第五章 曲线运动

在本章中我们将:
1.认识和理解位移、速度、加速度等物理量。
2.经历质点模型的建构过程,初步学会测量物体的瞬时速度。
3.学习用文字、关系式、图像描述简单的实际运动。

第一节

曲线运动

物体沿曲线所做的运动叫曲线运动curvilinear motion

第一节

曲线运动

常见的曲线运动

第一节

曲线运动

一、曲线运动的速度方向

纸板陀螺上飞溅的墨滴

现象:墨水沿圆纸板的切线方向飞出

第一节

曲线运动

一、曲线运动的速度方向

旋转砂轮上飞溅的火星

第一节

曲线运动

一、曲线运动的速度方向

做曲线运动物体的速度的方向是时刻改变的,物体在某一点的瞬时速度方向沿曲线在该点的切线方向

速度是矢量,速度方向改变,就表示速度发生了变化。所以曲线运动是变速运动,做曲线运动的物体具有加速度

第一节

曲线运动

二、物体做曲线运动的条件

条件:物体所受合力的方向与其速度方向不在一条直线上

第一节

曲线运动

二、物体做曲线运动的条件

条件:物体所受合力的方向与其速度方向不在一条直线上

v
F_合 = f

第一节

曲线运动

二、物体做曲线运动的条件

在水平桌面上,一个乒乓球沿斜面滚下后做直线运动。从侧面用力吹乒乓球,使乒乓球运动经过指定位置,应该如何吹才能完成任务?

第一节

曲线运动

三、运动的合成与分解

如何研究曲线运动?

可以把曲线运动分解为两个相互垂直的方向的运动

x

水平方向匀速直线

y

竖直方向自由落体

第一节

曲线运动

三、运动的合成与分解

水平分位移

竖直分位移

合速度

竖直分速度

合位移

水平分速度

\(s\)

运动的叠加原理

一个运动可以看成两个或几个运动的合成或叠加。

独立性:这两个或几个运动是同时进行的且互不干扰

等时性:合运动、分运动用时相同

运动的合成与分解仍遵循平行四边形定则

第一节

曲线运动

三、运动的合成与分解

若两个分运动都是匀速直线运动,则合运动也是匀速直线运动

s
x
y
v
v_y
v_x
\theta
\left\{ \begin{array}{l}x = {v_x}t\\y = {v_y}t\end{array} \right.
s = \sqrt {{x^2} + {y^2}}
v = \sqrt {v_x^2 + v_y^2}
\tan \theta = \frac{{{v_y}}}{{{v_x}}} = \frac{y}{x}

第一节

曲线运动

三、运动的合成与分解

设江水的流速为 6 km/h,轮船在静水中行驶的速度为 12 km/h。当驾驶员驾驶轮船垂直向对岸方向航行时,轮船实际行驶的方向如何?速度大小为多少?如果江面宽 200 m,轮船将行驶到对岸何处?

第一节

曲线运动

三、运动的合成与分解

河宽 \(d\) = 100 m,水速为 \(v_水\) = 3 m/s,小船在静水中的航行速度为 \(v_船\) = 5 m/s,

(1)当小船船头方向垂直河岸行驶时,求船的实际运动速度大小;过河时间,到达对岸时向下游方向走的距离。

(2)为使小船到达正对岸,小船船头方向应偏向__________(选填“上”或“下”)游,求与河岸所成的角度,以及此时小船过河所需的时间。

第二节

平抛运动

第二节

平抛运动

一、抛体运动与平抛运动

以一定速度抛出,在空气阻力可以忽略、只在重力作用下的运动叫做抛体运动

常见的抛体运动

若抛出物体的初速度沿水平方向,叫做平抛运动

竖直上抛

平抛

斜抛

第二节

平抛运动

二、平抛运动的规律

电磁魔板探究平抛运动的规律

第二节

平抛运动

二、平抛运动的规律

水平方向为匀速直线运动

竖直方向为自由落体运动

第二节

平抛运动

二、平抛运动的规律

\left\{ \begin{array}{l}x = {v_0}t\\y = {\frac{1}{2}}gt^2\end{array} \right.
s = \sqrt {{x^2} + {y^2}}
v = \sqrt {v_x^2 + v_y^2}
\tan \theta = \frac{{{v_y}}}{{{v_x}}} = \frac{gt}{v_0}
\left\{ \begin{array}{l}v_x = {v_0}\\v_y = gt\end{array} \right.
\tan \alpha = \frac{{{y}}}{{{x}}} = \frac{gt}{2v_0}

第二节

平抛运动

二、平抛运动的规律

距地面相同高度,将几个物体以不同的初速度自同一点水平抛出,这些物体飞行的时间相等吗?

第二节

平抛运动

三、平抛运动实验

现象:两球始终同时落地

结论:平抛运动在竖直方向上做自由落体运动

摆锤

弹性金属片

第二节

平抛运动

三、平抛运动实验

斜槽

调平螺栓

挡板

竖直板

第二节

平抛运动

三、平抛运动实验

斜槽出口槽保持水平

小球每次应从同一位置由静止释放

原点O为小球球心

第二节

平抛运动

三、平抛运动实验

光滑曲线连接

y
5y
3y

1.8 cm

1.9 cm

1.9 cm

y
x

第二节

平抛运动

三、平抛运动实验

“天宫二号“上的空间冷原子钟

第三节

圆周运动

第三节

圆周运动

一、圆周运动与匀速圆周运动

物体做圆周运动时,如果在任意相等时间内通过的弧长总是相等,这种运动叫匀速圆周运动uniform circular motion)

常见的圆周运动

注意

洗衣机滚筒、旋转盘、指针本身在转动不是匀速圆周运动

第三节

圆周运动

二、描述圆周运动的物理量

1

线速度 \(v \)

v= \frac{s}{t}

方向:该位置圆周的切线方向

s(弧长)

注意

单位:m/s

速度大小不变,方向不断变化,

因此,匀速圆周运动是变速曲线运动

第三节

圆周运动

二、描述圆周运动的物理量

月球绕地球的运动和地球绕太阳的运动,都可近似看成是匀速圆周运动。

地球说:“你怎么这么慢?我绕太阳运动 1 s 能走 29.79 km,你绕我运动 1 s 才走 1.02 km。”

月球说:“你可别这么说,你要用一年时间才绕太阳一圈,我 28 天就走了一圈。到底谁快谁慢?”

关于上述对话,你有什么看法?

第三节

圆周运动

二、描述圆周运动的物理量

2

角速度 \(\omega \)

\omega = \frac{\varphi}{t}

3

周期 \(T \)

4

转速 \(n \)

做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间

单位:rad/s,读作弧度每秒

单位:s

单位:r/s,读作转每秒

单位时间沿圆周运动的圈数

第三节

圆周运动

二、描述圆周运动的物理量

角速度 \(\omega \)

\omega = \frac{\varphi}{t}

周期 \(T \)

转速 \(n \)

T = \frac {1}{n}
= \frac{2 \pi}{T} =2\pi n

2

3

4

v= \frac{s}{t}

线速度 \(v \)

= \frac{2 \pi r}{T}

1

\(\omega\)、\(T\)、\(n\) 之间只相差一个常量

第三节

圆周运动

三、线速度、角速度、周期之间的关系

1

同轴转动

自转轴

广州

北京

同一转体 \(\omega \)、\(T\)、\(n\) 相同

离轴远(即 \(r\) )的质点 \(v\)

第三节

圆周运动

三、线速度、角速度、周期之间的关系

同一皮带(链条) \(v \) 相同

半径 \(r\) 大的转体 \(\omega\) 小

2

皮带、链条、齿轮传动

第三节

圆周运动

三、线速度、角速度、周期之间的关系

v= \frac{s}{t}

线速度 \(v \)

= \frac{2 \pi r}{T}

1

角速度 \(\omega \)

\omega = \frac{\varphi}{t}

周期 \(T \)

转速 \(n \)

T = \frac {1}{n}
= \frac{2 \pi}{T} =2\pi n

2

3

4

v={\omega}r

第三节

圆周运动

三、线速度、角速度、周期之间的关系

判断下列说法正确与否

由 \(v = {\omega}r\) 可知,半径 \(r\) 越大,线速度 \(v\) 也越大

由 \(v = {\omega}r\) 可知,线速度 \(v\) 与角速度 \(\omega\) 成正比

由 \(\omega = \frac{v}{r}\) 可知,角速度 \(\omega\) 与半径 \(r\) 成反比

线速度 \(v\) 越大,转速 \(n\) 一定越大

角速度 \(\omega\) 越小,转速 \(n\) 一定越大

第三节

圆周运动

三、线速度、角速度、周期之间的关系

A、B 两点分别位于大、小轮的边缘上,C 点位于大轮半径的中点,大轮的半径是小轮的 2 倍,它们之间靠摩擦传动,接触面上没有滑动。请在该装置的 A、B、C 三个点中选择有关的两个点,说明公式 \(v={\omega}r\) 的以下三种变量关系:

(1)\(v\) 相等,\(\omega \) 跟 \(r\) 成反比。

(2)\(\omega \) 相等,\(v\) 跟 \(r\) 成正比。

(3)\(r\) 相等,\(v\) 跟 \(\omega \) 成正比。

第三节

圆周运动

三、线速度、角速度、周期之间的关系

已知地球的半径 \( R = 6.37×10^3  \rm{km} \),上海位于北纬 30° 附近。问:

(1)位于赤道上的物体随地球自转的角速度和线速度分别是多大?

(2)位于上海的物体随地球自转的线速度是多大?

第四节

向心力 向心加速度

第四节

向心力 向心加速度

一、物体做匀速圆周运动的条件

知识回顾:物体做曲线运动的条件

物体所受合力的方向与其速度方向不在一条直线上

\(v\)

\(v\)

\(G\)

\(G\)

第四节

向心力 向心加速度

一、物体做匀速圆周运动的条件

1

细绳的拉力的方向与小球的速度方向有什么关系?

\(T\)

\(v\)

2

将手松开,小球将做怎样的运动?

\(T\)⊥\(v\)

脱离圆周,沿切线方向飞出

物体做匀速圆周运动的条件是受到与物体的速度方向垂直、始终指向圆心的合力作用,这个力叫做向心力(centripetal force)。

第四节

向心力 向心加速度

一、物体做匀速圆周运动的条件

说出做匀速圆周运动的物体所受的向心力来源

\(T\)

\(T\)

\(N\)

\(G\)

弹力作为向心力

合外力作为向心力

摩擦力作为向心力

合外力作为向心力

\(f\)

\(N\)

\(G\)

第四节

向心力 向心加速度

一、物体做匀速圆周运动的条件

说出做匀速圆周运动的物体所受的向心力来源

重力和弹力的合力作为向心力

第四节

向心力 向心加速度

一、物体做匀速圆周运动的条件

物体做匀速圆周运动的条件是受到与物体的速度方向垂直、始终指向圆心的合力作用,这个力叫做向心力(centripetal force)。

向心力是根据作用效果命名的力,重力、弹力、摩擦力或者这些力的合力都可以作为向心力。向心力只改变速度的方向,不改变速度的大小

知识回顾

力的分类

性质:重力、弹力、摩擦力

效果:拉力、压力、推力、支持力、阻力、向心力

第四节

向心力 向心加速度

二、向心力的大小与哪些因素有关?

\(T\)

\(T\)

\(N\)

\(G\)

猜想

向心力大小 \(F_向\)可能与圆周运动物体的

  • 圆周半径(\( r \)

  • 运动快慢(\( \omega \)\(T\)\(n\)\(v \)

  • 质量(\(m\)

都有关

第四节

向心力 向心加速度

二、向心力的大小与哪些因素有关?

探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系

电动机控制器(\(\omega\))

无线力传感器(\(F\))

砝码(\(m\))

\(r\)

第四节

向心力 向心加速度

二、向心力的大小与哪些因素有关?

1

\(\omega\) 与 \(m\) 一定时,

实验序号 1 2 3 4 5
r/m
F/N

\(F \propto r\)

第四节

向心力 向心加速度

二、向心力的大小与哪些因素有关?

2

\(r\) 与 \(m\) 一定时,

实验序号 1 2 3 4 5
ω/(rad/s)
F/N

\(F \propto \omega ^2\)

F/N

\({\omega ^2}/{\rm{ra}}{{\rm{d}}^2} \cdot {{\rm{s}}^{ - 2}}\)

化曲为直

第四节

向心力 向心加速度

二、向心力的大小与哪些因素有关?

3

\(\omega\) 与 \(r\) 一定时,

实验序号 1 2 3 4 5
m/kg
F/N

\(F \propto m\)

第四节

向心力 向心加速度

二、向心力的大小与哪些因素有关?

\(F \propto m\)

\(F \propto r\)

\(F \propto \omega ^2\)

通过控制变量法得:

大量的研究表明,做匀速圆周运动物体受到的向心力 \(F\) 的大小等于物体的质量 \(m\)、圆周半径 \(r\) 和角速度 \(\omega\) 的二次方的乘积,即

F = m{\omega ^2}r

将 \(v = \omega r\) 代入上式,可得

F = m\frac{{{v^2}}}{r}

第四节

向心力 向心加速度

三、向心加速度

由牛顿第二定律:\(F=ma\)

匀速圆周运动的加速度叫做向心加速度,向心加速度只改变速度的方向,不改变速度的大小

F = m{\omega ^2}r
F = m\frac{{{v^2}}}{r}
a = {\omega ^2}r
a = \frac{{{v^2}}}{r}

向心加速度大小不变,方向始终指向圆心

因此,匀速圆周运动是变加速曲线运动

第五节

圆周运动的应用

第五节

圆周运动的应用

1、汽车在水平地面的转弯

如图,公路转弯处弯道半径 \(R\) = 100 m,汽车的质量 \(m\) = 1 800 kg,\(g\) 取 10 \(\rm{m/s^2}\)。
(1)当汽车以 \(v_1 \) = 10 m/s 的速率行驶时,其所需的向心力为多大?
(2)若汽车轮胎与路面间的动摩擦因数 \(\mu \) = 0.4,且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若路面是水平的,问汽车转弯时不发生径向滑动(离心现象)所允许的最大速率 \(v_m\) 为多少 ?

P40/8

第五节

圆周运动的应用

2、离心现象

做圆周运动的物体,如果受到的力不足以提供所需的向心力,物体就会远离圆心,这就是离心现象

脱水桶:衣物对水的附着力小于水需要的向心力

棉花糖:由于缺少足够的向心力,糖液无法维持圆周运动,从腔壁上的小孔飞出

第五节

圆周运动的应用

2、离心现象

载人离心机

飞行员的血液由于离心运动会流向下肢,造成飞行员大脑缺血,感觉四肢沉重,这种现象叫做过荷

第五节

圆周运动的应用

2、离心现象

试解释下列常见现象。
(1)舞蹈演员在表演旋转动作时,裙子会张开。

(2)在雨中转动伞柄,伞面上的雨水会很容易被甩掉。

(3)满载黄沙的卡车急转弯时,部分黄沙会被甩出。

第五节

圆周运动的应用

3、火车的转弯

火车的车轮上有突出的轮缘

如果铁路弯道的内外轨一样高,火车转弯时,外侧车轮的轮缘挤压外轨。但是,火车质量太大,靠这种办法得到向心力,将会使轮缘与外轨间的相互作用力过大,不仅铁轨和车轮极易受损,还可能使火车侧翻。

弯道处使外轨略高于内轨

第五节

圆周运动的应用

3、火车的转弯

火车受到的支持力 \(F_N\) 与重力 \(G\) 的合力 \(F\) 沿水平方向,提供了火车转弯所需的向心力。

第五节

圆周运动的应用

3、火车的转弯

已知我国高铁的轨道间距为 1.5 m,一辆高铁列车要通过半径为 5 625 m 的弯道,且该弯道外轨比内轨高 15 cm(角度较小时可认为 \(\tan \theta \) = \(\sin \theta \)),\( g \) 取 \(10 \rm{m/s^2}\),高铁在通过此弯道时的最佳的安全速度约为(    ) 

A.80 m/s      B.75 m/s      C.70 m/s      D.65 m/s

P40/7

第五节

圆周运动的应用

4、圆锥摆

如图,一条长为 \(L\) 的轻绳的上端固定,下端栓一质量为 \(m\) 的小球,给小球一个初速度使它在水平面内做匀速圆周运动。若绳与竖直方向的夹角为 \(θ\),求小球所受的向心力大小及其线速度大小 。

P30/10

第五节

圆周运动的应用

4、圆锥摆

如图,两个质量相同的小球用长度不等的细线拴在同一点,并在同一水平面内做同方向的匀速圆周运动,则它们的(    )

A.角速度相同                   B.周期不同

C.线速度大小相同            D.向心力大小相同

P46/31

第五节

圆周运动的应用

4、圆锥摆——旋转飞椅

质量为 \(m\) 的旋转飞椅在水平面内做匀速圆周运动,圆盘半径为 \(R\),绳索长度为 \(L\),与竖直方向夹角为 \(\theta\),求飞椅的转速 \(n\)。

第五节

圆周运动的应用

5、汽车过拱形桥、凹形路面

假设有一质量为 800 kg 的小车驶上圆弧半径为 50 m 的拱桥。g 取 10 \(\rm{m/s^2}\),求:
(1)小车到达桥顶时速度为 5 m/s,小车对桥的压力是多大?
(2)小车以多大速度经过桥顶时恰好腾空,对桥没有压力?
(3)小车对地面的压力过小是不安全的。从这个角度讲,小车过桥时的速度不能过大。对于同样的车速,拱桥圆弧的半径大些比较安全,还是小些比较安全 ?

P32/10

第五节

圆周运动的应用

5、汽车过拱形桥、凹形路面

如图,飞机由俯冲转为拉升的一段轨迹可看成一段圆弧,飞机做俯冲拉升运动时,在最低点附近做半径 r=180 m 的圆周运动,如果飞行员的质量为 60 kg,飞机经过最低点 P 时的速度为 120 m/s,g 取 10 \(\rm{m/s^2}\),则这时飞行员对座椅的压力大小为_______________N,方向 _________。飞行员处于_____________(选填“超重”或“失重”)状态。

P32/10

第五节

圆周运动的应用

6、测定分子(子弹)速率

1920年,美国物理学家史特恩(O.Stern,1888-1968)提出了一种应用圆周运动规律测定气体分子速率的方法。史特恩实验装置如图所示。A、B 为双层共轴圆筒形容器,内筒 A 半径为 r,外筒B半径为 R,内外筒可同时绕转轴 K 以同一角速度高速旋转;容器内部抽成高度真空,沿转轴 K 装有一根镀银的铂丝,铂丝通电加热使银蒸发成气体,一些银原子穿过筒 A 的狭缝 a 射出,最终落于筒 B 的内表面。由于银原子由内筒运动到外筒需要一定时间,若容器不动,这些原子将到达外筒内壁上的 b 点;若容器以角速度 ω 旋转,这些原子将到达外筒内壁上的 bʹ 点。

第五节

圆周运动的应用

6、测定分子(子弹)速率

为了测定子弹的飞行速度,在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘 A、B,盘 A、B 平行且相距  \(l\) = 2 m,轴杆的转速 n = 3 600 r/min。子弹穿过两盘留下两弹孔 a、b,测得两弹孔所在半径的夹角 θ = 30°,如图。则该子弹的速度可能是(    )

A.360 m/s           B.720 m/s           C.1 440 m/s         D.108 m/s

P41/4

第五节

圆周运动的应用

6、测定分子(子弹)速率

如图所示是一种可用于测定子弹速度的装置示意图,纸质圆筒绕中心轴 OOʹ 以角速度 \(\omega\) 旋转,子弹以一定速度沿与轴线平行的方向从圆筒一个底面上的 A 点射入,从另一个底面上的 B 点射出,射出时 A、B 两点在圆筒上的位置如图中所示。若 A 点与 B 点所在半径的夹角为 \(\theta\),圆筒的长度为 \(l\),求子弹的速度大小 \(v\)。

课本P27/5

第五节

圆周运动的应用

6、测定分子(子弹)速率

用如图(a)所示的装置可以测定分子速率。在小炉 O 中,金属银熔化并蒸发。银原子束通过小炉的圆孔逸出,经过狭缝 \(\rm{S}_1\) 和 \(\rm{S}_2\) 进入真空的圆筒 C。圆筒 C 可绕过 A 点且垂直于纸面的轴以一定的角速度转动。
(1)若已测出圆筒 C 的直径为 \(d\)、转动的角速度为 ω,银原子落在玻璃板 G 上的位置到 b 点的弧长为 s,写出银原子速率的表达式;

课本P31/9

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