METODI DI COLLOCAZIONE

IDEA DI BASE

Voglio approssimare la soluzione di

$$\begin{cases} \dot{y}(t) = f(t,y(t))\\ y(t_0)=y_0 \end{cases}$$

e lo faccio calcolando un polinomio $u(t)$ di grado $s$ che soddisfa

$u(t_0)=y_0$
$\dot{u}(t_0+c_ih)=f(t_0+c_ih,u(t_0+c_ih))$, $i=1,...,s$

con $c_1,...,c_s\in [0,1]$.

L'approssimazione di $y(t_0+h)$ che considero sarà quindi $y_1=u(t_0+h)$

VISUALIZZAZIONE

$y_1=u(t_0+h)$

$y_0$

$u(t_0+c_1h)$

$u(t_0+c_2h)$

$u(t_0+c_3h)$

$f(t_0+c_1h,u(t_0+c_1h))$

$f(t_0+c_2h,u(t_0+c_2h))$

$f(t_0+c_3h,u(t_0+c_3h))$

La curva bianca non è la soluzione esatta, che non conosciamo..ma il polinomio $u(t)$

DERIVAZIONE

La condizione

$\dot{u}(t_0+c_ih)=f(t_0+c_ih,u(t_0+c_ih))$

ci dice che la derivata del polinomio è un polinomio interpolante di $f$. Esso sarà un polinomio di grado $s-1$.

Visto ciò che sappiamo dell'interpolante di Lagrange, possiamo scrivere

$$ \dot{u}(t) = \sum_{i=1}^s f(t_i,u(t_i))$$ con $t\in [t_0,t_0+h]$, e $t_i=t_0+c_ih$.

$l_i(t)$

DERIVAZIONE

Se ora integriamo entrambi i lati rispetto a $t$ nell'intervallo $[t_0,t_0+h]$ otteniamo:

\int_{t_0}^{t_0+h} \dot{u}(t)dt = u(t_0+h)-u(t_0)\\ =y_1-y_0

=\sum_{i=1}^s f(t_0+c_ih,u(t_0+c_ih))\int_{t_0}^{t_0+h}l_i(t)dt

= h\sum_{i=1}^s f(t_0+c_ih,u(t_0+c_ih))\int_{0}^{1}l_i(w)dw \\ t=t_0+wh,\,\, dt = hdw,\\ t\in[t_0,t_0+h],\,w\in [0,1]

DERIVAZIONE

y_1 = y_0 + h\sum_{i=1}^s b_if(t_0+c_ih,u(t_0+c_ih))

con

$\int_0^1l_i(w) =:b_i$

Rimane da trovare il valore di $u(t_0+c_ih)$. Per farlo seguiamo una procedura simile ma integriamo tra $t_0$ e $t_0+c_ih$ l'espressione da cui siamo partiti.

DERIVAZIONE

\int_{t_0}^{t_0+c_ih} \dot{u}(t)dt = u(t_0+c_ih)-u(t_0)\\ =u(t_0+c_ih)-y_0

=\sum_{j=1}^s f(t_0+c_jh,u(t_0+c_jh))\int_{t_0}^{t_0+c_ih}l_j(t)dt

= h\sum_{j=1}^s f(t_0+c_jh,u(t_0+c_jh))\int_{0}^{c_i}l_j(w)dw \\ t=t_0+wh,\,\, dt = hdw,\\ t\in[t_0,t_0+c_ih],\,w\in [0,c_i]

DERIVAZIONE

u(t_0+c_ih) = y_0 + \\ + h\sum_{j=1}^s a_{ij} f(t_0+c_jh,u(t_0+c_jh))

Dove

$ a_{ij} := \int_{0}^{c_i}l_j(w)dw$

RIASSUNTO

u(t_0+c_ih) = y_0 + \\ + h\sum_{j=1}^s a_{ij} f(t_0+c_jh,u(t_0+c_jh))

Dove

$ a_{ij} := \int_{0}^{c_i}l_j(w)dw$

$ b_i := \int_0^1 l_i(w)dw$

y_1 = y_0 + h\sum_{i=1}^s b_if(t_0+c_ih,u(t_0+c_ih))

RISCRITTURA

Y_i = y_0 + h\sum_{j=1}^s a_{ij} f(t_0+c_jh,Y_j)

Dove

$ a_{ij} := \int_{0}^{c_i}l_j(w)dw$

$ b_i := \int_0^1 l_i(w)dw$

y_1 = y_0 + h\sum_{i=1}^s b_if(t_0+c_ih,Y_i)

Questo vedremo che è una particolare famiglia di quelli che chiameremo "METODI RUNGE-KUTTA"

ESEMPI

y_1=u\left(t_0+h\right)=\\ y_0+\frac{h}{2}\left(f\left(t_0+h, y_1\right)+f\left(t_0, y_0\right)\right)

METODO DEI TRAPEZI

METODO DEL PUNTO MEDIO IMPLICITO

y_{n+1}=y_n+h f\left(t_n+\frac{h}{2}, \frac{y_n+y_{n+1}}{2}\right)

$c_1=0,\,c_2=1$

$c_1=\frac{1}{2}$, è parte dei metodi di Gauss-Legendre, che hanno ordine $2s$ quando usiamo $s$ nodi.