{{{m_地}}}{{r_地^2}} = 6.67 \times {10^{ - 11}} \times \frac{{5.972 \times {{10}^{24}}}}{{{{(6.371 \times {{10}^6})}^2}}}{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2} \approx 9.81{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$

$G \approx {F_万}$

第二节

万有引力定律

已知火星质量是地球质量的 $k$ 倍，半径是地球半径的 $p$ 倍，地球表面的重力加速度为 $g$ ，忽略星球的自转，则火星表面的重力加速度为（）

A． $kg$ B． $pg$ C． $\frac{k}{p} g$ D． $\frac{k}{p_2} g$

计算星球表面的重力加速度

P59 /4

第二节

万有引力定律

课本例题

已知地球的质量 $m_地 = 5.972 \times 10^{24} \rm{kg}$ ，地球半径 $r_地 = 6.371\times 10^6 \rm{m}$ 。利用万有引力定律计算地球表面重力加速度 $g$ 的大小。

计算星球表面的重力加速度

分析：地球表面的物体所受到的重力近似等于地球对物体的万有引力。由引力常量、地球质量和半径可以计算地球表面的重力加速度。

解：设地球上有一物体的质量为 $m$ ，物体所受重力为 $mg$ ，地球对物体的万有引力为 G $\frac{{{m_地}m}}{{r_地^2}}$ ，由 mg = G $\frac{{{m_地}m}}{{r_地^2}}$ 可得

$g = G\frac{{{m_地}}}{{r_地^2}} = 6.67 \times {10^{ - 11}} \times \frac{{5.972 \times {{10}^{24}}}}{{{{(6.371 \times {{10}^6})}^2}}}{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2} \approx 9.81{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$

第三节

万有引力定律的应用

计算地球表面的重力加速度

计算地球上空的重力加速度

思路 1：重力近似等于万有引力

mg= G\frac{m_地m}{r^2}

mg= G\frac{m_地m}{r^2}

得： $g = \frac{Gm_地}{r^2}$

若 $r$ 取星球半径 $R_地$ ，则可求地球表面重力加速度

$g_0 = \frac{Gm_地}{R_地^2}$

若 $r$ 取 $R_地 + h$ ，则可求距地表上空 $h$ 高度的重力加速度

$g_h = \frac{Gm_地}{(R_地 + h)^2}$

一、称量天体的质量——地球

第三节

万有引力定律的应用

思路 1：重力近似等于万有引力

mg= G\frac{m_地m}{r_地^2}

mg= G\frac{m_地m}{r_地^2}

得： $m_地 = \frac{gr_地^2}{G}$

${m_地} = \frac{{gr_地^2}}{G} = \frac{{9.8 \times {{(6.371 \times {{10}^6})}^2}}}{{6.67 \times {{10}^{ - 11}}}}{\rm{kg}} \approx 6 \times {10^{24}}{\rm{kg}}$

卡文迪什把自己的实验说成是“称量地球质量的实验”

一、称量天体的质量——太阳

第三节

万有引力定律的应用

太阳 $m_日$

地球 $m_地$

$F_万$

思路 2：万有引力作为向心力

G\frac{{{m_日}{m_地}}}{{{r^2}}} = {m_地}{\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)^2}r

G\frac{{{m_日}{m_地}}}{{{r^2}}} = {m_地}{\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)^2}r

得： $m_日 = \frac{{4{\pi ^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$

天文观测表明，地球绕太阳公转的轨道半径 $r = 1.49 \times {10^{11}}{\rm{m}}$ ，周期为 1 年 = $3.16 \times {10^7}{\rm{s}}$

${m_日} = \frac{{4 \times {{3.14}^2} \times {{(1.49 \times {{10}^{11}})}^3}}}{{6.67 \times {{10}^{ - 11}} \times {{(3.16 \times {{10}^7})}^2}}}{\rm{kg}} \approx 1.96 \times {10^{30}}{\rm{kg}}$

如果已知卫星绕行星公转的周期以及卫星和行星之间的距离，利用同样的方法，我们也可以“称量”行星的质量。

一、称量天体的质量

第三节

万有引力定律的应用

我国月球探测计划嫦娥工程已经启动，“嫦娥一号”探月卫星也已发射。设想“嫦娥一号”靠近月球表面做匀速圆周运动，测得飞行 $n$ 圈所用的时间为 $t$ ，已知月球半径为 $R$ ，引力常量为 $G$ ，月球质量分布均匀。求：
（1）“嫦娥一号”绕月球飞行的周期；
（2）月球的质量；
（3）月球表面的重力加速度。

P65/10

本节课知识点总结

第三节

万有引力定律的应用

mg= G\frac{Mm}{r^2}

mg= G\frac{Mm}{r^2}

G\frac{{{M}{m}}}{{{r^2}}} = {m}{\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)^2}r

G\frac{{{M}{m}}}{{{r^2}}} = {m}{\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)^2}r

思路 1：重力近似等于万有引力

$g = \frac{GM}{r^2}$

$M = \frac{gr^2}{G}$

思路 2：万有引力作为向心力

$M = \frac{{4{\pi ^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$

……？

$g_0 = \frac{GM}{R^2}$

$g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$

$M$

$m$

$R$

$h$

$r$

第三节

万有引力定律的应用

思路 2：万有引力作为向心力

G\frac{{Mm}}{{{r^2}}} = m{a_向} = m\frac{{{v^2}}}{r} = m{\omega ^2}r = m{\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)^2}r

G\frac{{Mm}}{{{r^2}}} = m{a_向} = m\frac{{{v^2}}}{r} = m{\omega ^2}r = m{\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)^2}r

{a_向} = \frac{{GM}}{{{r^2}}}

{a_向} = \frac{{GM}}{{{r^2}}}

v = \sqrt {\frac{{GM}}{r}}

v = \sqrt {\frac{{GM}}{r}}

\omega = \sqrt {\frac{{GM}}{{{r^3}}}}

\omega = \sqrt {\frac{{GM}}{{{r^3}}}}

T = 2\pi \sqrt {\frac{{{r^3}}}{{GM}}}

T = 2\pi \sqrt {\frac{{{r^3}}}{{GM}}}

\frac{{{r^3}}}{{{T^2}}} = \frac{{GM}}{{4{\pi ^2}}}

\frac{{{r^3}}}{{{T^2}}} = \frac{{GM}}{{4{\pi ^2}}}

M = \frac{{4{\pi ^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}

M = \frac{{4{\pi ^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}

三、行星、（人造）地球卫星的运动规律

$M$

$m$

$r$

第三节

万有引力定律的应用

三、行星、（人造）地球卫星的运动规律

2021年5月15日，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器成功着陆火星。研究火星是人类探索向火星移民的一个重要步骤。假设火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动，火星轨道在地球轨道外侧，如图，与地球相比较，下列说法正确的是（）

A．火星运行周期较大 B．火星运行速度较大

C．火星运行角速度较大 D．火星运行的向心加速度较大

P62/例2

$M$

第三节

万有引力定律的应用

三、行星、（人造）地球卫星的运动规律

若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为 3∶2，则火星与地球绕太阳运动的（）

A．公转周期之比为 27∶8 B．线速度大小之比为 $\sqrt{3}$ ∶ $\sqrt{2}$

C．角速度之比为 $2\sqrt{2}$ ∶ $3\sqrt{3}$ D．向心加速度大小之比为 9∶4

P63/5

三、行星、（人造）地球卫星的运动规律

第三节

万有引力定律的应用

v = \sqrt {\frac{{G{m_地}}}{r_地}} = \sqrt {\frac{{6.67 \times {{10}^{ - 11}} \times 5.97 \times {{10}^{24}}}}{{6.37 \times {{10}^6}}}} {\rm{m/s}}

v = \sqrt {\frac{{G{m_地}}}{r_地}} = \sqrt {\frac{{6.67 \times {{10}^{ - 11}} \times 5.97 \times {{10}^{24}}}}{{6.37 \times {{10}^6}}}} {\rm{m/s}}

当卫星贴着地表飞行时，地球半径 $r_地$ 可代替卫星到地心的距离 $r$

\approx 7.9 \times {10^3}{\rm{m/s}} = 7.9{\rm{km/s}}

\approx 7.9 \times {10^3}{\rm{m/s}} = 7.9{\rm{km/s}}

此速度又叫做第一宇宙速度，若以第一宇宙速度水平抛出苹果，苹果将不再落回地面，而成为地球的“人造卫星”

三、行星、（人造）地球卫星的运动规律

第三节

万有引力定律的应用

地球同步地球卫星

必在地球赤道平面

h = \sqrt[3]{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{\pi ^2}}}}} - R = 3.6 \times {10^6}{\rm{m}}

h = \sqrt[3]{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{\pi ^2}}}}} - R = 3.6 \times {10^6}{\rm{m}}

周期与地球自转周期相同，即 $T$ = 24 h

离地球表面高度为一确定值：

第三节

万有引力定律的应用

思路 1：重力近似等于万有引力

mg= G\frac{Mm}{r^2}

mg= G\frac{Mm}{r^2}

$g = \frac{GM}{r^2}$

$M = \frac{g_0R^2}{G}$

$g_0 = \frac{GM}{R^2}$

$g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$

思路 2：万有引力作为向心力

G\frac{{Mm}}{{{r^2}}} = m{a_向} = m\frac{{{v^2}}}{r} = m{\omega ^2}r = m{\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)^2}r

G\frac{{Mm}}{{{r^2}}} = m{a_向} = m\frac{{{v^2}}}{r} = m{\omega ^2}r = m{\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)^2}r

{a_向} = \frac{{GM}}{{{r^2}}}

{a_向} = \frac{{GM}}{{{r^2}}}

v = \sqrt {\frac{{GM}}{r}}

v = \sqrt {\frac{{GM}}{r}}

\omega = \sqrt {\frac{{GM}}{{{r^3}}}}

\omega = \sqrt {\frac{{GM}}{{{r^3}}}}

T = 2\pi \sqrt {\frac{{{r^3}}}{{GM}}}

T = 2\pi \sqrt {\frac{{{r^3}}}{{GM}}}

\frac{{{r^3}}}{{{T^2}}} = \frac{{GM}}{{4{\pi ^2}}}

\frac{{{r^3}}}{{{T^2}}} = \frac{{GM}}{{4{\pi ^2}}}

M = \frac{{4{\pi ^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}

M = \frac{{4{\pi ^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}

r = \sqrt[3]{{\frac{{GM{T^2}}}{{4{\pi ^2}}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{\pi ^2}}}}}

r = \sqrt[3]{{\frac{{GM{T^2}}}{{4{\pi ^2}}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{\pi ^2}}}}}

黄金代换

开普勒第三定律

第三节

万有引力定律的应用

已知地球表面的自由落体加速度为 g，地球半径为 R，则地球的“第一宇宙速度”是 $\sqrt{gR}$ 。

v = \sqrt {\frac{{G{m_地}}}{r_地}} = \sqrt {\frac{{6.67 \times {{10}^{ - 11}} \times 5.97 \times {{10}^{24}}}}{{6.37 \times {{10}^6}}}} {\rm{m/s}}

v = \sqrt {\frac{{G{m_地}}}{r_地}} = \sqrt {\frac{{6.67 \times {{10}^{ - 11}} \times 5.97 \times {{10}^{24}}}}{{6.37 \times {{10}^6}}}} {\rm{m/s}}

\approx 7.9 \times {10^3}{\rm{m/s}} = 7.9{\rm{km/s}}

\approx 7.9 \times {10^3}{\rm{m/s}} = 7.9{\rm{km/s}}

地球可以看作一个巨大的拱形桥

mg = m\frac{{{v^2}}}{r}

mg = m\frac{{{v^2}}}{r}

v =\sqrt{gR}

v =\sqrt{gR}

第六章万有引力定律

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第六章万有引力定律

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