Computação Numérica

2014.4

Professor: Filipe Taveiros

Turma de reposição

As turmas de reposição são turmas destinadas exclusivamente aos alunos que reprovaram com média igual ou superior a 3,0 e que cumpriram os critérios de assiduidade em uma dada disciplina obrigatória da matriz curricular em um dos dois últimos semestres.

Nestas turmas, a critério do professor, a assiduidade pode não ser exigida, e metodologias de ensino e de avaliação não presenciais — que levem em conta que os alunos já assistiram as aulas nas turmas regulares — podem ser adotadas.

Período

Aulas: 05/01/2015

Horário: Terças e Quintas às 14:00 (Aula)

Segunda às 13:00 (Prova)

Local: Laboratório 3

Metodologia

Abordagem prática com foco em exercícios teóricos e práticos

Sem deduções e provas
Simulações interativas
Análise dos métodos numéricos em três aspectos:

O que é?
Formulação matemática?
Como se aplica?

Assuntos abordados

Expansão em série de Taylor
Resolução de equações
- Método da bisseção
- Método de Newton
- Método da secante
Sistemas lineares
- Pivotação de Gauss
- Decomposição LU
- Gauss-Seidel
- Jacobi

Ajuste de curvas e interpolação
- MMQ
- Lagrange
- Newton
Integração numérica
- Trapézio simples e composto
- Regras de Simpson
Resolução de EDOs
- Newton
- Runge-Kutta

Avaliação

- Listas de exercícios:

Uma por aula. Cada lista vale 0,5 ponto para a prova referente ao conteúdo da semana.

- Atividade de laboratório:

Será dada uma atividade de laboratório envolvendo todo o conteúdo.

- Provas:

Haverá uma prova referente aos assuntos abordados em cada semana. Esta prova ocorrerá na segunda-feira da semana subsequente.

Em todas as atividades poderá ser usado o Scilab para auxílio dos cálculos.

Avaliação

N=\frac{(P_1+L_{11}+L_{12})+(P_2+L_{21}+L_{22})+(P_3+L_{31}+L_{32})+AL}{4}

N = \frac{​ ( P ​ 1 ​ ​ + L ​ 1 1 ​ ​ + L ​ 1 2 ​ ​ ) + ( P ​ 2 ​ ​ + L ​ 2 1 ​ ​ + L ​ 2 2 ​ ​ ) + ( P ​ 3 ​ ​ + L ​ 3 1 ​ ​ + L ​ 3 2 ​ ​ ) + A L ​ ​}{​ 4 ​}

A nota da disciplina será dada por:

Calendário

Semana 1:

Série de Taylor

Solução de equações transcendentais

Semana 2:

Prova 1

Sistemas lineares

Ajuste de curvas e interpolação

Semana 3:

Prova 2

Integração

Solução de EDOs

Semana 4:

Prova 3 e Atividade de Laboratório

Computação Numérica

O que é?

Para que serve?

Como aplicar?

PROCESSOS FÍSICOS:

MECÂNICOS, ELÉTRICOS, QUÍMICOS, TÉRMICOS

ENERGIA:

MECÂNICA, ELÉTRICA, QUÍMICA, MAGNÉTICA, RADIANTE, GRAVITACIONAL, NUCLEAR

MODELAR

COMPREENDER

MODELAR

COMPREENDER

CONTROLAR

MODELAR, COMPREENDER E CONTROLAR:

Como?

Ferramentas matemáticas

f(x) = Cos(x)

f (x) = C o s (x)

\displaystyle\int{f(x)} = Sin(x) + C

\int f (x) = S i n (x) + C

g(x) = \ln(x)

g (x) = ln (x)

\displaystyle\frac{d}{dx}g(x)\text{ }=\text{ }\displaystyle\frac{1}{x}

\frac{​ d ​ ​}{​ d x ​} g (x) = \frac{​ 1 ​ ​}{​ x ​}

f(x)\text{ e }g(x)\text{?}

f (x) e g (x) ?

\displaystyle\int\text{ e }\frac{d}{dx}\text{?}

\int e \frac{​ d ​ ​}{​ d x ​} ?

Ferramentas matemáticas

\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt \text{ ?}

\int ​ - \infty ​ \infty ​ ​ f (t) e ​ - j ω t ​ ​ d t ?

\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-s t}dt \text{ ?}

\int ​ - \infty ​ \infty ​ ​ f (t) e ​ - s t ​ ​ d t ?

Ferramentas matemáticas

\displaystyle e^{j\pi}+1=0

e ​ j π ​ ​ + 1 = 0

MODELAR E COMPREENDER:

CÁLCULO ANALÍTICO

QUERO USAR UM MOTOR ELÉTRICO PARA TRACIONAR UM CABO DE AÇO LIGADO À UMA CAIXA METÁLICA QUE IRÁ ME TRANSPORTAR DO TÉRREO ATÉ O CENTÉSIMO ANDAR EM POUCOS MINUTOS, E ABRIRÁ A PORTA EXATAMENTE NUM ESPAÇO DESTINADO PARA QUE EU POSSA SAIR DA CAIXA E ENTRAR NO ANDAR CORRETO EM SEGURANÇA!

QUEM VAI CONTROLAR? COMO ESSE DISPOSITIVO REALIZARÁ OS CÁLCULOS NECESSÁRIOS?

Expansão em série de Taylor

O que é?

A Série de Taylor prevê o valor da função em um ponto em termos do valor da função e suas derivadas em outro ponto.

Formulação matemática?

f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n

f (x) = ​ n = 0 ​ \sum ​ \infty ​ ​ a ​ n ​ ​ (x - x ​ 0 ​ ​) ​ n ​ ​

Onde:

x \rightarrow

x \to

abscissa em que se deseja obter a aproximação

a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}

a ​ n ​ ​ = \frac{​ f ​ ( n ) ​ ​ ( x ​ 0 ​ ​ ) ​ ​}{​ n ! ​}

x_0 \rightarrow

x ​ 0 ​ ​ \to

ponto de expansão

Como se aplica?

Simulação interativa (SIGAA)
Exemplos e Lista de exercícios

Método numérico
(sem derivação analítica)

Exemplos

Exemplo 1:

y = f(x)=\sqrt{x+1}\quad ; \quad x_0=0 \quad ; \quad n=3

y = f (x) = \sqrt ​ x + 1 ​ ​ ​; x ​ 0 ​ ​ = 0; n = 3

Exemplo 2:

y = f(x)= \text{ }\displaystyle \frac{1}{x+1}\quad ; \quad x_0=2 \quad ; \quad n=3

y = f (x) = \frac{​ 1 ​ ​}{​ x + 1 ​}; x ​ 0 ​ ​ = 2; n = 3

Lista de exercícios

Determine a expansão em série de Taylor com grau n para as funções dadas, centradas nos pontos especificados.

y = f(x)=\log{x}\quad ; \quad x_0=2 \quad ; \quad n=3

y = f (x) = lo g x; x ​ 0 ​ ​ = 2; n = 3

y = f(x)= e^{-2x} ; \quad x_0=0 \quad ; \quad n=3

y = f (x) = e ​ - 2 x ​ ​; x ​ 0 ​ ​ = 0; n = 3

y = f(x)= \sin{x} ; \quad x_0=\pi/3 \quad ; \quad n=3

y = f (x) = sin x; x ​ 0 ​ ​ = π / 3; n = 3

y = f(x)= \frac{1}{2-x} ; \quad x_0=0 \quad ; \quad n

y = f (x) = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 - x ​}; x ​ 0 ​ ​ = 0; n

arbitrário

Solução de equações transcendentais

Método da bisseção

Solução de equações transcendentais

O que é?

Algoritmo para solução de raízes quando uma solução analítica é impossível. Em outras palavras, determinar o x que satisfaça

f(x)=0.

f (x) = 0 .

O método da bisseção é o mais fácil de implementar dentre os métodos de solução de equações. Sua principal desvantagem é o tempo de convergência, que é maior comparado com os demais métodos.

DEMONSTRAÇÃO INTERATIVA! (SIGAA)

Formulação matemática

\text{Escolhe-se um intervalo } \{a,b\} \text{ tal que}

E s c o l h e - s e u m i n t e r v a l o {a, b} t a l q u e

f(a)f(b)<0 \quad\rightarrow \quad a < r < b

f (a) f (b) < 0 \to a < r < b

x_{sn}=\text{ }\displaystyle\frac{a+b}{2}\quad\rightarrow

x ​ s n ​ ​ = \frac{​ a + b ​ ​}{​ 2 ​} \to

Repete-se este processo até que a tolerância desejada seja atingida

Solução

numérica

Cálculo do erro na solução numérica

Erro real

Tolerância na solução

Erro relativo

erro = |x_{sr}-x_{sn}|

e r r o = ∣ x ​ s r ​ ​ - x ​ s n ​ ​ ∣

\epsilon=|f(x_{sr})-f(x_{sn})|=|0-f(x_{sn})|=|f(x_{sn})|

ϵ = ∣ f (x ​ s r ​ ​) - f (x ​ s n ​ ​) ∣ = ∣ 0 - f (x ​ s n ​ ​) ∣ = ∣ f (x ​ s n ​ ​) ∣

f(x_{sn})

f (x ​ s n ​ ​)

\epsilon=\text{ }\displaystyle\left|\frac{x_{ns}[k]-x_{ns}[k-1]}{{x}_{ns}[k-1]}\right|

ϵ = ​ ∣ ​ ∣ ​ ∣ ​ ∣ ​ ​ \frac{​ x ​ n s ​ ​ [ k ] - x ​ n s ​ ​ [ k - 1 ] ​ ​}{​ x ​ n s ​ ​ [ k - 1 ] ​} ​ ∣ ​ ∣ ​ ∣ ​ ∣ ​ ​

Método de Newton

Solução de equações transcendentais

O que é?

Continuando com os métodos de soluções de equações, o método de Newton é o que apresenta convergência mais rápida. No entanto, requer o cálculo analítico da derivada de f(x).

Formulação matemática

Repete-se este processo até que a tolerância desejada seja atingida

x_{n+1}=x_n-\displaystyle\text{ }\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

x ​ n + 1 ​ ​ = x ​ n ​ ​ - \frac{​ f ( x ​ n ​ ​ ) ​ ​}{​ f ​ ' ​ ​ ( x ​ n ​ ​ ) ​}

Método da secante

Solução de equações transcendentais

O que é?

A equação que estamos tentando solucionar é transcendental. E se for impossível obter uma derivada analítica da função? É aí que entra o método da secante.

Formulação matemática

Utiliza-se esta aproximação numérica para a derivada no método de Newton e processo segue até que a raiz encontrada tenha a tolerância desejada.

f'(x_n)\approx\text{ }\displaystyle\frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}}

f ​' ​ ​ (x ​ n ​ ​) \approx \frac{​ f ( x ​ n ​ ​ ) - f ( x ​ n - 1 ​ ​ ) ​ ​}{​ x ​ n ​ ​ - x ​ n - 1 ​ ​ ​}

Lista de exercícios

Determine a raiz de usando:

a) o método da bisseção
b) o método de Newton
c) o método da secante

Estabeleça seu próprio critério de convergência, use o Scilab para gerar um gráfico e obter um intervalo que contenha uma raiz e comente sobre a eficiência e esforço computacional dos métodos
Faça o mesmo para as seguintes funções:

f(x)=x-2e^{-x}

f (x) = x - 2 e ​ - x ​ ​

f(x)=x^3+0.6x^2+5.6x-4.8

f (x) = x ​ 3 ​ ​ + 0.6 x ​ 2 ​ ​ + 5.6 x - 4.8

f(x)=\text{ }\displaystyle\frac{Sin(x)}{x}

f (x) = \frac{​ S i n ( x ) ​ ​}{​ x ​}

Lista de exercícios

3. A área da superfície lateral de um cone é dada por

S=\pi r \sqrt{r^2+h^2}

S = π r \sqrt ​ r ​ 2 ​ ​ + h ​ 2 ​ ​ ​ ​ ​

em que r é o raio da base do cone e h é a sua altura, conforme ilustrado na figura abaixo. Determine o raio de um cone cuja altura e área da superfície são

h=25\text{ }m\text{ e }S=1800\text{ }m^2

h = 25 m e S = 1800 m ​ 2 ​ ​

Solução de sistemas lineares

Sistemas de equações lineares que têm de ser resolvidas simultaneamente surgem em problemas que incluem várias (possivelmente muitas) variáveis que são dependentes umas das outras. Tais problemas ocorrem não somente em engenharia e ciência, mas em praticamente qualquer disciplina (estatística, economia, etc.).

Solução de sistemas lineares

Um sistema de duas (ou três) equações com duas (ou três) incógnitas pode ser resolvido por substituição manualmente ou outros métodos matemáticos. Porém, a resolução de um sistema deste modo é praticamente impossível quando o número de equações (e incógnitas) aumenta acima de três.

Engenharia de Tráfego

85 \text{ carros/h}

85 c a r r o s / h

70 \text{ carros/h}

70 c a r r o s / h

120 \text{ carros/h}

120 c a r r o s / h

45 \text{ carros/h}

45 c a r r o s / h

Engenharia de Tráfego

85 \text{ carros/h}

85 c a r r o s / h

70 \text{ carros/h}

70 c a r r o s / h

120 \text{ carros/h}

120 c a r r o s / h

45 \text{ carros/h}

45 c a r r o s / h

x_1

x ​ 1 ​ ​

x_2

x ​ 2 ​ ​

x_3

x ​ 3 ​ ​

x_4

x ​ 4 ​ ​

x_5

x ​ 5 ​ ​

Engenharia de Tráfego

85 \text{ carros/h}

85 c a r r o s / h

70 \text{ carros/h}

70 c a r r o s / h

120 \text{ carros/h}

120 c a r r o s / h

45 \text{ carros/h}

45 c a r r o s / h

x_1

x ​ 1 ​ ​

x_2

x ​ 2 ​ ​

x_3

x ​ 3 ​ ​

x_4

x ​ 4 ​ ​

x_5

x ​ 5 ​ ​

85+x_4=120+x_5

85 + x ​ 4 ​ ​ = 120 + x ​ 5 ​ ​

85=x_1+x_2

85 = x ​ 1 ​ ​ + x ​ 2 ​ ​

x_1+x_3+45=120

x ​ 1 ​ ​ + x ​ 3 ​ ​ + 45 = 120

x_2+x_4=70+x_3

x ​ 2 ​ ​ + x ​ 4 ​ ​ = 70 + x ​ 3 ​ ​

70=45+x_5

70 = 45 + x ​ 5 ​ ​

\text{ENTRADA }= \text{ SAIDA }

E N T R A D A = S A I D A

Tipos de métodos

Diretos: Solução exata do sistema utilizando manipulações algébricas. Ex.: Eliminação de Gauss.

Iterativos: Uma solução ("chute") inicial é utilizado num processo retroativo para obtenção da solução.

Ex.: Método de Gauss-Seidel.

Representação Matricial

x_4-x_5=35

x ​ 4 ​ ​ - x ​ 5 ​ ​ = 35

x_1+x_2=85

x ​ 1 ​ ​ + x ​ 2 ​ ​ = 85

x_1+x_3=75

x ​ 1 ​ ​ + x ​ 3 ​ ​ = 75

x_2-x_3+x_4=70

x ​ 2 ​ ​ - x ​ 3 ​ ​ + x ​ 4 ​ ​ = 70

x_5=25

x ​ 5 ​ ​ = 25

0x_1+0x_2+0x_3+1x_4-1x_5=35

0 x ​ 1 ​ ​ + 0 x ​ 2 ​ ​ + 0 x ​ 3 ​ ​ + 1 x ​ 4 ​ ​ - 1 x ​ 5 ​ ​ = 35

1x_1+1x_2+0x_3+0x_4+0x_5=85

1 x ​ 1 ​ ​ + 1 x ​ 2 ​ ​ + 0 x ​ 3 ​ ​ + 0 x ​ 4 ​ ​ + 0 x ​ 5 ​ ​ = 85

1x_1+0x_2+1x_3+0x_4+0x_5=75

1 x ​ 1 ​ ​ + 0 x ​ 2 ​ ​ + 1 x ​ 3 ​ ​ + 0 x ​ 4 ​ ​ + 0 x ​ 5 ​ ​ = 75

0x_1+1x_2-1x_3+1x_4+0x_5=70

0 x ​ 1 ​ ​ + 1 x ​ 2 ​ ​ - 1 x ​ 3 ​ ​ + 1 x ​ 4 ​ ​ + 0 x ​ 5 ​ ​ = 70

0x_1+0x_2+0x_3+0x_4+1x_5=25

0 x ​ 1 ​ ​ + 0 x ​ 2 ​ ​ + 0 x ​ 3 ​ ​ + 0 x ​ 4 ​ ​ + 1 x ​ 5 ​ ​ = 25

Método de Gauss

Solução de sistemas

lineares

Método de Gauss

Início

Passo 1

Passo 2

Passo 3

Método de Gauss

Considerações:

Se o elemento pivô for zero
Se o elemento pivô for pequeno relativo aos demais termos

Método de

Gauss-Seidel

Solução de sistemas

lineares

Método de Gauss-Seidel

x_1=\frac{1}{a_{11}}(b_1-a_{12}x_2-a_{13}x_3-a_{14}x_4)

x ​ 1 ​ ​ = \frac{​ 1 ​ ​}{​ a ​ 1 1 ​ ​ ​} (b ​ 1 ​ ​ - a ​ 12 ​ ​ x ​ 2 ​ ​ - a ​ 13 ​ ​ x ​ 3 ​ ​ - a ​ 14 ​ ​ x ​ 4 ​ ​)

x_2=\frac{1}{a_{22}}(b_2-a_{21}x_1-a_{23}x_3-a_{24}x_4)

x ​ 2 ​ ​ = \frac{​ 1 ​ ​}{​ a ​ 2 2 ​ ​ ​} (b ​ 2 ​ ​ - a ​ 21 ​ ​ x ​ 1 ​ ​ - a ​ 23 ​ ​ x ​ 3 ​ ​ - a ​ 24 ​ ​ x ​ 4 ​ ​)

x_3=\frac{1}{a_{33}}(b_3-a_{31}x_1-a_{32}x_2-a_{34}x_4)

x ​ 3 ​ ​ = \frac{​ 1 ​ ​}{​ a ​ 3 3 ​ ​ ​} (b ​ 3 ​ ​ - a ​ 31 ​ ​ x ​ 1 ​ ​ - a ​ 32 ​ ​ x ​ 2 ​ ​ - a ​ 34 ​ ​ x ​ 4 ​ ​)

x_4=\frac{1}{a_{44}}(b_4-a_{41}x_1-a_{42}x_2-a_{43}x_3)

x ​ 4 ​ ​ = \frac{​ 1 ​ ​}{​ a ​ 4 4 ​ ​ ​} (b ​ 4 ​ ​ - a ​ 41 ​ ​ x ​ 1 ​ ​ - a ​ 42 ​ ​ x ​ 2 ​ ​ - a ​ 43 ​ ​ x ​ 3 ​ ​)

Método de Gauss-Seidel

\left|\frac{{x_i}^{(k+1)}-{x_i}^{(k)}}{{x_i}^{(k)}}\right|<\epsilon

​ ∣ ​ ∣ ​ ∣ ​ ​ \frac{​ x ​ i ​ ​ ​ ( k + 1 ) ​ ​ - x ​ i ​ ​ ​ ( k ) ​ ​ ​ ​}{​ x ​ i ​ ​ ​ ( k ) ​ ​ ​} ​ ∣ ​ ∣ ​ ∣ ​ ​ < ϵ

\displaystyle {x_i}^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left[b_i-\sum_{j=1,j\neq i}^{j=n}a_{ij}{x_j}^{(k+1)}\right]

x ​ i ​ ​ ​ (k + 1) ​ ​ = \frac{​ 1 ​ ​}{​ a ​ i i ​ ​ ​} ​ ⎣ ​ ⎡ ​ ​ b ​ i ​ ​ - ​ j = 1, j \neq i ​ \sum ​ j = n ​ ​ a ​ i j ​ ​ x ​ j ​ ​ ​ (k + 1) ​ ​ ​ ⎦ ​ ⎤ ​ ​

Tolerância

Formulação geral

Convergência

\displaystyle|a_{ii}|>\sum_{j=1,j\neq i}^{j=n}|a_{ij}|

∣ a ​ i i ​ ​ ∣ > ​ j = 1, j \neq i ​ \sum ​ j = n ​ ​ ∣ a ​ i j ​ ​ ∣

Algoritmo de Gauss-Seidel

function [x,it] = gaussSeidel(A, b,p,x0,IM)
[l,c]=size(A);
x=x0;
erro=1;
it=0;
tol=10^(-p);
while erro>tol & it<IM
  xa=x;
  it=it+1;
  for i=1:l
    soma=0;
    for j=1:l
      if i~=j then
       soma = soma+x(j)*A(i,j);
      end
    end
    x(i)=(b(i)-soma)/A(i,i);
  end
  erro = max(abs(x-xa));
end
endfunction

-->A=[9 -4 -2 0; -4 17 -6 -3; -2 -6 14 -6; 0 -3 -6 11]
 A  =
 
    9.  - 4.   - 2.     0.   
  - 4.    17.  - 6.   - 3.   
  - 2.  - 6.     14.  - 6.   
    0.  - 3.   - 6.     11.  
 
-->b=[24;-16;0;18]
 b  =
 
    24.  
  - 16.  
    0.   
    18.  
 
-->[x,it]=gaussSeidel(A,b,3,[0;0;0;0],30)
 it  =
 
    21.  
 x  =
 
    4.0323098  
    1.6525125  
    2.8429926  
    3.6377721

Mais um exemplo

Lista de Exercícios

Solucione os sistemas a seguir utilizando os métodos de Gauss com pivotação e Gauss-Seidel (escolha dois sistemas para cada método). No caso do método iterativo, teste o critério das linhas e conduza três iterações. Verifique seu resultado com aquele produzido pelo algoritmo (limitado para 3 iterações). Depois, solucione o sistema utilizando o algoritmo com uma tolerância e=0.01.

Ajuste de curvas e interpolação

Regressão

Encontra-se uma única curva que represente a tendência geral dos dados e que pode não passar exatamente pelos pontos. Esta abordagem é adequada a dados com incertezas, graus de erro e ruídos. Por exemplo, dados de um experimento científico.

Interpolação

Ajusta uma curva que passa exatamente pelos pontos dados. Para esta abordagem, assume-se que as medições são exatas, ou seja, sem influência de incertezas ou erros.

Regressão por mínimos quadrados (best fit)

Ajuste de curvas e interpolação

Regressão por mínimos quadrados

Para um dado conjunto de pontos de tamanho n, determinar o polinômio de grau m que melhor represente este conjunto.

f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_1x+a_0

f (x) = a ​ m ​ ​ x ​ m ​ ​ + a ​ m - 1 ​ ​ x ​ m - 1 ​ ​ + . . . + a ​ 1 ​ ​ x + a ​ 0 ​ ​

Forma geral de um polinômio:

Regressão por mínimos quadrados

Resume-se à solução do seguinte sistema linear de ordem m+1:

Exercício

Um teste de tensão é conduzido para determinar o comportamento tensão-deformação da borracha. Os pontos de dados do teste são apresentados na tabela abaixo. Determine o polinômio de quarta ordem que melhor se adapta aos pontos de dados. Plote os pontos de dados e a curva que corresponde ao polinômio.

Deformação :

[0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0 4.4 4.8 5.2 5.6 6.0]

Tensão:

[0.0 3.0 4.5 5.8 5.9 5.8 6.2 7.4 9.6 15.6 20.7 26.7 31.1 35.6 39.3 41.5]

Exercício

Deformação :

[0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0 4.4 4.8 5.2 5.6 6.0]

Tensão:

[0.0 3.0 4.5 5.8 5.9 5.8 6.2 7.4 9.6 15.6 20.7 26.7 31.1 35.6 39.3 41.5]

f(x)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0

f (x) = a ​ 4 ​ ​ x ​ 4 ​ ​ + a ​ 3 ​ ​ x ​ 3 ​ ​ + a ​ 2 ​ ​ x ​ 2 ​ ​ + a ​ 1 ​ ​ x + a ​ 0 ​ ​

Interpolação

Ajuste de curvas e interpolação

Interpolação por polinômios de Lagrange

f(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^ny_i\prod_{j=1,j\neq i}^n\frac{(x-x_j)}{(x_i-x_j)}

f (x) = ​ i = 1 ​ \sum ​ n ​ ​ y ​ i ​ ​ ​ j = 1, j \neq i ​ \prod ​ n ​ ​ \frac{​ ( x - x ​ j ​ ​ ) ​ ​}{​ ( x ​ i ​ ​ - x ​ j ​ ​ ) ​}

x\rightarrow

x \to

Abscissa em que se deseja obter a interpolação

x_i,x_j\rightarrow

x ​ i ​ ​, x ​ j ​ ​ \to

Abscissas do conjunto de pontos

y_i\rightarrow

y ​ i ​ ​ \to

Ordenadas do conjunto de pontos

f(x)\rightarrow

f (x) \to

Polinômio de ordem m=n-1

n\rightarrow

n \to

Quantidade de pontos

Interpolação por Lagrange: exemplo

x = [ 1 2 4 5 7]

y = [52 5 -5 -40 10]

Utilizando o método de Lagrange, determine o polinômio que passa por todos estes pontos e depois avalie seu resultado em x=3.

f(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^ny_i\prod_{j=1,j\neq i}^n\frac{(x-x_j)}{(x_i-x_j)}

f (x) = ​ i = 1 ​ \sum ​ n ​ ​ y ​ i ​ ​ ​ j = 1, j \neq i ​ \prod ​ n ​ ​ \frac{​ ( x - x ​ j ​ ​ ) ​ ​}{​ ( x ​ i ​ ​ - x ​ j ​ ​ ) ​}

Só aplicar:

Interpolação por Lagrange: exemplo

x = [ 1 2 4 5 7]

y = [52 5 -5 -40 10]

Utilizando o método de Lagrange, determine o polinômio que passa por todos estes pontos e depois avalie seu resultado em x=3.

f(x)=\quad\displaystyle\frac{(x-2)(x-4)(x-5)(x-7)}{(1-2)(1-4)(1-5)(1-7)}52+\frac{(x-1)(x-4)(x-5)(x-7)}{(2-1)(2-4)(2-5)(2-7)}5

f (x) = \frac{​ ( x - 2 ) ( x - 4 ) ( x - 5 ) ( x - 7 ) ​ ​}{​ ( 1 - 2 ) ( 1 - 4 ) ( 1 - 5 ) ( 1 - 7 ) ​} 52 + \frac{​ ( x - 1 ) ( x - 4 ) ( x - 5 ) ( x - 7 ) ​ ​}{​ ( 2 - 1 ) ( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) ( 2 - 7 ) ​} 5

\displaystyle+\frac{(x-1)(x-2)(x-5)(x-7)}{(4-1)(4-2)(4-5)(4-7)}(-5)+\frac{(x-1)(x-2)(x-4)(x-7)}{(5-1)(5-2)(5-4)(5-7)}(-40)

+ \frac{​ ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 5 ) ( x - 7 ) ​ ​}{​ ( 4 - 1 ) ( 4 - 2 ) ( 4 - 5 ) ( 4 - 7 ) ​} (- 5) + \frac{​ ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 4 ) ( x - 7 ) ​ ​}{​ ( 5 - 1 ) ( 5 - 2 ) ( 5 - 4 ) ( 5 - 7 ) ​} (- 40)

\displaystyle+\frac{(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)}{(7-1)(7-2)(7-4)(7-5)}10

+ \frac{​ ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 4 ) ( x - 5 ) ​ ​}{​ ( 7 - 1 ) ( 7 - 2 ) ( 7 - 4 ) ( 7 - 5 ) ​} 10

f(3)=6

f (3) = 6

Método de Newton

Conjunto de dados de tamanho n produzirá um polinômio de grau m=n-1 na forma

f(x)=a_1+a_2(x-x_1)+a_3(x-x_1)(x-x_2)

f (x) = a ​ 1 ​ ​ + a ​ 2 ​ ​ (x - x ​ 1 ​ ​) + a ​ 3 ​ ​ (x - x ​ 1 ​ ​) (x - x ​ 2 ​ ​)

Exemplo de grau 3

Os coeficientes a1 até an são dados pelas diferenças divididas.

f(x)=a_1+\displaystyle\sum_{i=2}^na_i\prod_{j=1}^{i-1}(x-x_j)

f (x) = a ​ 1 ​ ​ + ​ i = 2 ​ \sum ​ n ​ ​ a ​ i ​ ​ ​ j = 1 ​ \prod ​ i - 1 ​ ​ (x - x ​ j ​ ​)

Diferenças divididas:

Interpolação por Newton: exemplo

x = [ 1 2 4 5 7]

y = [52 5 -5 -40 10]

Determine o polinômio que passa por todos os pontos dados utilizando a fórmula de Newton e avalie o seu valor em x=3.

f(x)=a_1+\displaystyle\sum_{i=2}^na_i\prod_{j=1}^{i-1}(x-x_j)

f (x) = a ​ 1 ​ ​ + ​ i = 2 ​ \sum ​ n ​ ​ a ​ i ​ ​ ​ j = 1 ​ \prod ​ i - 1 ​ ​ (x - x ​ j ​ ​)

Só aplicar:

Interpolação por Newton: exemplo

Comparação entre Newton e Lagrange

Em ambos os métodos a distância entre as abscissas pode ser diferente.
No método de Lagrange, o cálculo para cada abscissa de interpolação é feito de forma única. Por exemplo, o cálculo para interpolar em x=2 é diferente do cálculo para interpolar em x=3. Por outro lado, no método de Newton, uma vez que os coeficientes a1 ~ an forem determinados, o mesmo polinômio serve para interpolar em qualquer abscissa.
No método de Lagrange, sempre que houver novos pontos para adicionar ao conjunto original de pontos, todo o cálculo deve ser refeito. Por outro lado, no método de Newton os novos pontos podem ser adicionados e apenas os novos coeficientes necessitam ser calculados.
No método de Newton as abscissas não precisam estar em ordem.

Extrapolação

Estimar valor da função fora do intervalo de valores conhecidos.
Extrapolações cuidadosas constituem uma poderosa ferramenta em várias áreas, como por exemplo, na resolução numérica de equações diferencias.
Algoritmos de interpolação fazem extrapolação, porém, sem qualquer garantia de aquele valor representar a realidade.
Algoritmos de regressão fazem extrapolação, caso confirme-se, por meio de algum índice (ex: correlação), que o modelo escolhido representa bem o conjunto de pontos.

Exercícios

Para cada um dos conjuntos de dados abaixo mostrados, faça o que se pede:

a) Produza 3 modelos polinomiais (regressão) com grau n=1, n=2 e n=3 e plote-os juntos num gráfico. Os pontos originais devem aparecer em pontos vermelhos. Baseado no seu olhômetro, diga qual foi o grau que melhor representou o comportamento dos pontos.

b) Aplique o método de interpolação de Newton no primeiro conjunto e o de Lagrange no segundo conjunto. Para o primeiro conjunto, avalie sua interpolação quando x=1.2, e para o segundo conjunto, avalie sua interpolação quando x=2.4.

ESTA LISTA DEVE SER ENTREGUE VIA SIGAA ATÉ O DIA DA PROVA.

O DOCUMENTO DEVE CONTER OS GRÁFICOS E AS FUNÇÕES DO ITEM a), E OS CÁLCULOS DO ITEM b).

Métodos numéricos de integração

f(x)=e^{0.9x}-x^2-0.5

f (x) = e ​ 0.9 x ​ ​ - x ​ 2 ​ ​ - 0.5

Calcule:

\displaystyle\int_0^2f(x)dx

\int ​ 0 ​ 2 ​ ​ f (x) d x

\displaystyle\int_0^2e^{0.9x}-x^2-0.5dx=1.944

\int ​ 0 ​ 2 ​ ​ e ​ 0.9 x ​ ​ - x ​ 2 ​ ​ - 0.5 d x = 1.944

\displaystyle\int_0^2e^{0.9x}-x^2-0.5dx=1.944

\int ​ 0 ​ 2 ​ ​ e ​ 0.9 x ​ ​ - x ​ 2 ​ ​ - 0.5 d x = 1.944

\displaystyle\int_0^2e^{0.9x}-x^2-0.5dx=1.944

\int ​ 0 ​ 2 ​ ​ e ​ 0.9 x ​ ​ - x ​ 2 ​ ​ - 0.5 d x = 1.944

Melhorando a aproximação

Demonstração interativa

Melhoramentos

O método do trapézio produz um resultado cada vez mais próximo do real, a medida em que o número de sub-intervalos aumenta. Porém, quanto mais intervalos, mais cálculos são necessários. O que fazer para melhorar?
Ao invés de "fechar" o trapézio por uma reta, vamos fechá-lo por um polinômio de ordem 2 ou mesmo de ordem 3, que são as regras de 1/3 e de 3/8 de Simpson, respectivamente.

Formulações matemáticas

Regra do trapézio

Regra 1/3 de Simpson

Regra 3/8 de Simpson

I(a,b)=\displaystyle\text{ }\frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)

I (a, b) = \frac{​ f ( a ) + f ( b ) ​ ​}{​ 2 ​} (b - a)

I(a,b)=\displaystyle\text{ }\frac{1}{3}\cdot\frac{b-a}{2}\left[f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]

I (a, b) = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 3 ​} \cdot \frac{​ b - a ​ ​}{​ 2 ​} [f (a) + 4 f (\frac{​ a + b ​ ​}{​ 2 ​}) + f (b)]

I(a,b)=\displaystyle\text{ }\frac{3}{8}\cdot\frac{b-a}{3}\left[f(a)+3f\left(\frac{2a+b}{3}\right)+3f\left(\frac{a+2b}{3}\right)+f(b)\right]

I (a, b) = \frac{​ 3 ​ ​}{​ 8 ​} \cdot \frac{​ b - a ​ ​}{​ 3 ​} [f (a) + 3 f (\frac{​ 2 a + b ​ ​}{​ 3 ​}) + 3 f (\frac{​ a + 2 b ​ ​}{​ 3 ​}) + f (b)]

Lista de exercícios

\displaystyle\int_0^\pi sin^2(x) dx

\int ​ 0 ​ π ​ ​ s i n ​ 2 ​ ​ (x) d x

\displaystyle\int_0^{2.4} \frac{2x}{1+x^2} dx

\int ​ 0 ​ 2.4 ​ ​ \frac{​ 2 x ​ ​}{​ 1 + x ​ 2 ​ ​ ​} d x

\displaystyle\int_{-3}^{3} -\frac{5}{9}x^2+5 dx

\int ​ - 3 ​ 3 ​ ​ - \frac{​ 5 ​ ​}{​ 9 ​} x ​ 2 ​ ​ + 5 d x

Calcule o valor das integrais ao lado utilizando cada um dos métodos estudados em sala de aula, ou seja, aplique os três métodos a cada integral. Primeiramente, calcule sem dividir o intervalo. Após isto, divida o intervalo em 2 e posteriormente em 3 subintervalos. Compare com o resultado real e comente sobre as diferenças entre métodos, sobre a influência da divisão do intervalo.

Exemplo

\displaystyle\int_0^{3} e^{-x^2} dx=0.886207

\int ​ 0 ​ 3 ​ ​ e ​ - x ​ 2 ​ ​ ​ ​ d x = 0.886207

De uma forma generalizada

Regra do trapézio

Regra 1/3 de Simpson

Regra 3/8 de Simpson

I=\displaystyle\text{ }\frac{h}{2}(f(a)+f(b))+h\sum_{i=2}^Nf(x_i)

I = \frac{​ h ​ ​}{​ 2 ​} (f (a) + f (b)) + h ​ i = 2 ​ \sum ​ N ​ ​ f (x ​ i ​ ​)

I=\displaystyle\text{ }\frac{h}{3}\left[f(a)+4\sum_{i=2,4,6}^{2N}f(x_i)+2\sum_{j=3,5,7}^{2N-1}f(x_j)+f(b)\right]

I = \frac{​ h ​ ​}{​ 3 ​} [f (a) + 4 ​ i = 2, 4, 6 ​ \sum ​ 2 N ​ ​ f (x ​ i ​ ​) + 2 ​ j = 3, 5, 7 ​ \sum ​ 2 N - 1 ​ ​ f (x ​ j ​ ​) + f (b)]

I=\displaystyle\text{ }\frac{3h}{8}\left[f(a)+3\sum_{i=2,5,8}^{3N-1}\left[f(x_i)+f(x_{i+1})\right]+2\sum_{j=4,7,10}^{3N-2}f(x_j)+f(b)\right]

I = \frac{​ 3 h ​ ​}{​ 8 ​} [f (a) + 3 ​ i = 2, 5, 8 ​ \sum ​ 3 N - 1 ​ ​ [f (x ​ i ​ ​) + f (x ​ i + 1 ​ ​)] + 2 ​ j = 4, 7, 10 ​ \sum ​ 3 N - 2 ​ ​ f (x ​ j ​ ​) + f (b)]

PROVA 3

I=\displaystyle\text{ }\frac{h}{2}(f(a)+f(b))+h\sum_{i=2}^Nf(x_i)

I = \frac{​ h ​ ​}{​ 2 ​} (f (a) + f (b)) + h ​ i = 2 ​ \sum ​ N ​ ​ f (x ​ i ​ ​)

I=\displaystyle\text{ }\frac{h}{3}\left[f(a)+4\sum_{i=2,4,6}^{2N}f(x_i)+2\sum_{j=3,5,7}^{2N-1}f(x_j)+f(b)\right]

I = \frac{​ h ​ ​}{​ 3 ​} [f (a) + 4 ​ i = 2, 4, 6 ​ \sum ​ 2 N ​ ​ f (x ​ i ​ ​) + 2 ​ j = 3, 5, 7 ​ \sum ​ 2 N - 1 ​ ​ f (x ​ j ​ ​) + f (b)]

I=\displaystyle\text{ }\frac{3h}{8}\left[f(a)+3\sum_{i=2,5,8}^{3N-1}\left[f(x_i)+f(x_{i+1})\right]+2\sum_{j=4,7,10}^{3N-2}f(x_j)+f(b)\right]

I = \frac{​ 3 h ​ ​}{​ 8 ​} [f (a) + 3 ​ i = 2, 5, 8 ​ \sum ​ 3 N - 1 ​ ​ [f (x ​ i ​ ​) + f (x ​ i + 1 ​ ​)] + 2 ​ j = 4, 7, 10 ​ \sum ​ 3 N - 2 ​ ​ f (x ​ j ​ ​) + f (b)]

I(a,b)=\displaystyle\text{ }\frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)

I (a, b) = \frac{​ f ( a ) + f ( b ) ​ ​}{​ 2 ​} (b - a)

I(a,b)=\displaystyle\text{ }\frac{1}{3}\cdot\frac{b-a}{2}\left[f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]

I (a, b) = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 3 ​} \cdot \frac{​ b - a ​ ​}{​ 2 ​} [f (a) + 4 f (\frac{​ a + b ​ ​}{​ 2 ​}) + f (b)]

I(a,b)=\displaystyle\text{ }\frac{3}{8}\cdot\frac{b-a}{3}\left[f(a)+3f\left(\frac{2a+b}{3}\right)+3f\left(\frac{a+2b}{3}\right)+f(b)\right]

I (a, b) = \frac{​ 3 ​ ​}{​ 8 ​} \cdot \frac{​ b - a ​ ​}{​ 3 ​} [f (a) + 3 f (\frac{​ 2 a + b ​ ​}{​ 3 ​}) + 3 f (\frac{​ a + 2 b ​ ​}{​ 3 ​}) + f (b)]

k_1=f(x_i,y_i)

k ​ 1 ​ ​ = f (x ​ i ​ ​, y ​ i ​ ​)

k_2=f(x_i+\frac{1}{2}h,y_i+\frac{1}{2}k_1h)

k ​ 2 ​ ​ = f (x ​ i ​ ​ + \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} h, y ​ i ​ ​ + \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} k ​ 1 ​ ​ h)

k_3=f(x_1+\frac{1}{2}h,y_i+\frac{1}{2}k_2h)

k ​ 3 ​ ​ = f (x ​ 1 ​ ​ + \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} h, y ​ i ​ ​ + \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} k ​ 2 ​ ​ h)

k_4=f(x_i+h,y_i+k_3h)

k ​ 4 ​ ​ = f (x ​ i ​ ​ + h, y ​ i ​ ​ + k ​ 3 ​ ​ h)

y_{i+1}=y_i+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)

y ​ i + 1 ​ ​ = y ​ i ​ ​ + \frac{​ h ​ ​}{​ 6 ​} (k ​ 1 ​ ​ + 2 k ​ 2 ​ ​ + 2 k ​ 3 ​ ​ + k ​ 4 ​ ​)

ATENÇÃO: DESCONSIDERAR 0 NA COLUNA v'(t)

Observações:

Espaço entre os pontos (passo de integração)

Na regra 1/3 de Simpson, o número de subintervalos deve ser obrigatoriamente par. (Por quê?)

Na regra 3/8 de Simpson, o número de subintervalos deve ser obrigatoriamente múltiplo de 3 e maior que 6. (Por quê?)

De uma forma geral, na regra de 1/3 Simpson, para dividir o intervalo por N deve-se, na verdade, dividir por 2N. Por outro lado, na regra de 3/8 de Simpson, para dividir o intervalo por N, deve-se, na verdade, dividir por 3N.

h=\displaystyle\text{ }\frac{b-a}{N}

h = \frac{​ b - a ​ ​}{​ N ​}

Solução de equações diferenciais ordinárias (EDOs)

Uma equação diferencial ordinária ou EDO é uma equação que contém uma função de uma variável independente e, também, suas derivadas, ou matematicamente

Equações diferenciais ordinárias (EDOs) surgem em muitos contextos diferentes ao longo da matemática e da ciência (social e natural) de uma forma ou de outra, porque quando descrevendo mudanças matematicamente, a maneira mais precisa usa as derivadas. Uma vez que várias derivadas e funções tornam-se inevitavelmente relacionadas umas às outras através de equações, uma equação diferencial é o resultado, descrevendo fenômenos dinâmicos, evolução e variação.

F(x,y,y',y'',...,y^{n-1})=y^n

F (x, y, y ​' ​ ​, y ​'' ​ ​, . . ., y ​ n - 1 ​ ​) = y ​ n ​ ​

Exemplos

Métodos Numéricos de Solução de EDOs

Método

Runge-Kutta 4a ordem

Solução de EDOs

Método

Runge-Kutta 4a ordem

k_1=f(x_i,y_i)

k ​ 1 ​ ​ = f (x ​ i ​ ​, y ​ i ​ ​)

k_2=f(x_i+\frac{1}{2}h,y_i+\frac{1}{2}k_1h)

k ​ 2 ​ ​ = f (x ​ i ​ ​ + \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} h, y ​ i ​ ​ + \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} k ​ 1 ​ ​ h)

k_3=f(x_1+\frac{1}{2}h,y_i+\frac{1}{2}k_2h)

k ​ 3 ​ ​ = f (x ​ 1 ​ ​ + \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} h, y ​ i ​ ​ + \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} k ​ 2 ​ ​ h)

k_4=f(x_i+h,y_i+k_3h)

k ​ 4 ​ ​ = f (x ​ i ​ ​ + h, y ​ i ​ ​ + k ​ 3 ​ ​ h)

y_{i+1}=y_i+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)

y ​ i + 1 ​ ​ = y ​ i ​ ​ + \frac{​ h ​ ​}{​ 6 ​} (k ​ 1 ​ ​ + 2 k ​ 2 ​ ​ + 2 k ​ 3 ​ ​ + k ​ 4 ​ ​)

Computação Numérica

Turma de reposição

Período

Metodologia

O que é? Formulação matemática? Como se aplica?

Assuntos abordados

Avaliação

Avaliação

Calendário

Computação Numérica

O que é?

Para que serve?

Como aplicar?

PROCESSOS FÍSICOS:

ENERGIA:

MODELAR

MODELAR

COMPREENDER

MODELAR

COMPREENDER

CONTROLAR

MODELAR, COMPREENDER E CONTROLAR:

Como?

Ferramentas matemáticas

Ferramentas matemáticas

Ferramentas matemáticas

MODELAR E COMPREENDER:

CÁLCULO ANALÍTICO

QUERO USAR UM MOTOR ELÉTRICO PARA TRACIONAR UM CABO DE AÇO LIGADO À UMA CAIXA METÁLICA QUE IRÁ ME TRANSPORTAR DO TÉRREO ATÉ O CENTÉSIMO ANDAR EM POUCOS MINUTOS, E ABRIRÁ A PORTA EXATAMENTE NUM ESPAÇO DESTINADO PARA QUE EU POSSA SAIR DA CAIXA E ENTRAR NO ANDAR CORRETO EM SEGURANÇA!

QUEM VAI CONTROLAR? COMO ESSE DISPOSITIVO REALIZARÁ OS CÁLCULOS NECESSÁRIOS?

Expansão em série de Taylor

O que é?

Formulação matemática?

Como se aplica?

Exemplos

Lista de exercícios

Solução de equações transcendentais

Método da bisseção

Solução de equações transcendentais

O que é?

Formulação matemática

Cálculo do erro na solução numérica

Método de Newton

Solução de equações transcendentais

O que é?

Formulação matemática

Método da secante

Solução de equações transcendentais

O que é?

Formulação matemática

Lista de exercícios

Lista de exercícios

Solução de sistemas lineares

Solução de sistemas lineares

Solução de sistemas lineares

Engenharia de Tráfego

Engenharia de Tráfego

Engenharia de Tráfego

Tipos de métodos

Representação Matricial

Método de Gauss

Solução de sistemas

lineares

Método de Gauss

Método de Gauss

Método de

Gauss-Seidel

Solução de sistemas

lineares

Método de Gauss-Seidel

Método de Gauss-Seidel

Algoritmo de Gauss-Seidel

Mais um exemplo

Lista de Exercícios

Ajuste de curvas e interpolação

Regressão

Interpolação

Regressão por mínimos quadrados (best fit)

Ajuste de curvas e interpolação

Regressão por mínimos quadrados

O que é?
Formulação matemática?
Como se aplica?