ΟΙ ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΚΑΙ

ΤΟ ΚΟΣΚΙΝΟ ΤΟΥ ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗ

Ποιος ήταν ο Ερατοσθένης

• Ο Ερατοσθένης γεννήθηκε στην Κυρήνη το 276 π.Χ (σημερινή Λιβύη). Έζησε, σπούδασε και εργάστηκε στην Αλεξάνδρεια, την πρωτεύουσα της  Πτολεμαϊκής Αιγύπτου.
• Ήταν μαθηματικός, γεωγράφος, αστρονόμος, γεωδαίτης, μουσικός, ποιητής, ιστορικός, φιλόσοφος και συγγραφέας.
• Από το 234 π.Χ και για περίπου 40 χρόνια διετέλεσε διευθυντής της περίφημης Βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας και δίδαξε στο Μουσείο της Αλεξάνδρειας.
• Ήταν ο πρώτος που υποστήριξε ότι η Γη είναι μια σφαίρα που βρίσκεται στο κέντρο του Σύμπαντος.
• Επινόησε επίσης το σύστημα των γεωγραφικών παραλλήλων και μεσημβρινών.

• Διατύπωσε την υπόθεση ότι είναι δυνατό να ταξιδέψουμε κατά μήκος μιας γεωγραφικής παράλληλου ξεκινώντας από την Ιβηρία και να φτάσουμε έως την Ινδία, δια πλέοντας τον Ατλαντικό Ωκεανό.

• Ο όρος Γεωγραφία αποδίδεται στον Ερατοσθένη.

Ποιος ήταν ο Ερατοσθένης

• Θεωρείται ότι είναι ο πρώτος άνθρωπος στην ιστορία που μπόρεσε να υπολογίσει το μέγεθος της Γης.
• Αυτό το κατάφερε μετρώντας την περιφέρεια της. Για τη μέτρηση αυτή χρησιμοποίησε το ύψος του Ήλιου κατά το θερινό ηλιοστάσιο σε δύο διαφορετικά γεωγραφικά σημεία, τα οποία όμως βρίσκονταν στον ίδιο περίπου μεσημβρινό (το περίφημο πείραμα του Ερατοσθένη).
• Ο Ερατοσθένης υπολόγισε την περιφέρεια της Γης σε 39.690 χιλιόμετρα, που είναι παρά πολύ καλός υπολογισμός, με δεδομένο ότι σήμερα υπολογίζεται σε 40.007,86 χιλιόμετρα.
• Επίσης ανακάλυψε έναν τρόπο υπολογισμού των πρώτων αριθμών που είναι γνωστός ως  « Το Κόσκινο του Ερατοσθένη ».

• Το 195 π.Χ. τυφλώθηκε και ένα χρόνο αργότερα σταμάτησε να τρώει και πέθανε. Αυτό όλο συνέβη επειδή δεν μπόρεσε να αντέξει τη στέρηση της ανθρώπινης γνώσης που του επέβαλε η τύφλωση με αποτέλεσμα να αυτοκτονήσει.

Οι πρώτοι και οι σύνθετοι αριθμοί

Βρισκόμαστε στο σύνολο των φυσικών αριθμών.

• Αν ένας φυσικός αριθμός έχει ως διαιρέτες μόνο τον εαυτό του και τη μονάδα (δηλαδή έχει ακριβώς δυο διαιρέτες),  θα ονομάζεται πρώτος αριθμός.​
• Αν ένας φυσικός αριθμός έχει και άλλους διαιρέτες πέρα από τον εαυτό του και τη μονάδα (δηλαδή έχει περισσότερους από δυο διαιρέτες), θα λέγεται σύνθετος αριθμός.

Με βάση τους δυο προηγούμενους ορισμούς έχουμε ότι:

• Πρώτος θα λέγεται κάθε αριθμός που έχει ακριβώς δυο διαιρέτες και σύνθετος θα λέγεται κάθε αριθμός που έχει περισσότερους από δυο διαιρέτες.
• Ο αριθμός 1 δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος, γιατί έχει μόνο έναν διαιρέτη (τον εαυτό του).

Το Κόσκινο του Ερατοσθένη

• Είναι ένας απλός αλγόριθμος, που χρησιμοποιείται μέχρι και σήμερα, με τον οποίο μπορούμε να βρούμε όλους τους πρώτους αριθμούς που είναι μικρότεροι από έναν δοσμένο αριθμό.
• Ο αλγόριθμος στηρίζεται στους βασικούς κανόνες της διαιρετότητας που έχουμε διδαχθεί.
• Ας δούμε τώρα πως πρέπει να εργαστούμε για να βρούμε όλους τους πρώτους αριθμούς μέχρι το 120.

Το Κόσκινο του Ερατοσθένη

Βρισκόμαστε στο σύνολο των φυσικών αριθμών.

• Αρχικά αποκλείουμε τον αριθμό 0 διότι γνωρίζουμε ότι αυτός έχει ως διαιρέτες όλους τους αριθμούς άρα είναι σύνθετος.
• Στη συνέχεια αποκλείουμε τον αριθμό 1 διότι γνωρίζουμε ότι αυτός διαιρείται μόνο από τον εαυτό του (άρα δεν έχει ακριβώς δυο διαιρέτες) οπότε δεν είναι πρώτος.
• Μετά σημαδεύουμε τον αριθμό  2  που είναι πρώτος αριθμός και διαγράφουμε όλα τα πολλαπλάσιά του, τα οποία θα είναι σύνθετοι αριθμοί γιατί θα διαιρούνται τουλάχιστον από το 1, το 2 και τον εαυτό τους (έτσι θα έχουν περισσότερους από δυο διαιρέτες).
• Το ίδιο θα κάνουμε μετά και για τους αριθμούς 3, 5 και 7.
• Με αυτό τον τρόπο διαγράφονται όλοι οι σύνθετοι αριθμοί και απομένουν όλοι  οι πρώτοι, από το 1 έως το 120.

Το Κόσκινο του Ερατοσθένη

Στην επόμενη εικόνα φαίνεται η λειτουργία του αλγορίθμου που περιγράψαμε προηγουμένως καθώς και η συλλογή των πρώτων αριθμών μέχρι το 120.

Τ  Ε  Λ  Ο  Σ

ΗΛΙΑΣ  ΖΟΥΜΠΟΥΛΙΔΗΣ   ΠΕ-03