master-3

m\ddot{\varphi}_i + \dot{\varphi}_i = \omega + \frac{1}{N} \sum_{j = 1}^N \sin{(\varphi_j - \varphi_i - \alpha)},

m\ddot{\varphi}_i + \dot{\varphi}_i = \omega + \frac{1}{N} \sum_{j = 1}^N \sin{(\varphi_j - \varphi_i - \alpha)},

где $m$ - параметр инерции, $\omega$ - постоянный вращающий момент, $\alpha$ - фазовая задержка, $N$ - общее число элементов

Введение и МОДЕЛЬ

[1] Sarkar M., Gupta S. Synchronization in the Kuramoto model in presence of stochastic resetting //arXiv preprint arXiv:2203.00339. – 2022.

[2] Sarkar M. Synchronization transition in the two-dimensional Kuramoto model with dichotomous noise //Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. – 2021. – Т. 31. – №. 8. – С. 083102.

[3] Solovev A., Friedrich B. M. Synchronization in cilia carpets and the Kuramoto model with local coupling: Breakup of global synchronization in the presence of noise //Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. – 2022. – Т. 32. – №. 1. – С. 013124.

[4] Wiesenfeld K., Colet P., Strogatz S. H. Synchronization transitions in a disordered Josephson series array //Physical review letters. – 1996. – Т. 76. – №. 3. – С. 404.

Модель Курамото описывает поведения большого набора связанных осцилляторов. Она мотивирована поведением реальных систем и нашла широкое применение в биологии, нейронауке и физике.

m\ddot{\varphi}_i + \dot{\varphi}_i = \omega + \frac{1}{N} \sum_{j = 1}^N \sin{(\varphi_j - \varphi_i - \alpha)},

m\ddot{\varphi}_i + \dot{\varphi}_i = \omega + \frac{1}{N} \sum_{j = 1}^N \sin{(\varphi_j - \varphi_i - \alpha)},

где $m$ - параметр инерции, $\omega$ - постоянный вращающий момент, $\alpha$ - фазовая задержка, $N$ - общее число элементов

Уединенные состояния

[5] Munyaev V.O., Bolotov M.I., Smirnov L.A., Osipov G.V., Belykh I. Stability of rotatory solitary states in Kuramoto networks with inertia // Physical Review E. V. 105. 2022. P. 024203. 18 February 2022

$N - 1$

$1$

m\ddot{\varphi}_i + \dot{\varphi}_i = \omega + \frac{1}{N} \sum_{j = 1}^N \sin{(\varphi_j - \varphi_i - \alpha)}

m\ddot{\varphi}_i + \dot{\varphi}_i = \omega + \frac{1}{N} \sum_{j = 1}^N \sin{(\varphi_j - \varphi_i - \alpha)}

Цель работы

Целью данной работы является определение характеристик двухкластерных вращательных режимов в системе Курамото с инерцией и связью Курамото-Сакагучи [6] для успешного достижения которой были поставлены следующие задачи:

Определение областей существования и типов возникающих двухкластерных вращательных режимов в зависимости от управляющих параметров
Определение устойчивости двухкластерных вращательных режимов в зависимости от управляющих параметров
Реализация программного комплекса, позволяющего эффективно находить интересующие вращательные движения, а также определять их устойчивость в произвольных системах связанных элементов

[6] H. Sakaguchi, Physical Review E 73, 031907 (2006).

где $m$ - параметр инерции, $\omega$ - постоянный вращающий момент, $\alpha$ - фазовая задержка, $N$ - общее число элементов

\begin{cases} m\ddot{\psi}_1 + \dot{\psi}_1 = \omega + \frac{N-K}{N} \sin{(\psi_2 - \psi_1 - \alpha)} - \frac{K}{N}\sin{\alpha},\\ m\ddot{\psi}_2 + \dot{\psi}_2 = \omega + \frac{K}{N} \sin{(\psi_1 - \psi_2 - \alpha)} - \frac{N - K}{N}\sin{\alpha}. \end{cases}

\begin{cases} m\ddot{\psi}_1 + \dot{\psi}_1 = \omega + \frac{N-K}{N} \sin{(\psi_2 - \psi_1 - \alpha)} - \frac{K}{N}\sin{\alpha},\\ m\ddot{\psi}_2 + \dot{\psi}_2 = \omega + \frac{K}{N} \sin{(\psi_1 - \psi_2 - \alpha)} - \frac{N - K}{N}\sin{\alpha}. \end{cases}

\begin{cases} m\ddot{\psi}_1 + \dot{\psi}_1 = \omega + (1 - \beta) \sin{(\psi_2 - \psi_1 - \alpha)} - \beta\sin{\alpha}, \\ m\ddot{\psi}_2 + \dot{\psi}_2 = \omega + \beta \sin{(\psi_1 - \psi_2 - \alpha)} - (1 - \beta)\sin{\alpha}. \end{cases}

\begin{cases} m\ddot{\psi}_1 + \dot{\psi}_1 = \omega + (1 - \beta) \sin{(\psi_2 - \psi_1 - \alpha)} - \beta\sin{\alpha}, \\ m\ddot{\psi}_2 + \dot{\psi}_2 = \omega + \beta \sin{(\psi_1 - \psi_2 - \alpha)} - (1 - \beta)\sin{\alpha}. \end{cases}

Замена: $\beta = \frac{K}{N}$

двухкластерное состояние:

двухкластерный режим

$N - K$

$K < N/2$

X = \psi_1 - \psi_2, \\ m\ddot{X} + \dot{X} = (1 - 2 \beta) \sin{\alpha} - \left[(1-\beta)\sin{(X + \alpha)} + \beta\sin{(X - \alpha)} \right].

X = \psi_1 - \psi_2, \\ m\ddot{X} + \dot{X} = (1 - 2 \beta) \sin{\alpha} - \left[(1-\beta)\sin{(X + \alpha)} + \beta\sin{(X - \alpha)} \right].

\frac{d^2 \Phi }{d\hat{t}^2} + \rho \frac{d\Phi}{d\hat{t}} + \sin{\Phi} = \gamma

\frac{d^2 \Phi }{d\hat{t}^2} + \rho \frac{d\Phi}{d\hat{t}} + \sin{\Phi} = \gamma

R^2 = (N - 2K)^2 \sin{\alpha}^2 + N^2 \cos{\alpha}^2, \\ \rho = \sqrt{\frac{N}{m R}}, \ t = \hat{t} \frac{N}{\rho R}, \gamma = \frac{N - 2K}{R}\sin{\alpha}, \\ \Phi = X + \delta, \ \delta = \arccos{(\frac{N}{R}\cos{\alpha})}. \\

R^2 = (N - 2K)^2 \sin{\alpha}^2 + N^2 \cos{\alpha}^2, \\ \rho = \sqrt{\frac{N}{m R}}, \ t = \hat{t} \frac{N}{\rho R}, \gamma = \frac{N - 2K}{R}\sin{\alpha}, \\ \Phi = X + \delta, \ \delta = \arccos{(\frac{N}{R}\cos{\alpha})}. \\

Замена переменных:

\begin{cases} m\ddot{\psi}_1 + \dot{\psi}_1 = \omega + (1 - \beta) \sin{(\psi_2 - \psi_1 - \alpha)} - \beta\sin{\alpha}, \\ m\ddot{\psi}_2 + \dot{\psi}_2 = \omega + \beta \sin{(\psi_1 - \psi_2 - \alpha)} - (1 - \beta)\sin{\alpha}. \end{cases}

\begin{cases} m\ddot{\psi}_1 + \dot{\psi}_1 = \omega + (1 - \beta) \sin{(\psi_2 - \psi_1 - \alpha)} - \beta\sin{\alpha}, \\ m\ddot{\psi}_2 + \dot{\psi}_2 = \omega + \beta \sin{(\psi_1 - \psi_2 - \alpha)} - (1 - \beta)\sin{\alpha}. \end{cases}

Динамика Расстройки фаз

$T(\rho)$ - кривая Трикомми

Click on equation (based on link)

Анализ устойчивости стационарных состояний

При $\beta \rightarrow 0.5$ стационарные состояния равновесия стремятся к $\pi$

Потеря устойчивости в исходной системе

Тык :)

ВРАЩАЮЩАЯся расстройка фаз: СУЩЕСТВОВАНИЕ

Уравнение границ зон существования:

m = \frac{1}{\sqrt{(1 - 2\beta)^2\sin{\alpha}^2 + \cos{\alpha}^2} \cdot T_{ricommy}^{-1}(\frac{(1 - 2\beta)\sin{\alpha}}{\sqrt{(1 - 2\beta)^2\sin{\alpha}^2 + \cos{\alpha}^2}})}

m = \frac{1}{\sqrt{(1 - 2\beta)^2\sin{\alpha}^2 + \cos{\alpha}^2} \cdot T_{ricommy}^{-1}(\frac{(1 - 2\beta)\sin{\alpha}}{\sqrt{(1 - 2\beta)^2\sin{\alpha}^2 + \cos{\alpha}^2}})}

Режим при $\beta = 0.5$ не существует. При фиксированном $N$ cуществование режима при $K=K^*$ также означает существование режимов $K < K^*$

двухкластерный режим

\begin{cases} m\ddot{\delta}_i + \dot{\delta}_i = \frac{1}{N} \left( \cos{\alpha} \sum_{j = 1}^K (\delta_j - \delta_i) + \cos{(X(t) + \alpha)} \sum_{j = K + 1}^N (\delta_j - \delta_i) \right), \ i = \overline{1,K}, \\ m\ddot{\delta}_i + \dot{\delta}_i = \frac{1}{N} \left( \cos{(X(t) - \alpha)} \sum_{j = 1}^K (\delta_j - \delta_i) + \cos{\alpha} \sum_{j = K + 1}^N (\delta_j - \delta_i) \right), \ i = \overline{K + 1,N}. \end{cases}

\begin{cases} m\ddot{\delta}_i + \dot{\delta}_i = \frac{1}{N} \left( \cos{\alpha} \sum_{j = 1}^K (\delta_j - \delta_i) + \cos{(X(t) + \alpha)} \sum_{j = K + 1}^N (\delta_j - \delta_i) \right), \ i = \overline{1,K}, \\ m\ddot{\delta}_i + \dot{\delta}_i = \frac{1}{N} \left( \cos{(X(t) - \alpha)} \sum_{j = 1}^K (\delta_j - \delta_i) + \cos{\alpha} \sum_{j = K + 1}^N (\delta_j - \delta_i) \right), \ i = \overline{K + 1,N}. \end{cases}

m\ddot{\delta}_i + \dot{\delta}_i = \frac{1}{N} \sum_{j = 1}^N \cos{(\psi_j - \psi_i - \alpha)} \cdot (\delta_j - \delta_i)

m\ddot{\delta}_i + \dot{\delta}_i = \frac{1}{N} \sum_{j = 1}^N \cos{(\psi_j - \psi_i - \alpha)} \cdot (\delta_j - \delta_i)

m\ddot{\varphi}_i + \dot{\varphi}_i = \omega + \frac{1}{N} \sum_{j = 1}^N \sin{(\varphi_j - \varphi_i - \alpha)}

m\ddot{\varphi}_i + \dot{\varphi}_i = \omega + \frac{1}{N} \sum_{j = 1}^N \sin{(\varphi_j - \varphi_i - \alpha)}

линеаризация $\varphi_i = \psi_i + \delta_i$

\begin{cases} m\ddot{\psi}_1 + \dot{\psi}_1 = \omega + (1 - \beta) \sin{(\psi_2 - \psi_1 - \alpha)} - \beta\sin{\alpha}, \\ m\ddot{\psi}_2 + \dot{\psi}_2 = \omega + \beta \sin{(\psi_1 - \psi_2 - \alpha)} - (1 - \beta)\sin{\alpha}. \end{cases}

\begin{cases} m\ddot{\psi}_1 + \dot{\psi}_1 = \omega + (1 - \beta) \sin{(\psi_2 - \psi_1 - \alpha)} - \beta\sin{\alpha}, \\ m\ddot{\psi}_2 + \dot{\psi}_2 = \omega + \beta \sin{(\psi_1 - \psi_2 - \alpha)} - (1 - \beta)\sin{\alpha}. \end{cases}

ВРАЩАЮЩАЯся РАССТРОЙКА ФАЗ: УСТОЙЧИВОСТЬ

\eta_1 = \frac{1}{K} \sum_{i = 1}^K \delta_i - \frac{1}{N - K} \sum_{i = K + 1}^N \delta_i, \\ \eta_2 = \frac{1}{K} \sum_{i = 1}^K \delta_i + \frac{1}{N - K} \sum_{i = K + 1}^N \delta_i, \\ \xi_n = \delta_{n+1} - \delta_n, \ 1 \leq n \leq K - 1, \\ \zeta_n = \delta_{n+1} - \delta_n, \ K + 1 \leq n \leq N - 1.

\eta_1 = \frac{1}{K} \sum_{i = 1}^K \delta_i - \frac{1}{N - K} \sum_{i = K + 1}^N \delta_i, \\ \eta_2 = \frac{1}{K} \sum_{i = 1}^K \delta_i + \frac{1}{N - K} \sum_{i = K + 1}^N \delta_i, \\ \xi_n = \delta_{n+1} - \delta_n, \ 1 \leq n \leq K - 1, \\ \zeta_n = \delta_{n+1} - \delta_n, \ K + 1 \leq n \leq N - 1.

Мультипликаторы для $\eta_{1,2}$ : 1, 1, $\exp{-\frac{T_x}{m}}$ , $\exp{-\frac{T_x}{m}}$

\begin{cases} m\ddot{\eta}_1 + \dot{\eta}_1 + \left( \beta \cos{(X(t) - \alpha)} + (1 - \beta) \cos{(X(t) + \alpha)} \right) \eta_1 = 0, \\ m\ddot{\eta}_2 + \dot{\eta}_2 + \left( (1 - \beta) \cos{(X(t) + \alpha)} - \beta \cos{(X(t) - \alpha)} \right) \eta_1 = 0, \end{cases}

\begin{cases} m\ddot{\eta}_1 + \dot{\eta}_1 + \left( \beta \cos{(X(t) - \alpha)} + (1 - \beta) \cos{(X(t) + \alpha)} \right) \eta_1 = 0, \\ m\ddot{\eta}_2 + \dot{\eta}_2 + \left( (1 - \beta) \cos{(X(t) + \alpha)} - \beta \cos{(X(t) - \alpha)} \right) \eta_1 = 0, \end{cases}

\begin{cases} m\ddot{\xi}_n + \dot{\xi}_n + \left( (1 - \beta) \cos{(X(t) + \alpha)} + \beta \cos{\alpha} \right) \xi_n = 0, \\ m\ddot{\zeta}_n + \dot{\zeta}_n + \left( (1 - \beta) \cos{\alpha} + \beta \cos{(X(t) - \alpha)} \right) \zeta_n = 0. \end{cases}

\begin{cases} m\ddot{\xi}_n + \dot{\xi}_n + \left( (1 - \beta) \cos{(X(t) + \alpha)} + \beta \cos{\alpha} \right) \xi_n = 0, \\ m\ddot{\zeta}_n + \dot{\zeta}_n + \left( (1 - \beta) \cos{\alpha} + \beta \cos{(X(t) - \alpha)} \right) \zeta_n = 0. \end{cases}

Замена координат:

ВРАЩАЮЩАЯся РАССТРОЙКА ФАЗ: УСТОЙЧИВОСТЬ

Карты устойчивости

Двухкластерный режим теряет устойчивость из-за потери устойчивости у одного из кластеров: как большего, так и меньшего

Карты устойчивости

Карты устойчивости

Область параметрической неустойчивости большого кластера. Развитие устойчивости в области отталкивающей связи

Карты устойчивости

Карты устойчивости

Развитие параметрической неустойчивости

Карты устойчивости

Разделение зоны устойчивости большого кластера на две несвязные компоненты. Развитие устойчивости в области отталкивающей связи

Карты устойчивости

пространственно временные диаграммы

ROTARY-STATES FRAMEWORK:

[7] Munyaev V. O. Khorkin, D., et al. Synchronization structures in the chain of rotating pendulums //Nonlinear Dynamics. – 2021. – Т. 104. – №. 3. – С. 2117-2125

[8] Munyaev V. O. Khorkin D., et al. Appearance of chaos and hyperchaos in evolving pendulum network //Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. – 2021. – Т. 31. – №. 6. – С. 063106

[9] Khorkin, D., Bolotov, M., Smirnov, L. et al. Phase Control for the Dynamics of Connected Rotators. Autom Remote Control 81, 1499–1506 (2020)

Особенности:

just in time compilation (numba)
история разработки на github
тесты, настроенный CI
выложено в pypi

Предыдущие работы, использующие функциональность данного программного комплекса:

Спасибо за внимание

получено уравнение, описывающее границы областей существования интересующего вращательного движения
показано, что в системе существует два типа двухкластерных вращательных движений. Первый характеризуется постоянной расстройкой фаз, второй характеризуется вращающейся расстройкой фаз.
двухкластерное вращательное движение с постоянной расстройкой фаз является неустойчивым при любых значениях управляющих параметров
получена система независимо описывающая устойчивость каждого кластера
построены карты устойчивости двухкластерного режима в области параметров $m$ , $\alpha$ в зависимости от параметра $\beta = \frac{K}{N}$
показано, что устойчивость двухкластерного режима часто может теряться из-за потери устойчивости у одного из кластеров, как малого, так и большого
разработан программный комплекс, позволяющий эффективно находить интересующие вращательные режимы и определять их устойчивость.

Кластерные вращательные режимы в системе глобально связанных фазовых осцилляторов с инерцией

Магистерская диссертация

Введение и МОДЕЛЬ

Уединенные состояния

Цель работы

двухкластерный режим

Динамика Расстройки фаз

Анализ устойчивости стационарных состояний

ВРАЩАЮЩАЯся расстройка фаз: СУЩЕСТВОВАНИЕ

ВРАЩАЮЩАЯся РАССТРОЙКА ФАЗ: УСТОЙЧИВОСТЬ

Замена координат:

ВРАЩАЮЩАЯся РАССТРОЙКА ФАЗ: УСТОЙЧИВОСТЬ

Карты устойчивости

Карты устойчивости

Карты устойчивости

Карты устойчивости

Карты устойчивости

Карты устойчивости

Карты устойчивости

пространственно временные диаграммы

пространственно временные диаграммы

пространственно временные диаграммы

пространственно временные диаграммы

пространственно временные диаграммы

ROTARY-STATES FRAMEWORK:

Спасибо за внимание

результаты: